高中数学北师大版 (2019)必修第二册第一章三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象本节综合与测试精品ppt课件

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这是一份高中数学北师大版 (2019)必修第二册第一章三角函数6 函数y=Asin(wx+φ)性质与图象本节综合与测试精品ppt课件PPT课件主要包含了关键能力·合作学习，解析列表，课堂检测·素养达标，课时素养评价等内容，欢迎下载使用。

类型一　三角函数模型在物理学中的应用(数学运算、直观想象) 【题组训练】1.(2020·宁波高一检测)如图所示为一质点做简谐运动的图象,则下列判断中正确的(　　) A.该质点的振动周期为0.7sB.该质点的振幅为5 cmC.该质点在第0.1 s和0.5 s时振动速度最大D.该质点在第0.3 s和0.7 s时的振动速度为0
2.(2020·潍坊高一检测)如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的弧长s(cm)与时间t(s)的函数关系式为s=6sin ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.2π s B.π sC.0.5 s D.1 s
3.交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220 sin 来表示,求:(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
【解析】1.选B.由图象可知周期是0.8 s,A错误,振幅为5 cm,B正确;质点在第0.1 s和0.5 s时振动速度为0,C错误,质点在第0.3 s和0.7 s时的振动速度不为0,D错误.2.选D.单摆来回摆动一次,即完成一个周期,因为s=6sin 的最小正周期T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.3.(1)当t=0时E=110 (V),即开始时的电压为110 V.(2)T= = (s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V,当100πt+ = ,即t= s时第一次取得最大值.
【解题策略】三角函数在物理中的应用在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数y=Asin(ωx+φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T= 为周期,表示物体往复振动一次所需的时间,f= 为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数.
【补偿训练】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s=4sin ,t∈[0,+∞).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下列问题.(1)小球在开始振动(t=0)时的位移是多少?(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少?(3)经过多长时间小球往复振动一次?
描点、连线,图象如图所示.　　　 (1)将t=0代入s=4sin ,得s=4sin =2 ,所以小球开始振动时的位移是2 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和-4 cm.(3)因为振动的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间是π s.
类型二　三角函数模型的实际应用(数学建模、数学运算)【典例】已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数,其中0≤t≤24,记y=f(t),下表是某日各时的浪高数据:
经长期观测,y=f(t)的图象可近似地看成是函数y=Acs ωt+b的图象.(1)根据以上数据,求其最小正周期,振幅及函数解析式;(2)根据规定,当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内的8:00到20:00之间有多少时间可供冲浪者进行活动?【思路导引】(1)根据y的最大值和最小值求A,b,周期及ω.(2)解不等式y>1,确定有多少时间可供冲浪者活动.
【解析】(1)由表中数据可知,T=12,所以ω= .又t=0时,y=1.5,所以A+b=1.5;t=3时,y=1.0,得b=1.0,所以振幅为 ,函数解析式为y= cs t+1(0≤t≤24).(2)因为y>1时才对冲浪爱好者开放,所以y= cs t+1>1,cs t>0,2kπ- < t<2kπ+ ,即12k-3【变式探究】若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”,结果又如何?【解析】由y= cs t+1>1.25,得cs t> ,2kπ- < t<2kπ+ ,k∈Z,即12k-2【解题策略】解三角函数应用问题的基本步骤
【跟踪训练】(2020·岳阳高一检测)据市场调查,某种商品一年内每月的价格满足函数关系式:f（x）=Asin + 为月份,已知3月份该商品的价格首次达到最高,为9万元,7月份该商品的价格首次达到最低,为5万元.(1)求f（x）的解析式;(2)求此商品的价格超过8万元的月份.
【解析】(1)由题可知 =7-3=4,所以T=8,所以ω= = .又所以所以f（x）=2sin +7.(*)又f（x）过点 ,代入(*)式得2sin +7=9,所以sin =1,所以 +φ= +2kπ,k∈Z.又 < ,所以φ=- ,所以f（x）=2sin +7 .
(2)令f（x）=2sin +7>8,所以sin > ,所以 +2kπ< x- < +2kπ,k∈Z,可得 +8k1.(教材二次开发:例题改编)如图为一半径为3 m的水轮,水轮圆心O距水面2 m,已知水轮每分钟转4圈,水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足关系式y=Asin +2,则有 A.ω= ,A=3　　　　B.ω= ,A=3C.ω= ,A=5 D.ω= ,A=5
【解析】选B.由题意可知ymax=A+2=5可得A=3,该函数的周期为T= =15（s）,所以ω= = .
2.如图,为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针尖位置P(x,y).若初始位置为P0 ,当秒针从P0(注此时t=0)正常开始走时,那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为(　　)A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin
【解析】选C.t时刻,P(x,y)经过的圆弧角度为 ,则以x轴正方向为始边,P(x,y)所在射线为终边,P0对应的角度为 ,则P(x,y)对应的角度为 - ,由P0 可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵坐标y=sin .
3.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为辆/分钟.若上班高峰期某十字路口的车流量F(t)(单位:辆/分钟)与时间t(单位:分钟)的函数关系式为F(t)=50+4sin ,则下列哪个时间段内车流量是增加的(　　)A. B. C. D.
【解析】选C.令2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,所以4kπ-π≤t≤4kπ+π .因为0≤t≤20,所以当k=0时,函数y=F(t)的单调递增区间为[0,π],当k=1时,函数y=F(t)的单调递增区间为[3π,5π].因为 ,所以车流量在时间段内是增加的.
十三　三角函数的简单应用【基础通关—水平一】(15分钟　30分)1.已知某人的血压满足函数解析式f(t)=24sin 160πt+115,其中f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.60B.70C.80D.90【解析】选C.由题意得函数的周期为T= = ,所以频率f= =80,所以此人每分钟心跳的次数为80.
2.智能主动降噪耳机工作的原理:通过耳机两端的噪声采集器采集周围的噪音,然后通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波抵消噪声(如图).已知噪声的声波曲线y=Asin 的振幅为1,周期为2π,初相为0,则通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线的解析式为(　　)A.y=sin xB.y=cs xC.y=-sin xD.y=-cs x
【解析】选C.由某噪声的声波曲线y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ< )的振幅为1,周期为2π,初相为0,知声波曲线:y=sin x,通过听感主动降噪芯片生成相等的反向波曲线为y=-sin x.
3.(2020·枣庄高一检测)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0( ,- ),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为
【解析】选C.通过分析可知当t=0时,点P到x轴距离d为 ,于是可以排除选项A,D;再根据当t= π时,点P在x轴上,此时点P到x轴距离d为0,排除选项B.
4.(2020·重庆高一检测)重庆被誉为“桥都”,数十座各式各样的大桥横跨长江、嘉陵江两岸,其中朝天门长江大桥是世界第一大拱桥,其主体造型为:桥拱部分(开口向下的抛物线)与主桁(图中粗线)部分(可视为余弦函数一个周期的图象)相结合.已知拱桥部分长552 m,两端引桥各有190 m,主桁最高处距离桥面89.5 m,则将下列函数等比放大后,与主桁形状最相似的是 A.y=0.45cs xB.y=4.5cs xC.y=0.9cs xD.y=9cs x
【解析】选A.设主桁(图中粗线)部分对应的余弦函数为f（x）=Acs ωx,可得函数的周期为T=552+190×2=932,即ω= ,又由2A=89.5,解得A= ,所以函数的解析式为f（x）= cs x,按1∶100的比例等比变换可得f（x）= cs x对比选项,可得与函数y=0.45cs x相似.
5.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0),则8时的温度大约为________℃(精确到1℃).
【解析】由图象可得b=20,A=10, T=14-6=8,所以T=16= ⇒ω= ,y=10sin +20,因为最低点坐标为(6,10),所以10sin +20=10,得sin =-1,于是 +φ= π+2kπ(k∈Z),所以φ= π+2kπ(k∈Z),取φ= π,所以y=10sin +20.当x=8时y=10sin +20=20-5 ≈13.答案:13
6.(2020·牡丹江高一检测)如图,游乐场的摩天轮匀速旋转,每转一周需要12 min,其中心O离地面45米,半径40米.如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请问:当你第六次距离地面65米时,用了________分钟.
【解析】设时间为t,t>0,根据题意:40sin +45=65,故sin = .故 t- = +2kπ或 t- = +2kπ,故t=12k+4或t=12k+8,k∈Z.故t1=4,t2=8,t3=16,t4=20,t5=28,t6=32.答案:32
【能力进阶—水平二】(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin ,s2=10cs 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(　　)A.s1>s2 B.s12.(2020·济宁高一检测)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin(ωx+φ)+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(　　)A.5B.6C.8D.10
【解析】选C.由题意可得当sin(ωx+φ)取得最小值-1时,函数取最小值ymin=-3+k=2,所以k=5,所以y=3sin(ωx+φ)+5,因此当sin(ωx+φ)取得最大值1时,函数取最大值ymax=3+5=8.
3.(2020·青岛高一检测)据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+b 的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,根据以上条件可以确定f（x）的解析式为(　　)A.f（x）=2sin +7（1≤x≤12,x∈N*) B.f（x）=9sin （1≤x≤12,x∈N*) C.f（x）=2 sin x+7（1≤x≤12,x∈N*) D.f（x）=2sin （1≤x≤12,x∈N*)
【解析】选A.因为3月份达到最高价9千元,7月份价格最低为5千元,所以 =4,故周期T=8,所以ω= ,又所以所以f(x)=2sin +7,当x=3时,sin =1,因为 ,所以φ=- .所以f(x)=2sin +7(1≤x≤12,x∈N*).
4.(2020·太原高一检测)如图所示,矗立于伦敦泰晤士河畔的伦敦眼(The Lndn Eye)是世界上首座、也曾经是世界最大的观景摩天轮,已知其旋转半径60米,最高点距地面135米,运行一周大约30分钟,某游客在最低点的位置坐上摩天轮,则第10分钟时他距地面大约为(　　)A.95米　B.100米　C.105米　D.110米
【解析】选C.设人在摩天轮上离地面高度(米)与时间t(分钟)的函数关系为f(t)=Asin(ωt+φ)+B(A>0,ω>0,φ∈[0,2π)),由题意可知A=60,B=135-60=75,T= =30,所以ω= ,即f(t)=60sin +75.又因为f(0)=135-120=15,解得sin φ=-1,故φ= ,所以f(t)=60sin +75=-60cs t+75,所以f(10)=-60×cs +75=105.
二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是(　　)A.该函数的周期是16B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14C.该函数的解析式是y=10sin +20(6≤x≤14)D.这一天的函数关系式也适用于第二天
【解析】选AB.由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,所以A=10,B=20.因为 =14-6=8,所以T=16,A正确;因为T= ,所以ω= ,所以y=10sin +20,因为图象经过点(14,30),所以30=10sin +20,所以sin =1,所以φ可以取 ,所以y=10sin +20(0≤x≤24),B正确,C错误;这一天的函效关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,所以D错误.
6.(2020·广州高一检测)如图,一个水轮的半径为6 m,水轮轴心O距离水面的高度为3 m,已知水轮按逆时针匀速转动,每分钟转动5圈,当水轮上点P从水中浮现时的起始(图中点P0)开始计时,记f(t)为点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(3)=9B.f(1)=f(7) C.若f(t)≥6,则t∈[2+12k,5+12k](k∈N)D.不论t为何值,f(t)+f(t+4)+f(t+8)是定值
【解析】选BD.如图,以水轮所在面为坐标平面,以水轮的轴心O为坐标原点,x轴和y轴分别平行和垂直于水面建立平面直角坐标系,依题意得OP在t(s)内所转过的角度为t,则∠POx= t- .则点P的纵坐标为y=6sin ,点P距离水面的高度关于时间t(s)的函数f（t）=6sin +3;f（3）=6sin +3=3 +3,选项A错误;f（1）=6sin +3=3,f（7）=6sin +3=3,f（1）=f（7）,选项B正确;
由f（t）≥6得sin ≥ ,解得t∈[2+12k,6+12k]k∈N,选项C错误;由f(t)+f（t+4）+f(t+8)=6sin +3+6sin +3+6sin +3,展开整理得f(t)+f（t+4）+f(t+8)= 9为定值,选项D正确.
三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·福州高一检测)我们听到的美妙弦乐不是一个音在响,而是许多个纯音的合成,称为复合音.复合音的响度是各个纯音响度之和.琴弦在全段振动,产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的4倍;之后部分均忽略不计.已知全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin t(t为时间,y1为响度),则复合音响度数学模型的最小正周期是________.
【解析】因为产生频率为f的纯音的同时,其二分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的2倍;其三分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的3倍;其四分之一部分也在振动,振幅为全段的 ,频率为全段的4倍;由全段纯音响度的数学模型是函数y1=sin t(t为时间,y1为响度),可得复合音响度数学模型为y= sin 2t+ sin 3t+ sin 4t,
因为y= sin 2t的周期为 =π,y= sin 3t的周期为 ,y= sin 4t的周期为 = 且π, , 的最小公倍数为2π,所以y= sin 2t+ sin 3t+ sin 4t的周期为2π.答案:2π
8.(2020·南昌高一检测)某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针均匀地绕点O旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,将A,B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数,则d=______,其中t∈[0,60]. 【解析】因为∠AOB= ×2π= ,所以根据直角三角形的边长求法得到d=2×5×sin ∠AOB=10sin .答案:10sin
四、解答题(每小题10分,共20分)9.某实验室一天的温度(单位℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系式:f(t)=12-2cs ,t∈[0,24).(1)求该实验室一天当中上午10时的温度;(2)若某实验需要在不低于13 ℃的条件下才可以做,那么该实验应该在一天当中的哪个时间段进行?
【解析】(1)因为f(t)=12-2cs ,t∈[0,24),所以f(10)=12-2cs =12-2cs =13(℃),所以该实验室一天当中上午10时的温度为13 ℃.(2)令f(t)=12-2cs ≥13,即cs ≤- ,所以2kπ+ ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,所以24k+10≤t≤24k+18,k∈Z.因为0≤t<24,所以10≤t≤18,故该实验应该在一天中t∈[10,18]这个时间段进行.即10时至18时进行.
10.建设生态文明,是关系人民福祉,关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场,为响应节能减排的号召,在气温超过28 ℃时才开放中央空调降温,否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温(单位:℃)随时间(0≤t≤24,单位:小时)的大致变化曲线,若该曲线近似的满足函数y=Asin(ωt+φ)+b 关系.
(1)求函数y=f(x)的表达式;(2)请根据(1)的结论,判断该商场的中央空调应在本天内何时开启?何时关闭?
【解析】(1)由题图知,T=2(14-2)=24,所以 =24,得ω= .由题图知b= =24,A= =8,所以f(t)=8sin +24.将点(2,16)代入函数解析式得24+8sin =16,得 +φ=2kπ- ,(k∈Z),即φ=2kπ- π(k∈Z),又因为 <π,得φ=- π.所以f(t)=24+8sin .
(2)依题意令24+8sin >28,可得sin > ,所以2kπ+ < t- π<2kπ+ π,(k∈Z). 解得24k+10