2024-2025学年山东省五莲县第一中学高一下学期期中模拟测试（三）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省五莲县第一中学高一下学期期中模拟测试（三）数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.点Atan4,cs2在平面直角坐标系中位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )
A. 12B. 2倍C. 13D. 3倍
3.已知向量a,b满足a=3，b=1，且2a−9b⊥a，则2a−9b与b的夹角的余弦值为( )
A. − 53B. −59C. 23D. 59
4.已知sinα−3csα=0，则cs2α+π2=( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
5.已知α,β均为第二象限角，则“csα>csβ”是“sinα>sinβ”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6.如图，点A为单位圆上一点且∠xOA=π3，点A沿单位圆逆时针方向旋转角α到点B(−45,35)，则tan(α+π12)=( )
A. −7B. −5C. −17D. −15
7.已知α+β+γ=π，β为锐角，tanα=3tanβ，则1tanγ+1tanα的最小值为( )
A. 12B. 43C. 32D. 34
8.在▵ABC中，AC⊥AB，AB=3，AC=1，点P是▵ABC所在平面内一点，AP=ABAB+2ACAC，且满足PM=2，若AM=xAB+yAC，则3x+y的最小值是( )
A. 3+2 2B. 2C. 1D. 3−2 2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中错误的是( )
A. 若a为非零向量，且a⋅b=a⋅c，则b=c
B. 对于非零向量a、b， 若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
C. 在▵ABC中，若2OA+OB+4OC=0，则▵BOC与▵ABC的面积之比为2:9
D. 已知a=(1,2)，b=(1,1)，且a与a+λb的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是−53,+∞
10.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是( )
A. AD≤10
B. AB⋅AD的最大值是78
C. 当AB⋅CD=0时，sin∠DAB=2 35
D. AC⋅AB=32
11.已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)+BA>0,ω>0,|φ|0)在区间0,π上有且仅有两个零点，则ω的最大值是
14.如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M，则cs∠EMF= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知角α的终边过点P(−4,3)．
(1)求tan(π+α)sin(π−α)−csπ2+α的值；
(2)若β为第三象限角，且tanβ=43，求cs(α−β)的值．
16.(本小题15分)
在平行四边形ABCD中，AB=2,AD=3,cs∠BAD=13,AF=FD,DE=λDC,λ∈[0,1]．
(1)若λ=13,AE与BF交于点N,AN=xAB+yAD，求xy的值；
(2)求BE⋅FE的取值范围．
17.(本小题15分)
已知向量a=2csx,sinx+ 2sinθ，b=2sinx,−csx+ 2csθ．
(1)若a//b，求cs(x+θ)；
(2)若θ=π4，函数f(x)=a⋅bx∈0,π；
(ⅰ)求f(x)的值域．
(ⅱ)当f(x)取最小值时，求与a垂直的单位向量c的坐标．
18.(本小题17分)
在△ABC中，已知AB=2，AC= 11，cs∠BAC=5 1122，D为BC的中点，E为AB边上的一个动点，AD与CE交于点O.设AE=xAB．
(1)若x=14，求COOE的值；
(2)求AO⋅CE的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数g(x)= 3sin(3π−x)+sin(3π2−x)．
(1)求函数g(x)的周期和对称轴方程；
(2)若将y=g(x)的图象上的所有点向右平移π6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数ℎ(x)的图象.若方程ℎ(x)=1在x∈[−π3,5π3]上的零点从小到大依次为x1,x2,⋯,xn，求x1+2x2++⋯+2xn−1+xn的值；
(3)若方程ℎ(x)=25在(0,π)上的解为x1,x2，求sin(x1−x2)．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.B
5.C
6.A
7.A
8.D
9.ACD
10.AD
11.BD
12.223° ；sin50°−sin40°
13.176或256
14. 210或110 2
15.解：(1)因为tan(π+α)sin(π−α)−csπ2+α=tanαsinα+sinα=tanα2sinα=12csα，
又因为角α的终边过点P(−4,3)，所以csα=−4 (−4)2+32=−45，
所以tan(π+α)sin(π−α)−csπ2+α=12⋅−45=−58；
(2)因为tanβ=sinβcsβ=43sin2β+cs2β=1且β为第三象限角，所以sinβ=−45csβ=−35,
又因为sinα=35,csα=−45，
所以cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=−45⋅−35+35⋅−45=0．
16.解：(1)设FN=tFB，则AN⃗=AF⃗+FN⃗=AF⃗+tFB⃗=AF⃗+tAB⃗−AF⃗
=(1−t)AF⃗+tAB⃗=1−t2AD⃗+tAB⃗
设AN=μAE=μAD+13AB=μAD+μ3AB．
根据平面向量基本定理得μ=1−t213μ=t ,解得t=17，
所以AN=17AB+37AD，则x=17,y=37，所以xy=349．
(2)因为BE=BA+AD+DE=(λ−1)AB+AD，
FE=FD+DE=λAB+12AD，
AB⋅AD=|AB|⋅|AD|cs∠BAD=3×2×13=2，
所以BE⋅FE=λ2−λAB2+12AD2+32λ−12AB⋅AD．
=4λ2−λ+92+3λ−1=4λ2−λ+72．
因为λ∈[0,1]，所以当λ=−−12×4=18时，BE⋅FE取得最小值，且最小值为5516，
当λ=1时，BE⋅FE取得最大值，且最大值为132．
故BE⋅FE的取值范围为5516,132．

17.解：(1)因为a=2csx,sinx+ 2sinθ，b=2sinx,−csx+ 2csθ，且a//b，
则2csx−csx+ 2csθ=2sinxsinx+ 2sinθ，
即2 2csxcsθ−sinxsinθ=2sin2x+cs2x
整理得 2cs(x+θ)=1，所以cs(x+θ)= 22．
(2)因为θ=π4，则a=2csx,sinx+1，b=2sinx,−csx+1，
可得f(x)=a⋅b=4sinxcsx+sinx+1−csx+1
=3sinxcsx+sinx−csx+1
=−32sinx−csx2+sinx−csx+52
设t=sinx−csx= 2sinx−π4，
因为x∈0,π，则x−π4∈−π4,3π4，
可得sinx−π4∈− 22,1，t= 2sinx−π4∈−1, 2，
(ⅰ)设g(t)=−32t2+t+52,t∈−1, 2，
因为g(t)=−32t2+t+52的图象开口向上，对称轴为t=13，
由二次函数性质可得：g(t)max=g13=83，g(t)min=g(−1)=0
所以f(x)的值域为0,83；
(ⅱ)当f(x)取最小值时，即t=−1,f(x)min=0，此时x=0，a=(2,1)
设c=(x,y)，由题意可得2x+y=0x2+y2=1，解得x= 55y=−2 55或x=− 55y=2 55,
所以c= 55,−2 55或− 55,2 55．

18.解：(1)因为C，O，E三点共线，所以有CO=λCE，
即CA+AO=λ(CA+AE)，得AO=(1−λ)AC+λxAB=(1−λ)AC+λ4AB，
同理可设AO=yAD=y2(AB+AC)，
所以得1−λ=y2，λ4=y2，解得λ=45,y=25．
所以CO=45CE，即COOE=4．
(2)解：
AO⋅CE=(1−λ)AC+λxAB⋅−AC+xAB
=11λ−11+4λx2+5x(1−2λ)，
由(1)可知1−λ=y2，λx=y2，所以λ=11+x，
所以AO⋅CE=9x2−16x1+x，
令1+x=t∈[1,2]，则AO⋅CE=9t+25t−34≥ 2 9×25−34=−4，
等号当且仅当t=53，即x=23时，AO⋅CE的最小值为−4．

19.解：(1)依题意，函数g(x)= 3sinx−csx=2sin(x−π6)，
所以函数g(x)的周期T=2π；
令x−π6=π2+kπ，得x=2π3+kπ,k∈Z
所以函数g(x)图象的对称轴方程x=2π3+kπ,k∈Z．
(2)依题意，ℎ(x)=g(2x−π6)=2sin(2x−π3)，由ℎ(x)=1，得sin(2x−π3)=12，
由x∈[−π3,5π3]，得2x−π3∈[−π,3π]，令u=2x−π3，sinu=12，u∈[−π,3π]，
设ui=2xi−π3(1≤i≤n,i∈N∗)，直线y=12与函数y=sinu在u∈[−π,3π]上的图象有四个交点，
点(u1,12),(u2,12)关于直线u=π2对称，点(u2,12),(u3,12)关于直线u=3π2对称，
点(u3,12),(u4,12)关于直线u=5π2对称，则u1+u2=π，u2+u3=3π，u3+u4=5π，
即u1+2u2+2u3+u4=9π，则2(x1+2x2+2x3+x4)−2π=9π
所以x1+2x2+2x3+x4=11π2．
(3)方程ℎ(x)=25在(0,π)上的解为x1,x2，则x1,x2为方程sin(2x−π3)=15在(0,π)上的两解，不妨设x1