12，湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题

这是一份12，湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2023-2024学年八年级下学期第三次月考数学试题，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．
1. 函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A. x≥0B. x＞﹣1C. x≥﹣1D. x≥1
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的意义可知 .
【详解】解：由题意得，x+1≥0， 解得x≥﹣1．
故选C．
【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2. 下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质以及运算法则逐项判断即可．
【详解】A、，故错误；
B、非同类二次根式，不能加减，故错误；
C、，故正确；
D、，故错误；
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的化简与运算，熟练掌握运算法则和基本性质是解题关键．
3. 下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】试卷源自 试卷上新，欢迎访问。【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，求含未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，整理，得：，是一元一次方程，不符合题意；
C、是分式方程，不符合题意；
D、是一元二次方程，符合题意；
故选D．
4. 下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A. 6，8，10B. 9，12，15C. 2，3，4D. ，，
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项中的数据是否可以组成直角三角形的边，从而可以解答本题．
【详解】解：A. ，故A选项不符合题意；
B. ，故B选项不符合题意；
C. ，故C选项符合题意；
D. ，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是会用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形．
5. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】解：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标，所以方程组的解是
故选：A
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
6. 点（－2，），（1，）都在直线上，则与的大小关系是（ ）
A. ＜B. ＝C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据一次函数解析式判断出一次函数的增减性，进而判断出的大小关系．
【详解】解：∵，，
∴随增大而增大，
∵点（－2，），（1，）都在直线上，，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，判断出一次函数的增减性是解题的关键．
7. 如图，菱形ABCD的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A. 50B. 25C. D. 12.5
【答案】B
【解析】
【分析】利用菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半即可求得答案．
【详解】解：∵菱形ABCD的对角线AC=5，BD=10，
∴S菱形ABCD=AC•BD=×5×10=25，
故选：B．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，掌握菱形的面积等于菱形两对角线乘积的一半是解题的关键．
8. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，
解得：且．
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据一元二次方程的定义结合根的判别式列出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．
9. 社区医院十月份接种了流感疫苗100份，十二月份接种了361份，设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实用—增长率问题：根据增长率的等量关系，列出方程即可．
【详解】解：设该社区医院平均每月接种疫苗的增长率为x，由题意，得：
；
故选A．
10. 如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，解题关键在于灵活应用待定系数法和不等式的性质．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 一元二次方程化为一般形式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程一般式，将等式左边利用多项式乘以多形式的法则展开，将方程转化为的形式即可．
【详解】解：，
整理，得：；
故答案为：．
12. 一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是_______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、三角形面积公式，先求出一次函数与轴、轴的交点坐标，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：当时，，
一次函数的图象与轴的交点坐标为，
当时，，即，
一次函数的图象与轴的交点坐标为，
一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积是，
故答案为：．
13. 如图，在正方形的外侧作等边三角形，则的度数为_______．

【答案】##15度
【解析】
【分析】根据正方形的性质和等边三角形的性质可得，，从而得到，再根据三角形内角和进行计算即可得到答案．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
故答案：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
14. 如图，点O是矩形的对角线的中点，交于点M，若，，则的长为_________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三线合一，勾股定理，根据矩形的性质，结合三线合一和勾股定理求出的长，进而求出的长，即可．
【详解】解：∵点O是矩形的对角线的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为：8．
15. 若将直线平移，使其经过点，则平移后所得的直线表达式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移不改变k的值可设平移后直线的解析式为，然后将点代入即可得出直线的函数解析式．
【详解】解：设平移后直线的解析式为．
把代入直线解析式得，
解得 ．
所以平移后直线的解析式为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换及待定系数法求函数的解析式，掌握直线平移时k的值不变是解题的关键．
16. 已知x为全体实数，则的最大值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可．
【详解】解：，
∵，
∴；
∴的最大值为．
三、解答题：第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25每小题10分，共72分．
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式除法计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算零指数幂，二次根式除法，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
18. 解下列方程：
（1）
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用公式法求解；
（2）利用因式分解法求解．
【小问1详解】
解：，
移项，得，
，，，
，
，
，；
【小问2详解】
解：，
移项，得：，
提取公因式，得：，
即，
或，
解得，．
【点睛】本题考查解一元二次方程，解题的关键是根据所给方程特点选择合适的方法．
19. “珍重生命，注意安全！”同学们在上下学途中一定要注意骑车安全．小明骑单车上学，当他骑了一段时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校，以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是_______米；
（2）小明在书店停留了_______分钟；
（3）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
【答案】（1）1500
（2）4 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了函数图象，解决本题的关键是要观察函数图象的纵坐标得出路程，观察函数图象的横坐标得出时间，又利用了路程与时间的关系．
（1）根据函数图象的纵坐标，可得答案；
（2）根据函数图象的横坐标，可得到达书店时间，离开书店时间，根据有理数的减法，可得答案；
（3）根据函数图象的纵坐标，可得相应的路程，根据有理数的加法，可得答案．
【小问1详解】
根据图象，学校的纵坐标为1500，小明家的纵坐标为0， 故小明家到学校的路程是1500米；
故答案为：1500
【小问2详解】
根据题意，小明在书店停留的时间为从（8分）到（12分）， 故小明在书店停留了4分钟．
故答案为：4
【小问3详解】
一共行驶的总路程
（米）．
答：小明一共行驶了2700米．
20. 如图，在中，，过点D作交BC的延长线于点E，点M为的中点，连接．
（1）求证：四边形是矩形：
（2）若，求四边形面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
（2）根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，，根据梯形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
∴，即，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【小问2详解】
∵在平行四边形中是对角线，且，
∴是直角三角形，
∵点M为斜边的中点，且，
∴，
∴，
由（1）可知，平行四边形是矩形，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．
21. 如图，A直线上一点，轴于点C，交直线于点B．
（1）若点A的坐标为，，求k的值；
（2）若，当点A在第一象限内直线上运动时，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合：
（1）先求出，进而求出，则，进一步得到，据此求出点B的坐标，即可利用待定系数法求出对应的函数解析式；
（2）设，则，可得，据此可得答案．
【小问1详解】
解：∵点A的坐标为，轴
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：设，
∵，
∴直线解析式为，
∴，
∴，
∴．
22. 某商店以20元千克的单价新进一批商品，经调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）与销售单价x（元千克）之间为一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x的函数解析式并写出自变量的取值范围；
（2）要使销售利润达到900元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程在利润问题中的应用；
（1）由图象得经过，，设，用待定系数法，即可求解；
（2）由销售利润每千克利润销售量，列方程，即可求解；
掌握待定系数法，找出等量关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：①当时，
；
②当时，
设，由图象得经过，则有
，
解得：，
；
综上所述：；
【小问2详解】
解：由题意得
，
整理得：，
解得，
答：销售单价应定为每千克元．
23. 已知的一条边的长为5，另两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根．
（1）求证：无论m为何值，方程总有两个实数根；
（2）当m为何值时，是以为斜边直角三角形；
（3）当m为何值时，是等腰三角形，并求的周长．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）11或13
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可；
（3）分为腰和为底边两种情况进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
；
∴无论m为何值，方程总有两个实数根；
【小问2详解】
由题意，得：，
∵是以为斜边的直角三角形，
∴，
∴
，
解得：或（不合题意，舍去）；
∴；
【小问3详解】
①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得：
，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的三边为：，
∴周长为：；
②当为底边时，则方程有2个相同的实数根，
∴，
∴，
∴方程为：，
解得：，
∴等腰三角形的周长为：；
综上：周长为11或13．
24. 阅读材料：
材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，；
材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题．
请根据上述材料解决下面问题：
（1）若实数a，b满足：，则_______，_______；
（2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值；
（3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键：
（1）根据题意，得到实数a，b是方程的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可；
（2）根据根与系数的关系，得到，进而得到，代入，求出的值，再根据根与系数的关系，进行求解即可；
（3）构造一元二次方程，得到是它的两个实数根，得到，将进行配方，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意，得a，b是方程的两个根，
∴；
故答案为：；
【小问2详解】
由题意，得：，，
∴，
∴，
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，，解得：，
∴，
∴，
∴；
综上：或；
【小问3详解】
∵，
∴，
又∵，
∴是一元二次方程的两个实数根，，
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴，
∴；
∴．
25. 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点、顶点，且b、c满足，点．
（1）顶点C的坐标为_______；线段的长度是________；
（2）已知点E是线段上的动点，点F是线段AC上的动点，点，当的值最小时，求F点的坐标；
（3）在第（2）问的条件下，点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，请问存在以点A、F、P、Q为顶点的四边形是以AF为边的矩形吗？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）由二次根式中可求出的值，从而可求出的值，由勾股定理得，即可求解；
（2）由等腰三角形的性质得，从而可得平分，作关于对称点，连接，由可判定，由全等三角形的性质得，当、、三点共线，且轴时，最小，最小，再用待定系数法求出直线的解析式为，即可求解；
（3）①当在轴上时，此时矩形为，作，将直线绕逆时针旋转得直线，由平行直线的相等得直线的解析式为，可求直线的解析式为，用待定系数法可求直线的解析式为， 直线的解析式为，直线的解析式为，即可求解；②当在轴上时，此时矩形为，同理可求直线的解析式为，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
解得：，
，
，
，，
；
故答案：，；
【小问2详解】
解：如图，
，
，
，
四边形是矩形，
轴，
，
，
平分，
如上图，作关于对称点，连接，
，
在和中
，
()，
，
当、、三点共线，且轴时，最小，
最小，
，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，
，
；
【小问3详解】
解：存在，理由如下：
如图，
①如上图，当在轴上时，
此时矩形为，
如图，作，将直线绕逆时针旋转得直线，
，
直线的解析式为，
设()，
，
由旋转得：，
设直线的解析式为，则有，
，
，
解得：，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，
，
解得：，
，
同理可求：
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得
，
解得，
；
②当在轴上时，
此时矩形为，
由①可求，
同理可求：
直线的解析式为，
联立直线和直线的解析式得
，
解得，
；
综上所述：点坐标为或．
【点睛】本题考查了线段和最小值问题，待定系数法，勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定及性质，两直线平行相等，掌握待定系数法、相关的判定方法及性质，能找出取得最小值的条件，根据矩形的顶点位置进行分类讨论是解题的关键．