2021_2022学年新教材高中数学第1章三角函数§6第1课时函数y＝Asinωx＋φ的图象学案含解析北师大版必修第二册

§6　函数y＝A sin 的性质与图象

第1课时　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象

知识点1　周期变换

(1)在函数y＝sin ωx(ω＞0)中，ω决定了函数的周期T＝，通常称周期的倒数f＝＝为频率．

(2)对于函数y＝sin ωx(ω＞0，ω≠1)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到的．

1.要得到y＝sin 3x的函数图象只需将y＝sin x图象的横坐标________纵坐标不变即可．

[答案]　缩短为原来的

知识点2　相位变换

(1)在函数y＝sin (x＋φ)中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称φ为初相，x＋φ为相位．

(2)对于函数y＝sin (x＋φ)(φ≠0)的图象，可以看作是把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度得到的．

如何由y＝sin 的图象变换为y＝sin x的图象？

[提示]　向左平移个单位长度．

2.已知简谐运动f(x)＝2sin (＋φ)(|φ|<)的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　)

A．T＝6，φ＝     B．T＝6，φ＝

C．T＝6π，φ＝     D．T＝6π，φ＝

A　[T＝＝＝6，代入(0，1)点得sin φ＝.

∵－<φ<，∴φ＝.]

知识点3　振幅变换

(1)在函数y＝A sin x(A＞0)中，A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．

(2)要得到函数y＝A sin x(A＞0，A≠1)的图象，只要将函数y＝sin x的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)即可得到．

3.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)函数y＝－sin 的振幅是－.(　　)

(2)函数y＝3sin 的初相是.(　　)

(3)函数y＝sin 的图象的对称轴方程是x＝＋kπ，k∈Z.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)√

类型1　作函数y＝A sin ＋b的图象

【例1】　(教材北师版P47例2改编)作出函数f(x)＝sin (2x＋)在[0，π]上的简图．

先求出ωx＋φ的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表．

[解]　f(x)＝sin (2x＋)＝cos [－(2x＋)]＝cos ，列表如下：

图象如图：

五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：

(1)分别令ωx＋φ＝0，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．

(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标．

1．用五点法作函数y＝2sin 的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．

[解]　(1)列表：列表时2x＋取值为0、、π、、2π，再求出相应的x值和y值．

(2)描点．

(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图象如图所示．由解析式可知，振幅A＝2，周期T＝π，频率f＝，初相φ＝.

类型2　图象变换

【例2】　如何由y＝sin x的图象得到y＝2sin 的图象？

[解]　途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)y＝sin x

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换．y＝sin x

由y＝sin x的图象经过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的图象的步骤如下：

(1)(相位变换)先把y＝sin x的图象上所有的点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度，得函数y＝sin (x＋φ)的图象．

(2)(周期变换)把函数y＝sin (x＋φ)的图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，得函数y＝sin (ωx＋φ)的图象．

(3)(振幅变换)把函数y＝sin (ωx＋φ)的图象上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)，得函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象．

(4)把得到的y＝A sin (ωx＋φ)的图象向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平移|b|个单位长度，得函数y＝A sin (ωx＋φ)＋b的图象．

也可以先周期变换再相位变换．

2．如何由函数y＝sin x的图象通过相应变换得到函数f(x)＝sin 的图象，写出变换过程．

[解]　变换过程如下：

类型3　求y＝A sin 的解析式

【例3】　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的一部分如图所示，求此函数的解析式．

由最高、最低点确定A，由周期确定ω，然后由图象过的特殊点确定φ.

[解]　法一：由图象知A＝3，T＝－＝π，

∴ω＝＝2，∴y＝3sin (2x＋φ).

∵点在函数图象上，∴0＝3sin .

∴－ ×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z).

∵|φ|<，∴φ＝.∴y＝3sin .

法二：由图象知A＝3.∵图象过点和，

∴解得∴y＝3sin .

法三：由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin 2x向左平移个单位长度而得，

所以y＝3sin 2，即y＝3sin .

求初相φ的三种方法

(1)确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口．“五点”的ωx＋φ的值具体如下：

“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；

“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；

“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；

“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；

“第五点”为ωx＋φ＝2π.

(2)通过特殊点代入函数解析式，建立关于φ的方程，再由φ的范围，可以求得φ，这里需要注意的是，若这个点不是波峰或波谷，则须看函数图象在该点处是上升还是下降．

(3)先确定函数的基本解析式y＝A sin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数，例如本例中的法三．

3．函数f(x)＝A sin (A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f的值是________．

　[由图可知：A＝，＝－＝，所以T＝π，

ω＝＝2，

又函数图象经过点，所以2×＋φ＝π，

则φ＝，故函数的解析式为f(x)＝sin ，

所以f＝sin ＝.]

1．函数y＝2sin 的相位和初相分别是(　　)

A．－2x＋，     B．2x－，－

C．2x＋，     D．2x＋，

C　[y＝2sin ＝2sin ＝2sin .

∴相位和初相分别为2x＋，.]

2．若函数y＝A sin (ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω＝(　　)

A.5    B．4    C．3    D．2

B　[设函数的最小正周期为T，由函数图象可知＝－x0＝，所以T＝.又因为T＝，可解得ω＝4.]

3．把函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为(　　)

A．1，    B．2，    C．，    D．，

B　[依题意得f(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos ，第二次变换得到

函数g(x)＝2cos .

因为函数g(x)的最小正周期为2π，所以ω＝2，

则g(x)＝2cos .

又因为函数为奇函数，0<φ<π，所以φ＋＝kπ＋(k∈Z)，则φ＝.]

4．把函数y＝sin 的图象向________平移________个单位得到y＝sin 2x的图象．

右　　[y＝sin ＝sin 2，所以将其向右平移个单位得到y＝sin 2x的图象．]

5．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜，x∈R)在一个周期内的图象如图所示．

则函数f(x)的解析式为________．

f(x)＝2sin(＋)　[由图可知A＝2，T＝－＝4π，

则ω＝＝，

∴解析式为f(x)＝2sin ，

由f(x)的图象过点，即2sin ＝2，

可得φ＝2kπ＋，

又－＜φ＜，得φ＝，∴f(x)＝2sin .]

回顾本节内容，自我完成以下问题：

1.在图象变换中还有哪些常见的变换？

[提示]　图象变换中，还常用以下三种变换：

(1)y＝－sin x的图象可由y＝sin x的图象沿x轴翻折180°而得到．

(2)y＝|sin x|的图象可由y＝sin x的图象得到．其变化过程为在x轴上方的部分不变，在x轴下方的部分沿x轴翻折180°而得到．

(3)y＝sin |x|的图象可通过让y＝sin x的图象在y轴右边的部分不变，y轴左边的图象由y轴右侧的图象关于y轴翻转180°而得到．

2.图象变换与函数变换之间有怎样的关系？

[提示]　图象变换是三角函数的重点内容之一．函数的各种变换都是自变量x或函数值y进行的变换．图象变换与函数变换紧密相连，相位变换是用x＋φ来代替y＝f(x)中的x，周期变换是用ωx(ω＞0)代替x，振幅变换是用来代替y(A＞0).