2023-2024学年山东省淄博五中高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年山东省淄博五中高一（下）期中数学试卷（含答案），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=3+i2−i，则|z|=( )
A. 2B. 3C. 6D. 5
2.已知平面向量a=(−2,6)与b=(−4,λ)垂直，则λ的值是( )
A. 43B. −43C. 12D. −12
3.在△ABC中，已知a=4 3，c=12，C=π3，则A=( )
A. π3B. π6C. π6或5π6D. π6或π3
4.如图所示，一个水平放置的四边形OABC的斜二测画法的直观图是边长为2的正方形O′A′B′C′，则原四边形OABC的面积是( )
A. 16 2
B. 8 2
C. 16
D. 8
5.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )
A. 25πB. 50πC. 125πD. 都不对
6.一艘船以40海里/小时的速度向正北航行，在A处看灯塔S在船的北偏东30°，0.5小时后航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东75°，则灯塔S与B之间的距离是( )
A. 5海里
B. 10海里
C. 5 2海里
D. 10 2海里
7.如图，在△ABC中，设AB=a，AC=b，BD=2DC，AE=4ED，则BE=( )
A. 1115a−815b
B. 23a−815b
C. −1115a+815b
D. −23a+815b
8.设a=12cs4°− 32sin4°，b=2tan12°1+tan212∘，c= 1−sin40°2，则a，b，c大小关系正确的是( )
A. c二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=m2−2m−3+(m2−1)i(m∈R)，则下列正确的是( )
A. 当m=1或m=−1时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则m=−1或m=3
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则1D. 若复数z对应的点位于直线y=2x上，则z=12+24i
10.已知向量a=(3,−2)，b=(2,t)(t∈R)，则( )
A. 与a方向相同的单位向量的坐标为(313,−213)
B. 当t=2时，a与b的夹角为锐角
C. 当t=1时，a、b可作为平面内的一组基底
D. 当t=4时，b在a方向上的投影向量为(−313,213)
11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA=2sinB，则下列说法正确的是( )
A. 若C=2π3，则c=2 2b
B. 若C=2B，则△ABC是直角三角形
C. 若△ABC是等腰三角形，则sinB= 158
D. 若c=3，则△ABC的面积最大值为3
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.已知向量a=(−3,4)，b=(−1,5)，c=(2,3)，若(a−c)//(tc+b)，则实数t= ______．
13.“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称换.二十四等边体就是一种半多正多面体.如图，棱长为1的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则该几何体的体积为______．
14.如图所示，在等腰直角△ABC中，AB=AC=2，O为BC中点，E，F分别是线段AB，AC上的动点，且∠EOF=150°，当EF/​/BC时，则EF2的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a−3b)⋅(a+b)=3．
(1)求|a+b|的值；
(2)求向量a与a−2b的夹角．
16.(本小题15分)
如图，一个圆锥的底面半径R=3cm，高H=4cm，在其内部有一个高为xcm的内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆周上的点都在圆锥的侧面上)．
(1)求圆锥的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？求出最大值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆的半径为R，且2R−b=2bsinB，且0(1)求B；
(2)若a= 3，c=3，求sinC．
18.(本小题17分)
如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=π3，AB=6．
(1)若△ABC的面积为9 32，求AC；
(2)在(1)的条件下，若AD= 26，求cs2D．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=sin2ωx+2 3sinωxcsωx−cs2ωx(ω>0)
(1)化简y=f(x)的表达式．
(2)若y=f(x)的最小正周期为π，求y=f(x),x∈(0,π2)的单调区间
(3)将(2)中的函数f(x)图像上所有的点向右平移φ(φ∈[0,π2])个单位长度，得到函数y=g(x)，且y=g(x)图像关于x=0对称.若对于任意的实数a，函数y=g(λx),x∈[a,a+π3]与y=1的公共点个数不少于6个且不多于10个，求正实数λ的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=3+i2−i=(3+i)(2+i)(2−i)(2+i)=6+3i+2i+i25=1+i，
所以|z|= 12+12= 2．
故选：A．
利用复数除法运算求出复数z，再求出复数的模作答．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由题知a⊥b，即a⋅b=(−2,6)⋅(−4,λ)=8+6λ=0，解得λ=−43．
故选：B．
根据平面向量垂直的坐标运算，即可求解．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为在△ABC中，a=4 3，c=12，C=π3，
所以由正弦定理asinA=csinC，可得4 3sinA=12 32，可得sinA=12，
又a则A=π6．
故选：B．
由已知利用正弦定理可得sinA的值，利用大边对大角可求得A为锐角，进而可求A的值．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：在正方形O′A′B′C′中可得B′O′= 2A′O′=2 2，
由斜二测画法可知BO=2B′O′=4 2，AO=A′O′=2，
且OA⊥OB，OA//BC，AB/​/CO，
所以四边形OABC为平行四边形，
所以SOABC=BO⋅AO=4 2×2=8 2．
故选：B．
根据斜二测画法规则求出AO，BO，判断OABC的形状，确定OA⊥OB，由此求出原四边形OABC的面积．
本题主要考查了平面图形的直观图，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题是基础题，考查球的内接多面体的有关知识，球的表面积的求法，注意球的直径与长方体的对角线的转化是本题的解答的关键，考查计算能力，空间想象能力．
由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】
解：因为长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： 32+42+52=5 2，
所以球的半径为：5 22，
所以这个球的表面积是：4π(5 22)2=50π．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查解三角形的应用，考查正弦定理的运用，属于基础题．
由已知先计算出∠ASB=45°，在△ABS中利用正弦定理求解．
【解答】
解：由题意得AB=20，∠BAS=30°，∠ABS=105°，所以∠ASB=45°，
在△ABS中，由正弦定理得：
BS=sin30°sin45°×AB=12 22×20=10 2，
故选D．
7.【答案】C
【解析】解：因为BC=AC−AB=b−a，BD=2DC，
所以BD=23BC=23(b−a)，AD=AB+BD=23b+13a，
又因为AE=4ED，
所以DE=15DA=−15(23b+13a)=−215b−115a，
所以BE=BD+DE=23(b−a)−215b−115a=−1115a+815b．
故选：C．
利用向量加减法的运算和数乘运算得出所求解的向量与已知向量之间的关系，注意运算的准确性和向量倍数关系的正确转化．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，逆用两角和与差的正弦公式 ，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
利用二倍角公式，逆用两角和与差的正弦公式 对a，b，c进行化简，再结合三角函数的单调性即可判断大小关系．
【解答】
解：a=12cs4°− 32sin4°=sin(30°−4°)=sin26°；
b=2tan12°1+tan212∘=2⋅sin12°cs12∘1+(sin12°cs12∘)2=2sin12°cs12°sin212∘+cs212∘=sin24°；
c= 1−sin40°2= 1−cs50°2= sin225°=sin25°，又sin26°>sin25°>sin24°，
所以a>c>b．
故选：D．
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，当m=1或m=−1时，m2−1=0，故z为实数，故A正确，
对于B，若z为纯虚数，
则m2−2m−3=0m2−1≠0，解得m=3，故B错误，
对于C，∵复数z对应的点位于第二象限，
∴m2−2m−3<0m2−1>0，解得1对于D，∵复数z对应的点位于直线y=2x上，
∴m2−1=2(m2−2m−3)，解得m=5或m−1，
∴z=12+24i或z=0，故D错误．
故选：AC．
对于A，结合实数的定义，即可求解，
对于B，结合纯虚数的定义，即可求解，
对于CD，结合复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查实数和纯虚数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：对于A，与a方向相同的单位向量为a|a|=1 13(3,−2)=(3 1313,−2 1313)，故A错误；
对于B，当t=2时，a=(3,−2)，b=(2,2)，cs〈a,b〉=a⋅b|a|⋅|b|=6−4 13×2 2= 2626，
所以，a与b的夹角为锐角，故B正确；
对于C，当t=1时，a=(3,−2)，b=(2,1)，则3×1≠−2×2，则a与b不平行，a、b可作为平面内的一组基底，故C正确；
对于D，设a与b的夹角为θ，则b在a方向的投影向量为|b|csθ⋅a|a|=(a⋅b)a|a|2，
当t=4时，a=(3,−2)，b=(2,4)，a⋅b=3×2−2×4=−2，|a|= 13，
所以(a⋅b)a|a|2=−213(3,−2)=(−613,413)，故D错误．
故选：BC．
根据与a方向相同的单位向量为a|a|可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断B选项；判断出a、b不共线，可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项．
本题主要考查了向量的数量积运算，考查了投影向量的定义，属于中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：∵sinA=2sinB，
∴由正弦定理得a=2b，
对于A：由余弦定理得c2=a2+b2−2abcsC=7b2，即c= 7b，故A错误；
对于B：若C=2B，则sinC=sin2B=2sinBcsB=sinAcsB，
又sinC=sinAcsB+csAsinB，
∴csAsinB=0，
又sinB≠0，则csA=0，即A=π2，故B正确；
对于C：若△ABC是等腰三角形，只可能是a=c(若b=c，则a=2b=2c=b+c，不能构成三角形)，
则c=2b，由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=4b2+4b2−b28b2=78，
∴sinB= 1−cs2B= 158，故C正确；
对于D：由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=5b2−94b2，所以sinC= 1−cs2C=34b2 −b4+10b2−9，
∴S△ABC=12absinC=34 −b4+10b2−9=34 −(b2−5)2+16，当b= 5时，S△ABC取最大值3，故D正确．
故选：BCD．
根据余弦定理和正弦定理及三角形面积公式，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】−2417
【解析】解：a−c=(−5,1)，tc+b=(2t−1,3t+5)，
因为(a−c)//(tc+b)，
所以(−5)(3t+5)−(2t−1)=0，解得t=−2417．
故答案为：−2417．
平面向量线性运算用坐标表示，再由向量共线的坐标运算求参数．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
13.【答案】56
【解析】解：补全八个角构成一个棱长为1的一个正方体，
则该正方体的体积为V=13=1，
其中每个小三棱锥的体积为V1=13×12×12×12×12=148，
所以该二十四面体的体积为1−8×148=1−16=56．
故答案为：56．
补全八个角构成一个棱长为1的一个正方体，结合正方体和三棱锥的体积公式，即可求解．
本题考查空间几何体的体积的求法，属于中档题．
14.【答案】8+4 33
【解析】解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，
因为△ABC为等腰直角三角形，且EF/​/BC，设AE=x，0则A(0,0)，B(2,0)，C(0,2)，O(1,1)，E(x,0)，F(0,x)，
所以OE=(x−1,−1)，OF=(−1,x−1)，
因为∠EOF=150°，
所以cs∠EOF=OE⋅OF|OE||OF|=−2(x−1)(x−1)2+1=− 32，
因为0所以EF2=x2+x2=2x2=2×(1+ 33)2=8+4 33．
故答案为：8+4 33．
建立平面直角坐标系，设AE=x，0本题考查平面向量的夹角和模的求法，属于中档题．
15.【答案】解：(1)根据题意，可得(a−3b)⋅(a+b)=3.即|a|2−2a⋅b−3|b|2=3，得4−2a⋅b−3=3，解得a⋅b=−1，
所以(a+b)2=|a|2+2a⋅b+|b|2=4−2+1=3，可得|a+b|= (a+b)2= 3；
(2)由(a−2b)2=|a|2−4a⋅b+4|b|2=4+4+4=12，可得|a−2b|= 12=2 3，
结合a⋅(a−2b)=|a|2−2a⋅b=4+2=6，可得cs=a⋅(a−2b)|a|⋅|a−2b|=62×2 3= 32，
而∈[0,π]，所以向量a与a−2b的夹角=π6．
【解析】(1)根据题意，利用平面向量数量积的运算性质算出a⋅b=−1，由此求出(a+b)2，进而可得|a+b|的值；
(2)利用平面向量数量积的定义与运算性质，分别求出|a−2b|与a⋅(a−2b)，进而根据向量的夹角公式算出答案．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量的模的公式等知识，属于基础题．
16.【答案】解：(1)圆锥的母线长为L= R2+H2= 9+16=5cm，
∴圆锥的侧面积为S侧=π⋅R⋅L=π×3×5=15πcm2；
(2)设圆柱的底面半径为r，
如图可得xH=R−rR，即x4=3−r3，
得r=3−34x(0∴圆柱的侧面积S=2π⋅r⋅x=3π2⋅(−x2+4x)(0S是x的二次函数，当x=2∈(0,4)时，S取得最大值6π．
即当x=2时，圆柱的侧面积最大，最大面积为6πcm2．
【解析】(1)由已知利用勾股定理求得圆锥的母线长，再由侧面积公式求解；
(2)圆柱的底面半径为r，利用三角形的相似比把r用含有x的代数式表示，写出圆柱的侧面积，再由二次函数求最值．
本题考查圆柱与圆锥位置关系的应用，考查旋转体侧面积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵2R−b=2bsinB，
∴由正弦定理得bsinB−b=2bsinB，
整理得2sin2B+sinB−1=0，即(2sinB−1)⋅(sinB+1)=0，
解得sinB=12或sinB=−1(不合题意，舍去)，
又0(2)由余弦定理得b2=c2+a2−2cacsB=32+( 3)2−2×3× 3csπ6=3，
∴b= 3．
由正弦定理得bsinB=csinC，则sinC=csinBb=3×12 3= 32．
【解析】(1)已知等式由正弦定理化简，求出sinB，即可得出答案；
(2)由余弦定理求b，再由正弦定理求sinC，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)在△ABC中，因为BA=6，∠ABC=π3，
△ABC的面积为9 32=12AB⋅BC⋅sin∠ABC，
所以12×6×BC× 32=9 32，解得BC=3，
在△ABC中，由余弦定理，AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cs∠ABC=27，
所以AC=3 3．
(2)在△ACD中，由正弦定理，得ADsin∠ACD=ACsinD，所以sinD=3 3× 32 26=92 26
∴cs2D=2sin2D−1=2×81104−1=−2952．
【解析】(1)由已知可得12×6×BC× 32=9 32，可求CB，由余弦定理可求AC；
(2)由正弦定理求sinD，利用二倍角公式可求cs2D．
本题考查正余弦定理，考查二倍角的余弦公式，属中档题．
19.【答案】解：(1)依题意，f(x)= 3sin2ωx−(cs2ωx−sin2ωx)= 3sin2ωx−cs2ωx=2sin(2ωx−π6)，
(2)由(1)知，T=2π2ω=π，解得ω=1，则f(x)=2sin(2x−π6)，
当0由−π6<2x−π6≤π2得：0所以f(x)在(0,π3]上单调递增，[π3,π2)上单调递减；
(3)由(2)及已知，g(x)=f(x−φ)=2sin(2x−2φ−π6)，因y=g(x)图像关于x=0对称，则−2φ−π6=kπ+π2,k∈Z，
解得：φ=−π3−kπ2,k∈Z，又φ∈[0,π2]，即有k=−1，φ=π6，于是g(x)=−2cs2x．
由g(λx)=1得：cs(2λx)=−12，λ>0，而函数y=cs(2λx)的周期T′=2π2λ=πλ，
依题意，对于∀a∈R,cs(2λx)=−12在x∈[a,a+π3]上均有不少于6个且不多于10个根，则有3T′≤π35T′>π3，即3πλ≤π35πλ>π3，解得：9≤λ<15，
所以正实数λ的取值范围是[9,15)．
【解析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数；
(2)根据最小正周期公式求ω，再采用代入的方法求函数的单调区间；
(3)首先根据三角函数平移变换，以及函数性质求g(x)=−2cs2x，并求得cs(2λx)=−12，根据实根个数，转化为与周期有关的不等式，即可求λ的取值范围．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．