2024-2025学年山东省淄博第五中学高一下学期期中阶段检测考试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博第五中学高一下学期期中阶段检测考试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数z满足1+z2−i=i(i为虚数单位)，则z=( )
A. 2iB. −2iC. −2+2iD. −2−2i
2.已知a→=1，b→=2，a→与b→的夹角为π3，那么4a→−b→( )
A. 2B. 6C. 2 3D. 12
3.设m,n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若α//β,m⊂α，则m//βB. 若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//n
C. 若m//n,m//α，则n//αD. 若m//β,α∩β=n，则m//n
4.把函数y=2sin(2x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移π6个单位长度，得到函数y=f(x)的图像，则f(x)=( )
A. 2sinxB. 2sinx−π6C. 2sinx+π3D. 2csx
5.▵ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2ccsB,ccsB+bcsC= 3c，则▵ABC的形状是( )
A. 等腰非直角三角形B. 直角非等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形
6.若底面半径为r，母线长为l的圆锥的表面积与直径为l的球的表面积相等，则rl=( )
A. 3−1B. 3−12C. 5−1D. 5−12
7.如图所示，棱柱ABC−A1B1C1的侧面BCC1B1是矩形，D是A1C1上的动点，若A1B/\!/平面B1CD，则DC1A1C1的值为( )
A. 13B. 12C. 23D. 1
8.2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB(塔底视为点B，塔顶视为点A)，在山脚下选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD=36( 3+1)m，则按此法测得的雷峰塔塔高为( )
A. 68mB. 70mC. 72mD. 74m
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若z1,z2互为共轭复数，则z1z2为实数
B. 对于复数z1,z2，若z1=z2，则z12=z22
C. 若1+i是关于x的二次方程ax2+bx+2=0(a,b∈R)的根，则1−i也是该方程的根
D. 复数z满足|z−1|=1，则|z−i|的最大值为 2+1
10.下列结论正确的是( )
A. 由五个面围成的多面体只能是三棱柱
B. 棱台各侧棱的延长线交于一点
C. 圆柱侧面上平行于轴的直线段都是圆柱的母线
D. 各个面都是正方形的四棱柱一定是正方体
11.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，已知AB=2 3，BC=AA1=2，M，N分别为B1C1，A1B1的中点，则( )
A. B1D⊥平面BMN
B. 若P为对角线AC上的动点(包含端点)，则三棱锥M−BPN的体积为定值
C. 棱锥B1−BMN的外接球的体积为8 23π
D. 若点P为长方形ABCD内一点(包含边界)，且D1P//平面BMN，则D1P的最小值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csπ12−θ=13，则sin2π3−2θ= ．
13.如图，▵A′B′C′为水平放置的▵ABC的直观图，其中A′B′=2,A′C′=B′C′= 5，则▵ABC的面积为 ．
14.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=2AA1=2，N为A1C1的中点，M为线段AA1上的点.则|MN|+|MB|的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=2cs2x+2 3sinx⋅csx．
(1)求fπ3的值；
(2)若fα2=115，α0,π3，求csα的值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，AN=2NC，M为边BC上一点，AM与BN相交于点P，
(1)若BP=λBC+115CA，求实数λ的值；
(2)若BM=MC，|AB|=2，|AC|=6，∠BAC=π3求∠MPN的余弦值．
17.(本小题15分)
如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB=90∘,∠ADC=135∘，AB=5,CD=2 2,AD=2，
(1)求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积；
(2)求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的体积．
18.(本小题17分)
在▵ABC中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA−sinBsinC=a−ca+b．
(1)求角B的值；
(2)若a:b=tanA:tanB，判断▵ABC的形状；
(3)若▵ABC为锐角三角形，且c=2，求▵ABC的面积S的取值范围．
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AD=6,AB=2CD=6,AB//CD,AB⊥AD,F为PD的中点，E为AB的中点．
(1)证明：PE//平面ACF．
(2)证明：AF⊥平面PCD．
(3)求直线AC与平面PCD所成角的正弦值．
参考答案
1.A
2.C
3.A
4.A
5.A
6.D
7.B
8.C
9.ACD
10.BCD
11.BC
12.−79
13.4 2
14. 10
15.解：(1)因为f(x)=2cs2x+2 3sinxcsx，
=1+cs2x+ 3sin2x，
=1+2sin2x+π6，
所以fπ3=1+2sin2π3+π6=1+2sin5π6=1+1=2．
(2)由fα2=115，α∈0,π3得sinα+π6=35，csα+π6=45，
所以csα=csα+π6−π6，
=csα+π6csπ6+sinα+π6sinπ6=4 3+310．

16.解：(1)因为AN=2NC，故BN=BC+CN=BC+13CA
又因为BP与BN共线，设BP=μBN，则BP=μBC+13CA=μBC+13μCA，
由题意知BP=λBC+115CA，故λ=μ13μ=115，所以λ=μ=15，实数λ的值为15．
(2)解法1：因为BM=MC，AN=2NC，所以AM=12(AB+AC)，BN=AN−AB=23AC−AB，
所以AM⋅BN=12(AB+AC)⋅23AC−AB=1223AC2−AB2−13AB⋅AC
=1223×62−22−13×2×6⋅csπ3=9，
|AM|= 14AB2+AC2+2AB⋅AC= 1462+22+2×6×2×12= 13，
|BM|= 49AC2+AB2−43AB⋅AC= 49×62+22−43×2×6×12=2 3，
所以cs∠MPN=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=9 13⋅2 3=3 3926；
解法2：以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
因为∠BAC=π3，|AB|=2，|AC|=6，AN=2NC，
所以A(0,0)，C(6,0)，N(4,0)，B(1, 3)，
而BM=MC，即M为BC的中点，故M72, 32，
AM=72, 32，BN=(3,− 3)，
AM⋅BN=72×3− 32× 3=9，
故|AM|= 722+ 322= 13，|BN|= 32+(− 3)2=2 3，
故cs∠MPN=AM⋅BN|AM|⋅|BN|=9 13⋅2 3=3 3926．

17.解：(1)由题意可知，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台挖去一个圆锥的组合体，
过点C作CF⊥AB,CE⊥AD，垂足分别为F,E，如下图所示：
易知∠EDC=180∘−∠ADC=45∘，所以EC=ED=CD⋅sin45∘=2，
又AD=2，所以CF=4,AF=2，可得BF=3,BC=5；
故圆台的上底面半径为r′=2，下底面半径为r=5，高为ℎ=CF=4，
母线长l=BC=5；高ℎ′=2，母线长l′=CD=2 2，
所以圆台的侧面积为S1=rl+r′lπ=(5×5+2×5)π=35π，
圆锥的侧面积为S2=πr′l′=4 2π，圆台的下底面面积为S3=πr2=25π，
所以几何体的表面积为S=S1+S2+S3=60+4 2π．
(2)易知几何体的体积等于圆台体积减去圆锥体积，
即V=13r′2+rr′+r2πℎ−13πr′2ℎ′=13(4+2×5+25)×4π−13×4×2π=1483π，
所以几何体的体积为1483π．

18.解：(1)∵sinA−sinBsinC=a−ca+b，
∴由正弦定理得a−bc=a−ca+b，
即(a−b)(a+b)=c(a−c)，
即a2−b2=ac−c2，
即a2+c2−b2=ac，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，
∵0°