广东省多校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省多校2024-2025学年高一下学期5月期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了本卷命题范围等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．
3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
4．本卷命题范围：必修第一册占30%，必修第二册至8.4节结束占70%．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为，，所以.
故选：C
2. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为,复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
3. 在中，内角所对的边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，则，，
故选：C
4. 已知为三条不同的直线，为两个不同的平面，若，，，且与异面，则（ ）
A. 至多与中的一条相交B. 与均相交
C. 与均平行D. 至少与中的一条相交
【答案】D
【解析】由题意知与平行或相交，与平行或相交，但直线与不能同时平行，
若直线与同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾，
所以与中的一条相交或与都相交.
故选：D.
5. 如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在直观图中，，，，
则，
所以，，
所以平面图形的面积为.
故选：D
6. 已知函数，若对任意在区间上的值域均为，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为
，
又，所以，
因为对任意在区间上的值域均为，
所以区间长度必须大于一个周期，即，解得，
即的取值范围为.
故选：A
7. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为（ ）
A. 80米B. 100米C. 112米D. 120米
【答案】B
【解析】设，由，，，，
知，．
在中，因，米，
由余弦定理，得，解得米．
故选：B．
8. 已知是定义在上的奇函数，且时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意知是定义在R上的奇函数，且时，，
此时函数在单调递增，故时，，则，，此时函数在单调递增，且，故，在上单调递增；
，即，即，
即，即，
故对任意，都有，即恒成立，
由此可得，解得，
即实数m的取值范围为，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设，则下列关于复数的说法正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则为共轭复数
D. 若，则的最大值为6
【答案】ABD
【解析】对于A，设，则，A正确；
对于B，设，故
，
而，B正确；
对于C，，因为，所以，即，
但与不一定相等，C错误；
对于D，若，则复数对应的点的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆，
表示圆上的点与点的距离，则距离的最大值为，D正确．
故选：ABD
10. 已知实数满足，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AB
【解析】对于A：因为，，，所以，即，
解得（当时取等号），故A正确；
对于B：由，得，所以
（当，时取等号），故B正确；
对于C：（当时取等号），故C错误；
因为，又，
所以，所以（当时取等号），故D错误．
故选：AB
11. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A.
B.
C.
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】对于A：因为，由正弦定理可得，
又，
所以，即，
又，，所以，故，则，故A正确；
对于B：由，得，又为锐角三角形，
所以，解得，故B错误；
对于C：
，
（当且仅当，即时取等号），故C正确；
对于D：由，得，由正弦定理得：
即，
所以
.
又，所以，故，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. _______．
【答案】
【解析】.
故答案为：
13. 紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶､石瓢壶､潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台（其他因素忽略不计），如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：），那么该壶的侧面积约为__________.

【答案】
【解析】根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，
上底面半径为下底面半径高
则该圆台的母线长为
故圆台的侧面积
故答案为：.
14. 已知为内切圆的圆心，且，则__________.
【答案】
【解析】如图，设的中点，圆与分别相切于点，由为的中点，知.又，所以，即.则三点共线.因为为的内切圆的圆心，所以.
不妨设，则.
在中，.
由，知，即，解得，且，
又，所以.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）当时，求；
（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（1）当时，，，
则，故；
（2），且“”是“”的充分不必要条件，
故为的真子集，，
故，结合，解得，
即实数a的取值范围.
16. 在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，是梯形的下底边上的一点，将所得平面图形绕直线旋转一圈．
（1）说明所得几何体的结构特征；
（2）求所得几何体的表面积和体积．
解：（1）该几何体为上半部分为圆锥，下半部分为圆柱体挖去一个半球体的组合体．
（2）由图中的数据可知圆锥的底面半径为2，母线长为4，高为，圆柱的底面半径为2，高为2，球的半径为2，
所以
，
该几何体的体积为：
．
17. 已知在锐角中，内角的对边分别是．
（1）求；
（2）若外接圆半径，求的周长．
解：（1）由及正弦定理，可得，
又，所以，即，
又，所以.
（2）由正弦定理，以及可得
，，，，
又因为，所以.
由余弦定理得，
即，得，
故周长为.
18. 若函数满足，且，则称函数为“函数”．已知函数为“函数”．
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集；
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，求的最小值．
解：（1）由，得，
所以是周期为的周期函数，
由，得，
所以是的一条对称轴，
因为函数为“函数”，所以，
又是的一条对称轴，所以，即.
因为，所以，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，
则，即，即，
所以，
解得，
即不等式的解集为.
（3）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
得到函数，
再将所得图象向右平移个单位长度，
得到，
因为的图象关于原点对称，
所以，解得.
因为，所以时，取最小值，最小值为.
19. 如图，在直角梯形中，，，，，，，分别是线段和上的动点，交于点，且，，.
（1）若，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）求的取值范围.
解：（1）在直角梯形中，易得，，
因为，
可得，所以.
（2）因为，
当时，，
设，，
则，
又因为，
且，不共线，则，解得，
所以.
（3）因为，
所以，
，
由题意知，，
所以当时，取到最小值，
当时，取到最大值，
所以的取值范围是.