湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期第三次月考 数学试题（含解析）

这是一份湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校2024-2025学年八年级下学期第三次月考 数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在这四个数中，最小的数是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查实数的大小比较，熟练掌握实数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，两个负数比较，绝对值大的反而小”进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴最小的数是；
故选：C．
2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，解题的关键是依据一元二次方程的定义，对每个选项进行分析判断．
根据一元二次方程“只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程”这一概念，逐一分析选项．
【详解】A、方程中含有和两个未知数，不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件，所以该方程不是一元二次方程；
B、方程，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，同时它也是整式方程，符合一元二次方程的定义，所以该方程是一元二次方程；
C、对进行化简，移项可得，即，未知数的最高次数是1，是一元一次方程，不是一元二次方程；
D、方程，当时，方程变为，此时未知数最高次数是1，不是一元二次方程，只有当时，它才是一元二次方程，所以该方程不一定是一元二次方程．
故选：B．
3. “谁知盘中餐，粒粒皆辛苦”．一粒米的质量约0.000021千克，则数据0.000021用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）．
【详解】解：．
故选D．
4. 已知函数是一次函数，则m的值为（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键；因此此题可根据“形如，的函数叫做一次函数”得，然后求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故选A．
5. 4月我校初二年级举行了篮球比赛，甲、乙、丙三个班各选8名运动员参加比赛．若三个班级参赛运动员的平均身高都是1.65米，方差分别是，，，则参赛同学身高比较整齐的班级是（ ）
A. 甲班B. 乙班C. 丙班D. 同样整齐
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了方差的意义，方差是各数据值离差的平方和的平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．根据方差的定义解答即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴参赛学生身高比较整齐的班级是甲班．
故选：A．
6. 对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 函数的图像与x轴的交点坐标是
B. 函数值随自变量的增大而减小
C. 函数的图像不经过第三象限
D. 函数的图像向下平移4个单位长度得到
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数图像上点坐标特征，一次函数的增减性，一次函数图像与系数的关系以及一次函数图像与平移进行分析判断即可．
【详解】解：A、当时，，解得，函数的图像与x轴的交点坐标是不是，故符合题意；
B、由于中的k＝−3＜0，可知函数值随自变量的增大而减小正确，故不符合题意；
C、由于中的k＝−3＜0，b＝4＞0，所以函数的图像不经过第三象限正确，故不符合题意；
D、一次函数的图像向下平移4个单位长度得到y＝−x＋4−4＝−3x正确，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、一次函数增减性、平移的性质以及一次函数图像上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
7. 如图，在平行四边形中，的平分线和的平分线交于上一点，若，则的长为（ ）
A. 5B. C. D. 2.5
【答案】B
【解析】
【分析】先根据平行四边形的性质及角平分线的定义证明，再利用结合角平分线的定义证明，推出是直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，，
，
，
的平分线和的平分线交于上一点，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
8. 某社区居民在一幅长，宽的矩形状的宣传西的四周加上宽度相同的边框，制成一幅挂图（如图），如果宣传画的面积占这个挂图面积的，所加边框的宽度为，则根据题意列出的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设所加边框的宽度为，根据宣传画的面积占这个挂图面积的，列出方程即可求解．
【详解】解：设所加边框的宽度为，根据题意得，
．
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
9. 若关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D.
【答案】D
【解析】
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】解：当即时，
∵关于的方程有实数根，
∴，
解得且.
当即时，原方程变为，
解得，即此时方程有实数根.
综上可知，时，关于的方程有实数根．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
10. 如图，，矩形的顶点，分别在边，上，当在上运动时，点随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点到点的最大距离是（ ）
A. 24B. 25C. D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接、、，由三角形的三边关系可知当、、三点共线时，点到点的距离最大，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，然后由勾股定理求出的长，即可得出答案．
【详解】解：取的中点，连接、、，如图所示：
，
当、、三点共线时，点到点的距离最大，此时，，
，
是直角三角形，
点是的中点，，
，
四边形是矩形，
，由勾股定理得，
的最大值为，
故选：B．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系、矩形的性质、勾股定理等知识，根据三角形的三边关系判断出点、、三点共线时，点到点的距离最大是解题的关键．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 分解因式：______
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 函数的自变量的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义条件解答即可．
本题考查了二次根式有意义条件，正确理解是解题的关键．
【详解】解：二次根式有意义，
故，
解得，
故答案为：．
13. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】解：∵点位于第三象限，
∴
∴
故答案为：
14. 一元二次方程的解是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，移项后，左边提取公因式，将左边因式分解，再进一步求解即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴，
或，
解得：，，
故答案为：或．
15. 如图，为了测量池塘，两地的距离，圆圆在池塘外取点，得到线段，，并分别取，的中点，，连接．若测得的长为米，则池塘，两地的距离为_____米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形中位线定理；利用三角形中位线定理即可求解．
【详解】解：连接，
∵，的中点，，
∴是的中位线，
又∵的长为米，
∴米；
故答案为：．
16. 若关于x的方程的解为正数，则的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，根据“原分式方程的解”和“解是正数”建立关于的不等式是解题的关键．先解关于的分式方程，它的解用含量的代数式表示，再根据“原分式方程有解”和“方程的解是正数”建立关于的不等式，求解即可．
【详解】解：，
解得：，
∵原分式方程有解，
∴，即，
解得：，
∵方程的解是正数，
∴，
解得：，
∴且，
故答案为：且．
三、解答题（本大题共9个小题）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，零指数幂和负整数指数幂等计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和算术平方根，再计算乘方和乘法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此解方程即可；
（2）利用十字相乘法把方程左边分解因式，再解方程即可．
【小问1详解】
解：
∴，
解得；
【小问2详解】
解：
∴或，
解得．
19. 学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试，已知七、八年级各有人，现从两个年级分别随机抽取名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级：
八年级：
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________，A同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
（2）学校规定测试成绩不低于分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
【答案】（1），，七年级
（2）人
【解析】
【分析】（1）根据中位数和众数定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可．
本题考查中位数、众数和用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：把七年级名学生的测试成绩从小到大排序为：
，，，，，，，，，，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级名学生的成绩中分的最多，
所以众数，
同学说：“这次测试我得了分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：，，七；
【小问2详解】
解：（人）
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数大约为人．
20. 已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若是这个方程的一个根，求k的值和它的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2），它的另一个根为．
【解析】
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判别式即可得；
（2）先将代入方程可得一个关于k的一元一次方程，解方程可得k的值，再利用一元二次方程的根与系数的关系可得方程的另一个根．
【详解】（1）由题意得：方程的根的判别式为，
，
，
，
则无论取何值，此方程总有实数根；
（2）由题意，将代入方程得：，
解得，
则方程，
设此方程的另一个根为，
由一元二次方程的根与系数的关系得：，
解得，
综上，，它的另一个根为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
21. 如图，已知直线l：与x相交于点A，与y轴相交于点B，直线与直线l互相垂直于点C．
（1）当时，求点C的坐标；
（2）当时，①求直线l的解析式；
②直接写出不等式的解集：______．
【答案】（1）
（2）①，②
【解析】
【分析】（1）当时，则直线l的解析式为，直线的解析式为，再建立方程组解题即可；
（2）①如图，过作轴于，由，可得，结合，可得，，可得，再解方程即可；②由①可得，再结合图象可得解集.
【小问1详解】
解：当时，则直线l的解析式为，直线的解析式为，
联立，解得，
∴；
【小问2详解】
解：①如图，过作轴于，
∵，
解得：，即，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
解得：，经检验符合题意；
∴直线l的解析式为；
②∵，
∴，
∴不等式的解集为.
【点睛】本题考查的是求解一次函数的交点坐标，分式与二次根式的运算，勾股定理的应用，利用函数图象解不等式，选择合适的方法解题是关键.
22.
【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解．
任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可．
【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
23. 如图，E在正方形外，，，交于点F，对角线与交于点O．
（1）求证；为等腰三角形；
（2）求证：；
（3）若的面积为，求正方形的边长．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据等边对等角得到，再根据正方形得到，进而利用三角形内角和定理和对顶角相等得到，即可得到，则；
（2）如图所示，过点作于，先根据含 30 度角的直角三角形的性质得到，进而得到，再由正方形的性质得到，进而得到，即可证明四边形是矩形，由此即可证明，即．
（3）过点作于，过点作于，设，在中，求出，设，在中，根据，表示出，在中，根据，表示出，，根据，得出，即可得，由（1）可得，在中，得出，即可得，再根据，求出，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，
，
∵四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰三角形；
【小问2详解】
证明：如图所示，过点作于，
，
，
，
，
∵四边形正方形，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是矩形，
∴，即．
【小问3详解】
解：过点作于，过点作于，如图：
设，
在中，，
设，
在中，，
∴，
中，，
，，
，
，
解得：，
，
由（1）可知，
，
在中，，
，
，
，
，负值已舍去，
即正方形的边长为．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理，二次根式的混合运算，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，一次函数过点，点，且m，n满足
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，过点的直线与直线交于点，若在直线上存在一点F，使得的面积是的面积的6倍，求点F的坐标；
（3）如图2，若P是一次函数图象第二象限的一个动点，点，连接绕点M顺时针旋转得到，连接，求的最小值．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】1（1）根据非负数的性质建立关于的方程组，求解出的值，得到两点的坐标，利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，即可求出直线解析式为，求出，得到，设，由题意得，分点F在上时，则，点F在延长线上时，则，点F在延长线上时，如图，则，建立方程求解即可；
（3）分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，由旋转的性质得：，证明．推出，设，则，求出，，由，当最小时，则最小，即有最小值，利用完全平方公式求解即可．
【小问1详解】
解：根据题意，
解得：，
∴，
∵一次函数过点，点，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，解得：，
∴，
设直线解析式为，则，解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
当点F在上时，如图，则，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当点F在延长线上时，如图，则，
∵，
∴（不符合实际，舍去）；
当点F在延长线上时，如图，则，
∴
∴，即，
解得：，
∴；
综上，点F的坐标为或；
【小问3详解】
解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴，
设，则，
∴，
∵点，
∴，
∴，
∴，
当最小时，则最小，即有最小值，
∵，且，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，一次函数与几何综合，勾股定理，全等三角形的判定和性质，非负数的性质及完全平方公式的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
25. 约定：当点的横坐标和纵坐标均为整数时，称这个点为整点，若关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，则点称为该方程的“”点，经过点的直线称为该方程的一条“”线．
（1）若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值；
（2）关于x的一元二次方程的两实根为．该方程是否存在一条“”线为，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由；
（3）关于x的一元二次方程的两实根为．若该方程的“”点为整点，请求出所有满足条件的m的值．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据题意Δ=2m2-4×1×m2+m=-4m>0，求出；再根据，得到，则，化简为，解得：或，检验是否符合题意即可；
（3）解关于x的一元二次方程，得或，根据一元二次方程的定义及新定义得到且，；根据该方程的“”点为整点，可得，都是整数，令（为整数，且）且（为整数，且），求出的值为：，或，进而得到
或或，即可求解出m的值，再代入检验即可．
【小问1详解】
解：根据题意：，
∴；
【小问2详解】
解：存在，
∵关于x的一元二次方程的两实根为，
∴Δ=2m2-4×1×m2+m=-4m>0，
∴；
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，即，
∴，
∴，
解得：或，
当时，，则，
∵，
∴，符合题意；
当时，，则，
∵109>-29，
∴，不符合题意；
综上，；
【小问3详解】
解：解关于x的一元二次方程，
，
解得：或，
∵，即，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵该方程的“”点为整点，
∴，都是整数，
∵，，
∴，都是整数，
令（为整数，且）且（为整数，且），
∴（为整数，且）且（为整数，且），
∴且，
∴的值为：，或，
∴或或，
∴或或（舍去），
当时，，，且4>-2，符合题意；
当时，，，且5>-1，符合题意；
综上，满足条件的m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究，理解定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
a
90
八年级
84
87
b
背景
今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1
某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2
随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1
求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2
根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3
根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．