2024-2025学年山东省淄博市沂源县第一中学高一下学期阶段测试（一）数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省淄博市沂源县第一中学高一下学期阶段测试（一）数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列量中是向量的为( )
A. 功B. 距离C. 拉力D. 质量
2.设i为虚数单位，若z=2−ii3，则z=( )
A. 2+iB. 2−iC. 1+2iD. 1−2i
3.在复平面内，复数z满足z=21+i，则复数z对应的点的坐标是( )
A. (1,−1)B. (−1,1)C. (−1,−1)D. (1,1)
4.设向量a=(x,2),b=(6,3).若a→/\!/b→，则x=( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
5.已知a=4，b=3，a⋅b=−12，则向量b在a方向上的投影向量为( )
A. −34aB. −34bC. −43bD. −43a
6.已知等边▵ABC的边长为1，点D,E分别为AB,BC的中点，若DF=3EF，则AF=( )
A. 12AB+34ACB. 12AB+56ACC. 12AB+ACD. 12AB+32AC
7.若▵ABC的三边为a，b，c，有aOA→+bOB→+cOC→=0→，则O是▵ABC的( )
A. 外心B. 内心C. 重心D. 垂心
8.在▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若B=π3,b2=94ac，则sinA+sinC=( )
A. 32B. 2C. 72D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=3−4i，以下说法正确的是( )
A. z的实部是3B. |z|=5
C. z=3+4iD. z在复平面内对应的点在第一象限
10.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,−2)B. e1=(0,2)，e2=32,0
C. e1=(3,5)，e2=(5,3)D. e1=(1,3)，e2=(−2,−6)
11.在▵ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列各组条件中使得▵ABC恰有一个解的是( )
A. a=18,b=20,A=π3B. a=12,b=24,A=π6
C. a=4,b=2,A=π2D. a=30,b=25,A=5π6
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z=m2−5m+6+m2−3mi是纯虚数，则实数m= ．
13.如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若AP=m+110AB+110BC，则m= ．
14.如图，为了测量河对岸的塔高AB，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=30∘,∠BDC=105∘，CD=40m，在点C测得塔顶A的仰角为60∘，则塔高AB= m．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=m2−6m+8+(m−2)i(m∈R)．
(1)若复数z为纯虚数，求实数m的值；
(2)若复数z在复平面内对应点位于第二象限，求实数m的取值范围．
16.(本小题15分)
(1)已知复数z=3+ti是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根，求实数p，t的值．
(2)已知平面向量a=(1,2)，b=(x,1)，满足2a+b=2a−b，求2a+b与2a−b的夹角的余弦值．
17.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且csCc=−csAa+2b．
(1)求角C的大小；
(2)若AC=BC=2，如图，D,E是AB上的动点，且∠DCE始终等于30∘，记∠CED=α.当α为何值时，▵CDE的面积取到最小值，并求出最小值．
18.(本小题17分)
如图，在斜坐标系xOy中，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且e1，e2的夹角为60∘，定义向量OP=xe1+ye2在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y)，记为OP=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中，完成如下问题：
(1)若u=(1,2)，v=(−3,1)，求u+2v的坐标；
(2)若a=(2,4)，b=(5,m)，且a⊥b，求实数m的值；
(3)若m=(4,−5)，n=(−2,3)，求向量m,n的夹角θ的余弦值．
19.(本小题17分)
已知a=−1,2 3,b=sin2x−cs2x,sinxcsx,函数f(x)=a⋅b．
(1)求函数f(x)的解析式及对称中心；
(2)若fπ12+α2=−2 33，且5π6