湖北省黄冈中学2025届高三下学期5月三模数学试卷（Word版附解析）

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1．
【答案】D
【详解】虚数不能比较大小。
2．
【答案】D
【详解】 ,故
，故选 D
3.
【答案】B
【详解】A，C 半径不超过 5cm ，D.棱长不超过 .
4.
【答案】D
【详解】由 得 ,
则 或 ,
不妨设 , ,
则则 的斜率 ,即 的方程为 ,
而双曲线 的渐近线方程为 ,
则 是双曲线 的一条渐近线,
∴过 、 两点的直线与双曲线 的公共点个数是 0 个,故选 D。
5.
【答案】A
【详解】令 ,即 , ,选 A。
6．
【答案】B
【详解】由题 的一个周期为 ,故只需考虑 在 上的值域,
,
令 ,解得 或 ,可得此时 或 或 （非变号零点，舍）,
所以 的最值只能在点 或 和边界点 中取到,
因为 , , ,所以 的最小值为 ，选 B
7.
【答案】C
【详解】依题意， 车停入了 车原来的位置的事件为样本空间， ，5 辆车停放的方法数为 ，
从 中任取一辆车停在原来位置上有 种方法。若 B 停在 A 处，则 D，E，F 三阶错位，有 2 种方法；
若 B 不停在 A 处，则等价于四阶错位，有 9 种方法。则停放结束后恰有 辆车停在原来位置上的事件 含有基
本事件数为 11 ，
所以停放结束后恰有 辆车停在原来位置上的概率为
8.
【答案】B
【详解】由题意，曲线 C 的伴随曲线为其两条过原点切线之间单位圆弧，
因为 ，所以该函数在 单调递减，在 单调递增.
过原点作 的切线，设切点 ， 由 ，则切线 的斜率为 ，
直线 过 ，故 ， ，
即 ，由函数 与 的图象在 有且只有一个交点，
且当 时满足方程，故方程有唯一解 ，则 ；
过原点作 的切线，设切点 ，由 ，得切线 的斜率
，则切线 过原点 ，则有 ，∴ ，
则 ，则有 ，
∴两切线垂直，故伴随曲线长为
二、多选题
9．
【答案】AB
试卷第 1 页，共 3 页
【详解】（1）随机选一项，分布列为
0 2 3
P
;
（2）随机选两项，分布列为
0 4 6
P
;
（3）随机选三项，分布列为
0 6
P
;
通过计算： , , , 可知选 AB。
10．
【答案】BCD
【详解】由题意得， ,
, , , ，
有 ， ，
由此可得数列中相邻两奇数项的和可以确定，相邻两偶数项的和可以确定，其中 ， 的值不确定.
A. ，
其中 的值不确定，故选项 A 错误.
B. ，每一组数都可以
确定，故选项 B 正确.
D. ，每一
组数都可以确定，故选项 D 正确.
C. 由于 ，故 为定值，
又 确定，故 为定值，故选项 C 正确.
故选：BCD.
11．
【答案】ABD
【详解】如图，选项 A ,B 正确；
选项 C，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱的公共顶点为共垂点．
（1）如图，假设 是共垂点，不妨 ，显然 ，若
则 ，有 ；过 作 ，连接 。
可得 ， ，舍。
（2）同理可知，不存在四点 （j＝1，2，3，4），使得四面体 A1A2A3A4 为在一
个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．
选项 D，不妨 ,如图让 在 上移动，移动的过程中可以实现 ，由对称性可知
。
故选 ABD。
三、填空题
12．
【答案】
【详解】分别赋值 可得。
13．
【答案】
【详解】记 ，则 ，
， ，故
14．
【答案】(1)10 ;(2)
【详解】（1）设数表第一行构成等差数列的公差为 ，各列构成等比数列的公比均为 .
因为数表中各项均为正数，因此 .
试卷第 1 页，共 3 页
由表中已知数据可得 ，解得 .
所以 =10.
（2）若 ，则 ，即 为奇数.
因为 , 所以 , j=63.
实数对 .
四、解答题
15．
【答案】(1) ; (2)答案见详解；（3） 。
【详解】（1） ………………………………（2 分）
（2）事件 所含的样本点为： ，事件 所含的样本点为： ，事件 所含的样本点为：
.故事件 所含的样本点为： ，所以 ，又 ，所以
.………………………………（5 分）
又事件 所含的样本点为： ，所以 ，又 ，
所以 ，所以事件 不独立，即 两两独立错误。………………………………（9 分）
（3）依题意知每次抛掷这个正八面体的结果都互不影响，即互相独立，
记 为第 次抛掷这个正八面体发生事件 ，则 ，
所以事件 只发生 1 次的概率为
。………………………………（13 分）
16.
【答案】（1）
【详解】（1）若 ，则 ， 。则 ，
………………………………（7 分）
(2) ， ………………………………（9 分）
有 ,
故 ………………………………（11 分）
有 , 即 , . ………………………………（14 分）
当且仅当 时等号成立 ..………………………………（15 分）
17．
【答案】（1）证明见详解；（2）
【详解】（1）存在 M 点是 PB 的中点。理由如下：
当 M 点是 PB 的中点时，OM 是三角形 PBA 的中位线，
所以 又 ，
所以 。 ………………………………（4 分）
（2）过 A 作 于 D，若 D 与 C 不重合，
平面 POC 平面 PAC
平面 ABC
，
，矛盾。
故 D 与 C 重合， ， 。 ………………………………（8 分）
以 C 为原点，过 C 作 OP 的平行线为 z 轴，以 CA,CO 所在的直线分别为 x,y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则 , ,
, ,
………………………………（10 分）
设平面 PAC 的法向量为 则 ，令 ，得 。…………
（13 分）
设直线 PB 与平面 PAC 所成的角为 ，则 ，
即直线 PB 与平面 PAC 所成角的正弦值是 …………（15 分）
18.
【答案】(1) (2)
【详解】(1)解：因为 C 的一条渐近线方程为 ,所以点 A 到渐近线的距离为 ，所以 ，
试卷第 1 页，共 3 页
所以双曲线的方程是 ………………………………（4 分）
（2)解：由题意双曲线 C 的右焦点 F（2，0），直线 PF 的斜率不为 0,故可设直线 PF 的方程为 ，因
为直线 PF 与双曲线左，右两支分别交于 M，N 两点，所以 ，…………………
（6 分）
设 ，将直线 PF 的方程代入 ，
得 ，
则 , ，所以 …………………（9 分）
直线 PF 的方程 ,又直线 ，联立可得 ，
所以直线 AP 的方程为 ，
又直线 GN 的方程是 ，联立可得 G ，
又 ，所以 H 的坐标是 ，…………………（11 分）
所以直线 MH 的方程是：
…………………（13 分）
令 ，由 ， ，得
所以直线 MH 过定点 。…………………（17 分）
19．
【答案】(1)①属于集合 ，②不属于集合 (2) (3)3，理由见解析
【详解】（1）①属于集合 ，②不属于集合 .………………………………（4 分）
① ， ，则 ； 1，
表示任意两点斜率的绝对值，所以最大为 ，所以符合题意；
② ， ，则 ； 1，
，而 ，所以不符合题意；
(2)若 ， 时， 单调递增。
令
，
则需 ，
即需 单调递减，………………………………（7 分）
，
,即 ；
若 ，显然符合题意；
此时 ；
综上， ………………………………（10 分）
（3）M 的最小值为 3.
一方面，令 ，则 ， .
对任意的 ， ， ，不妨设 .
（a）若 ，则
（b）若 ，则
（c）若 ，则
所以 .
综上， .由 ，得 .………………………………（14 分）
试卷第 1 页，共 3 页
另一方面，设 ，对任意的
（a）当 时，
（b）当 时，由 ，得 ，故 ；
（c）当 时，由 ，得 ，故 ；
（d）当 时，
综上， 恒成立.
综上， 的最小值为 3.………………………………（17 分）