高中数学北师大版讲义(必修二)第06讲1.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图象4种常见考法归类(学生版+解析)

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1.6 函数y＝A sin (ωx＋φ)的性质与图象4种常见考法归类 知识点01“五点法”作图 (1)利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点，两个最值点画出函数在一个周期内的图象． (2)用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的步骤第一步：列表． 第二步：在同一平面直角坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，形成图象． 【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）用“五点法”在给定的坐标系中，画出函数在上的大致图像.    【即学即练2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．在用“五点法”作函数的图象时，列表如下： 完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；    【即学即练3】（2023上·江西赣州·高一统考期末）设函数. （1）在给定的平面直角坐标系中，用“五点法”画出函数在区间上的简图(请先列表，再描点连线)； （2）若，求的值. 知识点02 对函数的图象的影响1．对函数的图象的影响 （其中φ≠0）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有的点向右（当φ0时）平行移动个单位长度而得到的. 2．对函数的图象的影响 函数（其中ω>0)的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的横坐标伸长（当00）的图象，可以看作是把函数的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当00)的方法： （1）先平移后伸缩： （2）先伸缩后平移： 注：(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系． (2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系 . (3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”． (4)由y＝sin x到y＝sin (x＋φ)的图象变换称为相位变换；由y＝sin x到y＝sin ωx的图象变换称为周期变换；由y＝sin x到y＝A sin x的图象变换称为振幅变换． 【即学即练4】（2024高一课堂练习）要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象（ ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【即学即练5】（2023上·云南红河·高二校考期末）把函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A．-1 B． C． D． 【即学即练6】（2023上·四川遂宁·高一校考期末）要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【即学即练7】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________． 知识点03函数（A>0,ω>0）的性质 【即学即练8】【多选】（2024秋·广东广州·高一华南师大附中校考期末）设函数（，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则下列说法正确的是（    ） A．的周期为 B．的单调递减区间为 C．的对称轴为 D．的图象可由的图象向左平移个单位得到 【即学即练9】（2024秋·天津和平·高一统考期末）已知函数的图象的一个对称中心为，则下列说法不正确的是（    ） A．直线是函数的图象的一条对称轴 B．函数在上单调递减 C．函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象 D．函数在上的最小值为 题型一：“五点法”作函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象 例1.（2024·全国·高一期末）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： （1）根据表中数据，求函数的解析式； （2）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，并把图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.若图象的一个对称中心为，求的最小值； （3）在（2）条件下，求在上的增区间. 变式1.（2024秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）已知函数 (1)填写下表，并用“五点法”画出在上的图象； (2)将的图象向下平移1个单位，横坐标扩大为原来的4倍，再向左平移个单位后，得到的图象，求的对称中心． 变式2.（2024秋·广东广州·高一执信中学校考期末）设函数（），将该函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像，函数的图像关于y轴对称. (1)求的值； (2)在给定的坐标系内，用“五点法”列表、画出函数在一个周期内的图像； (3)设关于x的方程在区间上有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围. 【方法技巧与总结】 五点法作函数y＝A sin (ωx＋φ)(x∈R)图象的步骤 (1)列表，令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，依次得出相应的(x，y)值． (2)描点． (3)连线得函数在一个周期内的图象． (4)左右平移得到y＝A sin (ωx＋φ)，x∈R的图象． 题型二：三角函数的图象变换 例2.（2024秋·江苏南通·高一江苏省如皋中学校考期末）将图象上每一个点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），得到的图象，再将图象向左平移，得到的图象，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式1.（2024春·广西南宁·高一南宁三中校考期末）把的图象向左平移个单位，再把所有的点的横坐标变为原来的2倍所得到的函数y＝g(x)的解析式为（    ） A．g(x)＝sinx B．g(x)＝cosx C． D． 变式2.（2024秋·广东广州·高一广州市第九十七中学校考期末）将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（    ） A． B． C． D． 例3.（2024·全国·高一专题练习）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 变式1.（2024·全国·高一专题练习）函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则________． 例4.【多选】（2024春·广西桂林·高一统考期末）要得到函数到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 B．向右平移单位长度，再将每个点的横坐标缩短为原来的 C．每个点的横坐标缩短为原来的，再向右平移单位长度 D．每个点的横坐标缩短为原来的，再向左平移单位长度 变式1.【多选】（2024秋·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位 C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍 D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的 变式2.【多选】（2024秋·福建漳州·高一统考期末）记函数的图象为，函数的图象为，则（    ） A．把上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到 B．把上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度，得到 C．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到 D．把向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，得到 变式3.（2024春·辽宁大连·高一统考期末）将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 变式4.（2024春·上海普陀·高一曹杨二中校考期末）为了得到函数的图象，可以将函数的图象（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【方法技巧与总结】 解决三角函数图象变换问题的关键是明确左右平移的方向和平移量以及横纵坐标伸缩的量，在变换中平移变换与伸缩变换的顺序不同得到的解析式也不同，这点应特别注意，否则就会出错． 题型三：求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式 例5.（2024秋·陕西榆林·高一校考期末）已知函数（，）的部分图象如图所示，将函数图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数图象的解析式为______． 变式1.（2024秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数在一个周期内的图象如图所示： (1)求函数的解析式，并写出它是由的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应的函数； (2)若存在使得关于的不等式成立，求实数的最小值. 变式2.（2024秋·河南开封·高一统考期末）函数（，）在一个周期内的图象如图所示，为了得到正弦曲线，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 变式3.（2024上·湖北·高一期末）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式 (2)若函数在上有两个零点，求实数m的取值范围． 变式4.【多选】（2023·广东·东莞市东华高级中学校联考一模）函数（，，）的部分图象如图所示，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的2倍，然后向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B．的解析式为 C．是图象的一个对称中心 D．的单调递减区间是， 【方法技巧与总结】 根据三角函数的图象求y＝A sin (ωx＋φ)的解析式 (1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|. (2)ω：因为T＝2πω，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为T2，相邻的两条对称轴之间的距离为T2，相邻的对称轴与对称中心之间距离为T4. (3)φ：①把图象上的一个已知点的坐标代入来求．②寻找“五点作图法”中的某一点来求，具体如下：利用“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时，令ωx ＋φ＝0；利用“第二点”(即图象的“峰点”)时，令ωx ＋φ＝π2；利用“第三点”(即图象下降时与x轴的交点时，令ωx ＋φ＝π；利用“第四点”(即图象的“谷点”)时，令ωx ＋φ＝3π2；利用“第五点”时，令ωx ＋φ＝2π.注意：要观察题目所给图象是否适合用“五点作图法”． 题型四：函数y＝A sin (ωx＋φ)性质的应用 例6.（2024·全国·高一专题练习）若将函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 变式1.（2024·全国·高一专题练习）已知函数的最小正周期为，且图象向右平移个单位长度后得到的图象，则的对称中心为（    ） A． B． C． D． 变式2.【多选】（2024秋·广东深圳·高一统考期末）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），再把它向右平移个单位，得到函数的图像，则下列是对称轴的是（     ） A． B． C． D． 变式3.（2024春·山东淄博·高一统考期末）已知函数是奇函数，为了得到函数的图象，可把函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式4.（2024·全国·高一专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象． 若在上单调递减，则的取值范围是_____． 变式5.【多选】（2024秋·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，得到偶函数的图象，则下列结论中正确的有（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于对称 C．在上的值域为 D．在上单调递减 【方法技巧与总结】 1．与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝A sin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω0,ω>0）的性质奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数． 周期性：存在周期性，其最小正周期为T=单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究由得单调增区间；由得单调减区间对称性：对称轴 对称中心函数y＝Asin(ωx＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx＋φ)＝±1，得ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的对称轴方程为x＝(k∈Z)． 函数y＝Asin(ωx＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx＋φ)＝0，得ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，则x＝(k∈Z)，所以函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象关于点(k∈Z)成中心对称． 005-50x0x01000200