甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版）

这是一份甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高一下学期期中联考数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 一个志愿者组织有成员45人，40岁以上的成员有25人，如果按照年龄进行分层随机抽样，要抽取一个容量为18的样本，则应抽取40岁以上成员的人数为（ ）
A. 12B. 10C. 8D. 6
【答案】B
【解析】因为分层抽样的抽取比例为，所以应抽取40岁以上成员的人数为．
故选：B
2. 已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A. 6B. C. D. 3
【答案】A
【解析】由正弦定理，得．
故选：A
3. 已知向量满足，则在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以在方向上的投影向量为．
故选：D
4. 方程的复数根为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】方程的复数根为．
故选：A
5. 2019－2023年甘肃省地区生产总值指数依次为106.2，103.8，106.9，104.4，106.4，则这组数据的分位数是（ ）
A. 106.9B. 106.2C. 105.3D. 105.35
【答案】C
【解析】这组数据从小到大为103.8，104.4，106.2，106.4，106.9，
因为，所以这组数据的分位数是．
故选：C
6. 已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为有两解，得，得．
故选：B.
7. 已知为所在平面内的一点，为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得
．
故选：C
8. （ ）
A. B. C. D. 0
【答案】D
【解析】
．
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在某次测量中得到的样本数据为6，7，9，13，13，18，若样本数据恰好是样本数据每个都减2后所得数据，则两个样本的下列数字特征对应相同的是（ ）
A. 极差B. 众数C. 平均数D. 方差
【答案】AD
【解析】由题意得B样本数据为4，5，7，11，11，16，样本A的极差为，
样本B的极差为，极差相同，A正确．
样本A的众数为13，样本B的众数为11，B错误．
样本A的平均数比样本B的平均数大2，C错误．
样本A和B中的数据的稳定性相同，则样本A和B的方差相同，D正确．
故选：AD
10. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. 的虚部为D. 的共轭复数为
【答案】AC
【解析】由得，A正确，B错误．
的虚部为，C正确．
的共轭复数为，D错误．
故选：AC
11. 若关于的方程在上恰有两个不同的实数解，则的值可能为（ ）
A. 0B. C. D. 2
【答案】ABC
【解析】设函数，则
．由，得．由在上恰有两个不同的实数解，结合正弦函数的图象，得．
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若向量，且，则______．
【答案】
【解析】因为向量，且，所以，解得．
故答案为：
13. 已知复数满足，则______，______．
【答案】；
【解析】由题意得，得．
故答案为：；
14. 如图，
某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口北偏西方向且与该港口相距20nmile的处，并以15nmile／h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以mile的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇，则的最小值为______．
【答案】2
【解析】如图，假设小艇与轮船在点相遇，

由题意得，，．
由余弦定理得，得，
解得或4．故的最小值为2．
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数．
（1）若为纯虚数，求；
（2）若在复平面内对应的点在直线上，求的值．
解：（1）由题意得，解得，
故；
（2）在复平面内对应的点为，
则，得，
解得或．
16. 某校高一学生有2000名，为了了解高一学生的体能情况，该校随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，将得到的数据按，分为5组，画出频率分布直方图，如图所示．
（1）求的值；
（2）若跳绳次数不少于115为达标，估计该校全体高一学生达标的人数；
（3）估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）
解：（1）由图可得，得．
（2）样本中的达标率为，
则估计该校全体高一学生达标的人数为.
（3）估计该校全体高一学生跳绳次数的平均数为．
17. 已知．
（1）求的值．
（2）已知为第四象限角．
①求的值；
②求的值．
解：（1）由，
得，解得或3．
（2）①由题意得，且．
由得
②
．
18. 如图，已知正方形的边长为2，为的中点．
（1）求；
（2）求与夹角的余弦值；
（3）若为线段上一点，且，求；
（4）若，求外接圆的半径．
解：（1）如图，以为原点，所在的直线分别为轴，轴建立直角坐标系，
则．
因为，所以．
（2）因为，
所以与夹角的余弦值为．
（3）设，则，得．
因为，所以，
得（负根舍去），故．
（4）由，得，则，
得．
设外接圆的半径为，则，
得．
19. 已知的内角的对边分别为，且．
（1）证明：．
（2）若，求面积的最大值．
（3）若，求的值．
解：（1）由，得，
得，
即．
由正弦定理及余弦定理得，得．
（2）由，得，
当且仅当时，等号成立．
由余弦定理得，
则．
故面积的最大值为．
（3），①
由，
得．②
③
由①②③得 得或
因为，所以，则．