高中苏教版 (2019)平面向量基本定理当堂达标检测题

这是一份高中苏教版 (2019)平面向量基本定理当堂达标检测题，共9页。试卷主要包含了 单项选择题， 多项选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
1 (2024秦皇岛期末)已知e1，e2是两个不共线的向量，a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，若a与b是共线向量，则实数k的值为( )
A. －6 B. 6 C. eq \f(3,2) D. － eq \f(3,2)
2 如图，在△ABC中，P是线段BC上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→))＝t eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，则实数t的值为( )
A. eq \f(1,6) B. eq \f(1,2) C. eq \f(2,3) D. eq \f(3,4)
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(第2题) (第4题)
3 (2024浙江期中)在△ABC中，D是边AB上的一点，且CD平分∠ACB.若 eq \(CA,\s\up6(→))＝a， eq \(CB,\s\up6(→))＝b，|b|＝2，|a|＝1，则 eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A. － eq \f(1,2)a＋ eq \f(3,4)b B. eq \f(1,3)a＋ eq \f(2,3)b
C. － eq \f(1,3)a＋ eq \f(1,3)b D. eq \f(2,3)a＋ eq \f(1,3)b
4 (2024广东期末)如图，点O是△ABC的重心，D是边BC上的一点，且 eq \(BC,\s\up6(→))＝4 eq \(DC,\s\up6(→))， eq \(OD,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))，则 eq \f(m,n) 的值为( )
A. eq \f(1,5) B. － eq \f(1,4) C. － eq \f(1,5) D. eq \f(1,4)
5 (2024宿州期中)在△ABC中，点D满足 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))，点E在射线AD(不含点A)上移动．若 eq \(AE,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则(μ＋2)2＋λ2的取值范围是( )
A. [4，＋∞) B. (4，＋∞) C. (1，＋∞) D. [1，＋∞)
6 (2024菏泽期中)在正六边形ABCDEF中，若 eq \(BP,\s\up6(→))＝－ eq \(CP,\s\up6(→))， eq \(FQ,\s\up6(→))＝3 eq \(QE,\s\up6(→))，则 eq \(PQ,\s\up6(→)) 等于( )
A. eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(5,4) eq \(AF,\s\up6(→)) B. － eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,4) eq \(AF,\s\up6(→))
C. － eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(7,6) eq \(AF,\s\up6(→)) D. eq \f(5,6) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(7,6) eq \(AF,\s\up6(→))
二、 多项选择题
7 (2023福州日升中学期中)下列说法中，正确的有( )
A. 已知a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n，ma＋nb一定在该平面内
B. 已知e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则m＝n＝0
C. 已知a，b是平面内的两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，则m＝p，n＝q
D. 已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对
8 (2024扬州期中)在平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，E是CD的中点，则下列结论中正确的是( )
A. eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))
B. | eq \(AE,\s\up6(→))|＝12
C. eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝－6
D. eq \(AD,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→)) 上的投影向量为 eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))
三、 填空题
9 已知AM是△ABC的边BC的中线，若 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AC,\s\up6(→))＝b，则 eq \(AM,\s\up6(→))＝________．(用a，b表示)
10 已知D是△ABC所在平面上一点，且满足 eq \(BD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，设 eq \(AD,\s\up6(→))＝λ eq \(AB,\s\up6(→))＋μ eq \(AC,\s\up6(→))，则λ＋μ＝________．
11 (2024浙江期中)如图，在△ABC中，D是BC的中点，BE＝2EA，AD与CE交于点O.设 eq \(AO,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))，则m＋n＝________；若 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝6 eq \(AO,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))，则 eq \f(AB,AC)＝________．
四、 解答题
12 如图，在△ABC中，E是AB的中点， eq \(CD,\s\up6(→))＝2 eq \(DB,\s\up6(→))，BC＝3，AB＝4，∠ABC＝60°.
(1) 求| eq \(AD,\s\up6(→))|的值；
(2) 若 eq \(AO,\s\up6(→))＝λ eq \(AD,\s\up6(→))， eq \(CO,\s\up6(→))＝μ eq \(CE,\s\up6(→))，求λ和μ的值．
13 (2024山东期中)如图，在△ABC中，点P满足 eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(BP,\s\up6(→))，O是线段AP的中点，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F.
(1) 若 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，求x和y的值；
(2) 若 eq \(EB,\s\up6(→))＝λ eq \(AE,\s\up6(→))(λ>0)， eq \(FC,\s\up6(→))＝μ eq \(AF,\s\up6(→))(μ>0)，求 eq \f(1,λ)＋ eq \f(2,μ)的最小值．
9.3.1 平面向量基本定理
1. A 设a＝λb，λ∈R，由a＝e1＋3e2，b＝－2e1＋ke2，得e1＋3e2＝λ(－2e1＋ke2)，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝－2λ，,3＝kλ，))解得k＝－6.
2. C 因为B，P，C三点共线，所以设 eq \(BP,\s\up6(→))＝n eq \(PC,\s\up6(→))(n≥0)，即 eq \(AP,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝n( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→)))，整理，得 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(n,n＋1) eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,n＋1) eq \(AB,\s\up6(→)).因为 eq \(AP,\s\up6(→))＝t eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,n＋1)＝t，,\f(n,n＋1)＝\f(1,3)，))解得t＝ eq \f(2,3).
3. C 因为CD为角平分线，所以 eq \f(BD,AD)＝ eq \f(BC,AC)＝2.因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(CB,\s\up6(→))－ eq \(CA,\s\up6(→))＝b－a，所以 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)b－ eq \f(1,3)a.
4. C 如图，延长AO交BC于点E，因为点O是△ABC的重心，所以E为BC的中点，且 eq \(AO,\s\up6(→))＝2 eq \(OE,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))).因为 eq \(BC,\s\up6(→))＝4 eq \(DC,\s\up6(→))，所以D是BC上靠近点C的四等分点，则 eq \(OD,\s\up6(→))＝ eq \(OE,\s\up6(→))＋ eq \(ED,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3)× eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＋ eq \f(1,4)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,12) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,12) eq \(AC,\s\up6(→)).因为 eq \(OD,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))，所以m＝－ eq \f(1,12)，n＝ eq \f(5,12)，所以 eq \f(m,n)＝－ eq \f(1,5).
5. B 由点E在射线AD(不含点A)上，设 eq \(AE,\s\up6(→))＝k eq \(AD,\s\up6(→))，k>0，又 eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))，则 eq \(AE,\s\up6(→))＝k( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BD,\s\up6(→)))＝k[ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))]＝ eq \f(k,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(3k,4) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(k,4)，,μ＝\f(3k,4)，))则t＝(μ＋2)2＋λ2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3k,4)＋2)) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,16)k2＝ eq \f(5,8)k2＋3k＋4>4，所以(μ＋2)2＋λ2的取值范围是(4，＋∞).
6. B 如图，在正六边形ABCDEF中，由 eq \(BP,\s\up6(→))＝－ eq \(CP,\s\up6(→))， eq \(FQ,\s\up6(→))＝3 eq \(QE,\s\up6(→))，得P为线段BC的中点，Q为线段EF上靠近点E的一个四等分点，则 eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(FQ,\s\up6(→))＝ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→)).又 eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→))， eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(AQ,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(FE,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(PQ,\s\up6(→))＝ eq \(AQ,\s\up6(→))－ eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(3,4) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AF,\s\up6(→)))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(5,4) eq \(AF,\s\up6(→)).
7. ABD 对于A，a，b是平面内的两个非零向量，对于实数m，n，由向量的运算法则，得ma＋nb一定在该平面内，故A正确；对于B，e1，e2是平面内的一组基底，若实数m，n使me1＋ne2＝0，则由基底的定义，得m＝n＝0，故B正确；对于C，a，b是平面内的两个非零向量，若实数m，n，p，q使ma＋nb＝pa＋qb，当a，b共线时，则由向量相等的定义，得m＝p，n＝q不一定成立，故C错误；对于D，已知e1，e2是平面内的一组基底，对平面内任一向量a，由平面向量的基本定理，得使a＝me1＋ne2的实数m，n有且只有一对，故D正确．故选ABD.
8. AC 如图，设 eq \(AB,\s\up6(→))＝a， eq \(AD,\s\up6(→))＝b，则|a|＝4，|b|＝2，a·b＝4×2×cs 60°＝4.对于A， eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \(DE,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(AD,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))，故A正确；对于B，由A可得 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋b，两边平方，得| eq \(AE,\s\up6(→))|2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b)) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,4)a2＋a·b＋b2＝ eq \f(1,4)×16＋4＋4＝12，则| eq \(AE,\s\up6(→))|＝2 eq \r(3)，故B错误；对于C，因为 eq \(AE,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a＋b， eq \(BD,\s\up6(→))＝－a＋b，所以 eq \(AE,\s\up6(→))· eq \(BD,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋b))·(－a＋b)＝－ eq \f(1,2)a2－ eq \f(1,2)a·b＋b2＝－ eq \f(1,2)×16－ eq \f(1,2)×4＋4＝－6，故C正确；对于D， eq \(AD,\s\up6(→)) 在 eq \(AB,\s\up6(→))上的投影向量为 eq \f(\(AD,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|2) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(4,16) eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))，故D错误．故选AC.
9. eq \f(1,2)(a＋b) 由AM是边BC的中线，可得 eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(MC,\s\up6(→)).又 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BM,\s\up6(→))＝ eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \(CM,\s\up6(→))，所以 eq \(AM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \f(1,2)(a＋b).
10. 1 因为 eq \(BD,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))，所以 eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,2)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))，整理，得 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2) eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→))，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,2)，,μ＝－\f(1,2)，))所以λ＋μ＝1.
11. eq \f(1,2) eq \r(3) 由D是BC的中点，得 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).又点O在AD上，设 eq \(AD,\s\up6(→))＝t eq \(AO,\s\up6(→))(t≠0)，则t eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up6(→)).又因为BE＝2EA，所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(3,2t) eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2t) eq \(AC,\s\up6(→)).因为 E，O，C三点共线，所以 eq \f(3,2t)＋ eq \f(1,2t)＝1，解得t＝2，则 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)).又 eq \(AO,\s\up6(→))＝m eq \(AB,\s\up6(→))＋n eq \(AC,\s\up6(→))， eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))不共线，所以m＝n＝ eq \f(1,4)，m＋n＝ eq \f(1,2).因为 eq \(EC,\s\up6(→))＝ eq \(EA,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))＝－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→))，所以6 eq \(AO,\s\up6(→))· eq \(EC,\s\up6(→))＝6× eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))·(－ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))＝－ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＋ eq \f(3,2)| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))，可得－ eq \f(1,2)| eq \(AB,\s\up6(→))|2＋ eq \f(3,2)| eq \(AC,\s\up6(→))|2＝0，即| eq \(AB,\s\up6(→))|＝ eq \r(3)| eq \(AC,\s\up6(→))|，所以 eq \f(|\(AB,\s\up6(→))|,|\(AC,\s\up6(→))|)＝ eq \r(3)，即 eq \f(AB,AC)＝ eq \r(3).
12. (1) 因为 eq \(CD,\s\up6(→))＝2 eq \(DB,\s\up6(→))，BC＝3，
所以| eq \(BD,\s\up6(→))|＝1，| eq \(DC,\s\up6(→))|＝2.
因为 eq \(AD,\s\up6(→))＝ eq \(BD,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→))，
所以| eq \(AD,\s\up6(→))|2＝| eq \(BD,\s\up6(→))|2－2 eq \(BD,\s\up6(→))· eq \(BA,\s\up6(→))＋| eq \(BA,\s\up6(→))|2＝1－2×1×4×cs 60°＋16＝13，
故| eq \(AD,\s\up6(→))|＝ eq \r(13).
(2) 因为 eq \(CO,\s\up6(→))＝μ eq \(CE,\s\up6(→))＝μ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(BA,\s\up6(→))－\(BC,\s\up6(→))))＝ eq \f(μ,2) eq \(BA,\s\up6(→))－μ eq \(BC,\s\up6(→))，且 eq \(CO,\s\up6(→))＝ eq \(CA,\s\up6(→))＋ eq \(AO,\s\up6(→))＝( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＋λ eq \(AD,\s\up6(→))＝( eq \(BA,\s\up6(→))－ eq \(BC,\s\up6(→)))＋λ( eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))－ eq \(BA,\s\up6(→)))＝(1－λ) eq \(BA,\s\up6(→))＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,3)－1)) eq \(BC,\s\up6(→))，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(μ,2)＝1－λ，,－μ＝\f(λ,3)－1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝\f(3,5)，,μ＝\f(4,5)．))
13. (1) 因为 eq \(PC,\s\up6(→))＝2 eq \(BP,\s\up6(→))，所以 eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))，
则 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(BP,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(BC,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3)( eq \(AC,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→)))＝ eq \f(2,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)).
因为O是线段AP的中点，
所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→)).
又 eq \(AO,\s\up6(→))＝x eq \(AB,\s\up6(→))＋y eq \(AC,\s\up6(→))，且 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(AC,\s\up6(→))不共线，
所以x＝ eq \f(1,3)，y＝ eq \f(1,6).
(2) 因为 eq \(AB,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \(EB,\s\up6(→))＝ eq \(AE,\s\up6(→))＋λ eq \(AE,\s\up6(→))＝(1＋λ) eq \(AE,\s\up6(→))，
eq \(AC,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋ eq \(FC,\s\up6(→))＝ eq \(AF,\s\up6(→))＋μ eq \(AF,\s\up6(→))＝(1＋μ) eq \(AF,\s\up6(→))，
由(1)可知， eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1,3) eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \f(1,6) eq \(AC,\s\up6(→))，
所以 eq \(AO,\s\up6(→))＝ eq \f(1＋λ,3) eq \(AE,\s\up6(→))＋ eq \f(1＋μ,6) eq \(AF,\s\up6(→)).
因为E，O，F三点共线，
所以 eq \f(1＋λ,3)＋ eq \f(1＋μ,6)＝1，即2λ＋μ＝3.
又λ>0，μ>0，
所以 eq \f(1,λ)＋ eq \f(2,μ)＝ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,λ)＋\f(2,μ)))·(2λ＋μ)＝ eq \f(1,3)(4＋ eq \f(μ,λ)＋ eq \f(4λ,μ))≥ eq \f(1,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4＋2\r(\f(μ,λ)·\f(4λ,μ))))＝ eq \f(8,3)，
当且仅当μ＝2λ，即λ＝ eq \f(3,4)，μ＝ eq \f(3,2)时，取得等号，
所以 eq \f(1,λ)＋ eq \f(2,μ)的最小值为 eq \f(8,3).