广东省部分高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份广东省部分高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了 复数， 在的展开式中，含项的系数为， “”是“”的，955B， 已知向量满足，且，则等内容，欢迎下载使用。
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由题意得，
故在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限．
故选：B
2. 在的展开式中，含项的系数为（ ）
A. 1512B. 504C. －504D. －1512
【答案】D
【解析】展开式的通项为，则含的项为，故含项的系数为－1512．
故选：D
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】，故“”是“”的充要条件.
故选：C
4. 有甲、乙两台车床加工同一种零件，且甲、乙两台车床的产量分别占总产量的，甲、乙两台车床的正品率分别为．现从一批零件中任取一件，则取到正品的概率为（ ）
A 0.955B. 0.954C. 0.94D. 0.945
【答案】B
【解析】用事件表示“任取一件，取得正品”，事件表示“取到甲车床加工的零件”，
事件表示“取到乙车床加工的零件”，
则，
所以取到正品的概率为
．
故选：B
5. 已知向量满足，且，则（ ）
A B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】由，得，
即，
整理得，
解得，或（舍去）．
故选：D.
6. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若函数的图象关于原点对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题知，
因为函数的图象关于原点对称，
所以，，所以，
因为，所以的最小值为．
故选：A.
7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令，由，得，
函数在上单调递增，
由，得，
不等式化为，
则，解得，所以不等式的解集为．
故选：B
8. 高三毕业来临之际，3名教师，4名女同学和2名男同学排成一排拍照，已知3名教师互不相邻，4名女同学相邻且不在最左边也不在最右边，2名男同学互不相邻且不在最左边也不在最右边，则不同的排法种数共有（ ）
A. 1152种B. 384种C. 288种D. 144种
【答案】A
【解析】第一步：先将3名教师全排，共有种排法；第二步：将4名女同学＂捆绑＂在一起，共有种排法；第三步：将＂捆绑＂在一起的4名女同学作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插人，有种排法；第四步：首先将2名男同学之中的一人，插人第三步后相邻的两名教师中间，然后将另一个男同学插入由女同学与教师形成的2个空中的其中1个，共有种排法，所以不同的排法种数有：种．
故选：A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数．事件：取出的数是偶数；事件：取出的数是奇数；事件：取出的数小于7．则（ ）
A. 事件，是互斥事件B. 事件，是对立事件
C. D.
【答案】AC
【解析】从1，2，3，4，5，6，7，8中任取1个数，取出数要么是奇数要么是偶数，
不可能既是奇数又是偶数，也不可能既不是奇数也不是偶数，所以事件，是互斥事件，A正确.
当取出的数字为3时，事件与事件，同时发生，事件，不是对立事件，B错误．
，，D错误.
，C正确．
故选：AC
10. 在空间直角坐标系中，，则（ ）
A.
B.
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 点到直线的距离是
【答案】ABD
【解析】，A正确；
，B正确；
设异面直线与所成角为，则，C错误；
到直线的距离为，D正确．
故选：ABD
11. 已知过点的直线l与动圆相切，切点为M，记点M的轨迹为曲线Γ，则（ ）
A. 曲线Γ经过原点
B. 曲线Γ是轴对称图形
C. 点在曲线Γ上
D. 曲线Γ在第二象限的点的纵坐标有最大值
【答案】ABC
【解析】圆化为，圆心，半径为.
设点，，，
由题意可知，，则，
整理得①.
又因为，
所以，展开化简得②.
由①②消去，化简得，显然，
其图象为：
对于A选项，将原点代入中，等式成立，所以A正确.
对于B选项，若为曲线上任意点，根据方程知也在曲线上，
即曲线关于轴对称，所以B正确.
对于C选项，将点代入曲线方程中，等式成立，C正确.
对于D选项，根据，当时，显然第二象限的点的纵坐标无最大值，所以D错误，
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知离散型随机变量的分布列服从两点分布，且，则______．
【答案】
【解析】因为的分布列服从两点分布，所以，
因为，
所以．
故答案为：.
13. 在中，若，则边上的高为______.
【答案】
【解析】由余弦定理，得，
设边上的高为，则，解得．
故答案为：.
14. 设数列满足，且．用模取余运算：表示“整数除以整数，所得余数为整数”，如．设其中，则______；数列的前项和为，则______
【答案】16；219
【解析】由，且得，
，
所以数列各项除以4的余数为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，
则各项除以4所得余数组成以6为周期的周期数列，
所以，
当为6的整数倍时，；
当不为6的整数倍时，，所以；
当时，
，
故．
故答案为：16；219
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 某同学会做老师给出的道题中的道．现从这道题中随机选道让该同学做，试求：选出的题中该同学会做的题目数的分布列．
解：记该同学会做的题目数为，由题意，的可能取值为，
，
，
所以该同学会做的题目数的分布列为：
16. 记为正项等比数列的前项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解：（1）设正项等比数列的公比为，
因为，所以，所以．
又，
解得．
所以．
（2）由题知，所以，
，
两式相减得．
所以．
17. 如图，三棱锥中，平面平面ABC，，M为AC的中点，，
（1）求证：
（2）求平面PBM与平面PBC夹角的余弦值.
解：（1）取AB中点N，连接PN，MN，则，而，故
因为，所以
又，MN，平面PMN，
所以平面
因平面PMN，所以
（2）因为平面平面ABC，平面，，
所以平面
因为平面PMN，所以，故PN，AB，MN两两垂直，
以N为原点，AB，MN，PN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，，
设平面PBM的法向量为，
则即取，则
设平面PBC的法向量为，
则即取，则，
所以，
即平面PBM与平面PBC夹角的余弦值为
18. 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆上，斜率为的直线与椭圆相交于两点（异于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）若的面积为，求直线的方程；
（3）记直线与的斜率分别为，直线的斜率分别为，证明：．
解：（1）由题知，解得，
故椭圆的方程为．
（2）设直线方程为，点的坐标分别为，
联立方程，得，
由，
得，
由韦达定理，有，
所以，
因原点到直线的距离为，
所以的面积为，
由，解得或，
故直线的方程为或或或．
（3）因为
，
，
所以．
19. 已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）求证：．
解：（1）当时，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
（2），则．
对于方程．
当，即时，，
函数在上单调递减；
当，即时，方程有两不等根，
，且，
所以当或时，；当时，，
即函数在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
当时，函数的单调递增区间为，
单调递减区间为，．
（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减，
又，所以当时，，
即当时，．
因为，所以，
所以，
即，
所以，
，
，
…
，
累加可得
，
即，
所以．
0
1
2
3
4