第十一章《三角形》-2024-2025学年人教版数学八年级上册章节培优检测卷（愿卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.41（较难）
姓名：___________班级：___________考号：___________
一．精心选一选：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，请把所选答案填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）（2024春•大东区期末）如图，在平面内，一组平行线穿过，若，，则的度数是
A．B．C．D．
解：，，
，
，
，
，
，
故选：．
2．（2分）（2024春•德惠市期末）木工师傅准备钉一个三角形木架，已有两根长为2和5的木棒，木工师傅应该选择如下哪根木棒
A．2B．3C．6D．7
解：设第三边长为，
由三角形三边关系定理可知，
，
故选：．
3．（2分）（2024春•沈河区期末）若一个多边形的外角和是它内角和的，那么这个多边形是
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
解：根据题意可得：
，
解得：．
经检验符合题意，
所以这个多边形是五边形．
故选：．
4．（2分）（2024春•榆树市期末）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示四种辅助线，其中不能证明“三角形内角和是”的是
A．过作B．延长到，过作
C．过上一点作，D．作于点
解：．由，则，．由，得，故不符合题意．
．由，则，．由，得，故不符合题意．
．由，得，．由，得，，那么．由，得，故不符合题意．
．由于，则，无法证得三角形内角和是，故符合题意．
故选：．
5．（2分）（2024春•宁国市期末）若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是
A．7B．8C．9D．10
解：（条，
故选：．
6．（2分）（2024春•连平县期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是
A．2B．4C．8D．11
解：设第三边长为，
则有，
即，
观察只有选项符合，
故选：．
7．（2分）（2024春•新野县期末）如图，点、、、、在同一平面内连接、、、、，若，则
A．B．C．D．
解：连接，
，
，
，
．
故选：．
8．（2分）（2023秋•集贤县期末）若使用如图所示的①②两根直铁丝做成一个三角形框架，则需要将其中一根铁丝折成两段，则可以把铁丝分为两段的是
A．①②都可以B．①②都不可以
C．①可以，②不可以D．①不可以，②可以
解：三角形两边之和大于第三边，两根长度分别为和的细木条做一个三角形的框架，可以把的细木条分为两截．
理由：，满足两边之和大于第三边．
故选：．
9．（2分）（2024•石家庄校级模拟）如图，将三角形纸片沿虚线剪掉两角得五边形，若，，根据所标数据，则的度数为
A．B．C．D．
解：如图，
根据题意得：，，
，，
，，
，，
．
故选：．
10．（2分）（2024春•历下区期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是
A．1B．2C．3D．4
解：设交于点．
①，
，
，
，
，
①正确；
②平分，
，
，
，
，
，
②正确；
③，
，
，
，
由①得，，
，
；
③正确；
④，
，
，
，，
，
，
④正确，
故选：．
二．细心填一填：（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填在答题卡中相应位置上）
11．（2分）（2024春•长春期末）在现代装饰中，仿古艺术品被广泛应用，图①是一面雕花窗格，其主体轮廓是一个正八边形，如图②是它的示意图，则它的一个内角 135 ．
解：．
故答案为：135．
12．（2分）（2024春•宝应县期末）如图，在中，，若剪去得到四边形，则 ．
解：中，，
，
，
．
故答案为：．
13．（2分）（2024•兴庆区校级一模）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使，则图中应增加 10 度．
解：延长交于，
，
，
，
，，
，
故应增加．
故答案为：10．
14．（2分）（2024春•长安区期末）如图，在中，和的平分线交于点，若，则 ．
解：平分，平分，
，，
又，
，
，
又，
，
，
，
，
解得：．
故答案为：．
15．（2分）（2024春•偃师区期末）一个多边形的内角和比四边形内角和多540度，则这个多边形的边数是 7 ．
解：设这个多边形的边数为，
则有，
解得．
故答案为：7．
16．（2分）（2023秋•宝丰县期末）如图，，则 6 ．
解：连接，，，
是的外角，
，
是的外角，
，
在四边形中，①，
在中，②，
①②得，，
即，
．
．
故答案为：6．
17．（2分）（2022秋•潍坊期末）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是 ．
解：，，，
，
，设，，，则，
则有，
解得，
，
故答案为．
18．（2分）（2021秋•河东区校级期末）如图，，是的两条高，它们相交于点，已知的度数为，的度数为，则的度数是 ．
解：，
，，
，
，
故填．
19．（2分）（2023春•亭湖区校级期末）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则 140 ．
解：如图，
、分别是、平分线，
，．
又，
，
又，
，
，
，
由题意得：，
，
，
故答案为：140．
20．（2分）（2023春•泌阳县期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点，则下列结论一定正确的是 ①②④ ．（填写所有正确结论的序号）
①；②；③；④．
解：，的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
，故①正确，
平分，
，
，，
，故②正确；
，，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，故③错误；
，
，
，
．故④正确，
综上正确的有：①②④．
三．用心算一算：（本大题共8小题，共60分.请把答案写在答题卡中相应位置上.解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤.）
21．（6分）（2024春•南京期末）如图，中，是角平分线，点，分别在边，上，，相交于点，．
（1）求证；
（2）若，，求的度数．
（1）证明：因为，，
所以，，
因此，
（2）解：因为，，
所以，
因为是角平分线，所以，
．
22．（6分）（2024春•侯马市期末）如图，在中，，三个内角的平分线交于点．
（1）的度数为 ．
（2）过点作交于点．
①探究与之间的数量关系，并说明理由；
②若，将绕点顺时针旋转得到△，当所在直线与平行时，求的值．
解：（1）的三个内角的平分线交于点，
，，，
，
，
故答案为：；
（2）①，理由如下：
由（1）可得，，
，，
，
；
②如图，当时，
在中，，，
，
由（1）可知，
，
，，
，
，
，
即．
23．（8分）（2024春•鼓楼区校级月考）探究与发现：
如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：
（1）观察“规形图”，试探究与、、之间的关系，并说明理由；
（2）请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则 40 ；
②如图3，平分，平分，若，，则 ；
③如图4，，的10等分线相交于点，，，若，，求的度数．
解：（1）连接并延长至点，
由外角定理可得，；
且及；
相加可得；
（2）①由（1）的结论易得：，
又因为，，
所以；
故答案为：40．
②由（1）的结论易得，易得；
而，
代入，，易得；
故答案为：．
③，
，
设为，
，
，
为．
24．（8分）（2024春•南昌期末）【课本再现】（1）如图1，在中，线经过点且．求证：．
【变式演练】（2）如图2，在中，，点在边上，交于点．若，求的度数．
【方法应用】（3）如图3，直线与直线相交于点，夹角的锐角为，点在直线上且在点右侧，点在直线上且在直线上方，点在直线上且在点左侧运动，点在射线上运动（不与点、重合）．当时，平分，平分交直线于点，求的度数．
解：【课本再现】（1）如图1中，，
，，
，
．
【变式演练】（2）如图2中，，
，
，
；
【方法应用】当点在点的上方时，
，
，
平分，平分，
，，
由三角形外角的性质可得：
，，
，即．
当点在点的下方时，如图中，可得
综上所述，或．
25．（8分）（2024春•房山区期末）在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“5系数补角”．
（1）若，在，，中，的“3系数补角”是 ；
（2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．
①如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“6系数补角”，求的大小．
②如图2，连接．若为平面内一动点（点不在直线，，上），与两个角的平分线交于点．若，，是的“2系数补角”，直接写出的大小的所有情况（用含和的代数式表示），并写出其中一种情况的求解过程．
解：（1）设的“3系数补角”是，
，
，
即，
解得，
的“3系数补角”是；
故答案为：；
（2）①设，
如图，设与相交于点，
，，
，
，
即①，
是的“6系数补角”，
，
即②
联立①②得，
解得，
即是；
②是的“2系数补角”，
，
，
如图1，与两个角的平分线交于点．
，，
；
过点作，
，
，
则，
，
；
；
如图2，
同理可得，；
；
如图3，
，
，
，
；
；
如图4，
同理可得，；
；
如图5，
同理可得，；
；
如图6，
同理可得，；
；
综上可知，的大小为或或或．
26．（8分）（2024春•仪征市期末）在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，．
（1）小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则 40 ；
（2）小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数；
（3）小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论：
①的值不变；②的值不变．
其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由．
解：（1），，
，
，
；
故答案为：40；
（2）如图2，过作，而，
，
，，，
，
，
，，
，
，
平分，平分，
，，
，
同理可得：；
（3）②的值不变，理由如下：
设，
，
同理可得：，
，
；；
①的值变化；②的值不变．
27．（8分）（2023秋•佛山期末）已知，直线与交于点，与交于点，点，均不与点重合，平分，平分．
（1）如图1，当时，求的度数；
（2）如图2，延长与交于点，过作射线与交于点，且满足．求证：；
（3）如图3，过点作，是的外角平分线所在直线，与射线交于点，与交于点．在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，请直接写出的度数．
（1）解：，，
，
平分，平分，
，，
，，
；
（2）证明：平分，平分，
，，
．
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：①当时，
，
，
，
．
，
，
．
．
．
平分，
，
，
平分，
；
②当时，
，
，
，
，，
，
，
．
．
．
平分，
，
，
平分，
．
综上，在中，如果有一个角的度数是另一个角的3倍，的度数为或．
28．（8分）（2024春•鲤城区校级期中）引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请写出图中两对“等角三角形”．
① 与 ；② ．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，为的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
（1）解：与，与是“等角三角形”；
故答案为：与，与；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，
，
为的等角分割线；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
当是等腰三角形，如图3，时，，
，
，
；
当是等腰三角形，的情况不存在，
当是等腰三角形，如图4，时，，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
设，
则，
则，
由题意得，，
解得，
，
当是等腰三角形，的情况不存在，
综上，的度数为；；；．