湖北省八市2025届高三下学期3月联考（二模）数学试卷（Word版附解析）

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命题单位：天门市教科院审题单位：潜江市教研室黄冈市教科院
2025.3
本试卷共 4 页，19 题，全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答
题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试
卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答
题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数 对应的点与复数 对应的点关于实轴对称，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆 和直线 ，则“ ”是“直线 与圆 有公共点”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知 的面积为 1，取 各边的中点 作 ，然后再取 各边的中点
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作 依此方法一直继续下去.记 的面积为 ，数列 的前 项和
为 ，则（ ）
A. 数列 为常数列 B. 数列 为递增数列
C. 数列 为递减数列 D. 数列 为递增数列
6. 下列四个命题
①直线 不平行于平面 ，则平面 内不存在与 平行的直线；
②两直线平行是它们与同一平面所成的角相等的充分不必要条件；
③平面 平面 ，过 内的任意一点作交线 的垂线，则此垂线必垂直于平面 ；
④空间中，一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补.
其中正确的命题是（ ）
A. ①② B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④
7. 根据变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型① ，得到经验回归模型
，对应的残差如图（1）所示.根据变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型②
，得到经验回归模型 ，对应的残差如图（2）所示，则（ ）
A. 模型① 误差满足一元线性回归模型的 的假设，不满足 的假设
B. 模型①的误差不满足一元线性回归模型的 的假设，满足 的假设
C. 模型② 误差满足一元线性回归模型的 的假设，不满足 的假设
D. 模型②的误差不满足一元线性回归模型的 的假设，满足 的假设
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8. 已知函数 ，若存在实数 ，使得 ，则实数 的取值
范围为（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的解析式可以为
B. 将 图象上的所有点的横坐标变为原来的 2 倍，再向左平移 个单位，得到 的图象，则
C. 对称中心为
D. 若 ，则
10. 已知椭圆 的上下焦点分别为 ，左右顶点分别为 为坐标原点，
为线段 上一点，直线 垂直平分线段 且交椭圆 于 两点，则下列说法中正确的有（
）
A. 椭圆 的离心率为
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B. 周长为
C. 以点 为圆心， 为半径的圆与椭圆 恰有三个公共点
D. 若直线 的斜率分别为 ，则
11. 在一次数学兴趣小组的实践活动中，李怡同学将一张边长为 的菱形纸片 沿对角线 折叠，
形成一个二面角模型 ，如图所示.下列叙述中正确的有（ ）
A. 四面体 体积的最大值为 ；
B. 在折叠的过程中，存在某个时刻使 ；
C. 当 时，动点 在平面 内且 ，则动点 所形成区域的面积为 ；
D. 在 C 的条件下，若直线 与直线 所成的角为 ，则 的最大值为 .
三､填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数为__________.
13. 平面向量 满足 ，则 的最小值为__________.
14. 一袋中装有 3 个红球，5 个黑球，从中任意取出一球，然后放回并放入 2 个与取出的球颜色相同的球，
再从袋中任意取出一球，然后放回并再放入 2 个与取出的球颜色相同的球，一直重复相同的操作.
（1）第二次取出的球是黑球的概率为__________；
（2）在第一次取出的球是红球的条件下，第 2 次和第 2025 次取出的球都是黑球的概率为__________.
四､解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 分别为 三个内角 的对边，向量 ，
.
（1）求 ；
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（2）若 .求 的面积.
16. 已知函数 在 处的切线方程为 .
（1）求实数 值；
（2）已知 ，函数 ，若 ，求证： .
17. 如图，直三棱柱 中， 且平面 平面
.
（1）求实数 的值；
（2）若 平面 .
（i）求证： ；
（ii）求二面角 的余弦值.
18. 已知两点 ，平面内的动点 到定点 的距离与到直线 的距离之比为 ，
点 的轨迹为曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）点 在曲线 上，且在第一象限，连接 并延长与曲线 交于点 ，以 为
圆心， 为半径的圆与线段 交于点 ，记 的面积分别为 .
（i）若点 的坐标为 ，求证： ；
（ii）求 的最小值.
19. 有穷等差数列 共有 项 ，公差为 1，前 项和为 （ 为正整数）.
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为集合 为完全平方数， 中所有元素之和.
（1）当 时，求 ；
（2）从数列 中任取一项 ，若 的概率为 ，试求出所有的数对 ；
（3）设 为正整数，将 从正中间分割为两个数（若 的位数是奇数，在数的前面补上 0 再分割），若
这两个数的和恰好等于 ，则称 为“漂亮数”.例如： ，所以 81 是一个“漂亮数”，
，所以 88209 是一个“漂亮数”.当 时，从集合 中任取一个元
素，求该元素为“漂亮数”的概率.
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