2023-2024学年甘肃省白银市靖远四中高一（下）开学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年甘肃省白银市靖远四中高一（下）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x||x|<3}，集合B={x|0A. {x|02.已知函数f(x)的定义域是[−1,3]，则函数g(x)=f(2x−1) x的定义域是( )
A. [−3,5]B. [−3,0)∪(0,5]C. (0,2]D. [0,2]
3.已知sin(60°+α)=−14，则cs(30°−α)的值为( )
A. −14B. 14C. −2 23D. 2 23
4.已知α为锐角，sin(α+45°)=35，则sin2α=( )
A. 725B. 1425C. ±1425D. −725
5.若函数y=lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为( )
A.
B.
C.
D.
6.“ln(a−b)<0”是“aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
7.设a=lg23，b=lg30.3，c=3−0.2，则a，b，c的大小关系是( )
A. a>c>bB. c>a>bC. b>c>aD. a>b>c
8.某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品.要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为( )
A. 20 2cmB. 30 5cmC. 40 5cmD. 60 2cm
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若aA. 1b<1aB. 1a+b<1abC. ln|a|10.已知f(x)=ex,x≤1x2+1,1A. −1B. ln2C. 1D. e
11.已知角α的终边经过点A(m,3)，且sinα=35，则m的值可能是( )
A. 4B. 3C. −4D. −3
12.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)+f(x+1)=1.若f(−1)=−12，则下列说法中正确的是( )
A. f(0)=32B. f(x)的周期为2
C. f(2023)=12D. f(x)的图象关于(12,12)中心对称
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若某扇形的圆心角为π4，面积为π2，则该扇形的半径是______．
14.将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后，再将得到图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y=2sin(4x−π4)的图象，则f(x)= ______．
15.函数f(x)=lga(2x−1)(a>0，且a≠1)恒过的定点是______．
16.关于x的方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15有且仅有1个实数根，则实数m的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
计算：2723−(616)3+eln3−lg23⋅lg 32+(−2024)0．
18.(本小题12分)
已知2csα−sinαsinα−csα=2，cs(α+β)=− 55，且α，β均为锐角．
(1)求tanα的值；
(2)求sin2α的值；
(3)求tanβ的值．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=2sin2ωx+2 3sinωxcsωx(ω>0)图像的两个相邻的对称中心的距离为π2．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求方程|f(x)|=12在区间[0,π]上的所有实数根之和．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2x+4x+2．
(1)求函数f(x)在区间[−1,1]上的最值；
(2)若关于x的方程(x+2)f(x)−ax=0在区间(0,3)内有两个不等实根，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
桑基鱼塘是广东省珠江三角洲一种独具地方特色的农业生产形式.某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间挖成三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，鱼塘周围的基围宽均为2米，如图所示，池塘所占面积为S平方米，其中a：b=1：2．
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
22.(本小题12分)
已知二次函数f(x)同时满足以下条件：①f(2+x)=f(2−x)，②f(0)=1，③f(2)=−3．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若h(x)=f(x)+(m+4)x，x∈[−1,2]，求：
①h(x)的最小值φ(m)；
②讨论关于m的方程|φ(m)|=k的解的个数．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由A={x|−3故选：A．
求出集合A，即可得出答案．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)的定义域是[−1,3]，∴−1≤2x−1≤3，解得0≤x≤2，
∴函数y=f(2x−1)的定义域为[0,2]．
要使g(x)=f(2x−1) x有意义．则0≤x≤2x>0，解得0∴g(x)=f(2x−1) x的定义域是[0,2]．
故选：C．
由已知求解f(2x−1)的定义域，再结合分式的分母不为0求解．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3.【答案】A
【解析】解：cs(30°−α)=cs[90°−(60°+α)]=sin(60°+α)=−14．
故选：A．
利用诱导公式进行求解．
本题考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为α为锐角，sin(α+45°)=35，
所以sin2α=−cs(2α+90°)=−[1−2sin2(α+45°)]=−1+2×925=−725．
故选：D．
利用诱导公式和二倍角余弦公式直接求解即可．
本题主要考查了诱导公式和二倍角余弦公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵函数y=lgax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，
∴lga4=−2，解得a=12，
对于A，y=(12)x是减函数，与图象不符，故A错误；
对于B，y=|x|12，与图象不符，故B错误；
对于C，y=lg12x，与图象不符，故C错误；
对于D，y=x12，与图象相符，故D正确．
故选：D．
数形结合得lga4=−2，解得a=12，由此能求出结果．
本题考查对数函数、幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：若ln(a−b)<0=ln1，可得0若a综上所述：“ln(a−b)<0”是“a故选：A．
根据对数函数性质结合充分、必要条件分析判断．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了对数函数的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为lg23>lg22=1，所以a>1，
因为lg30.3因为0<3−0.2<30，所以0所以a>c>b．
故选：A．
以0和1为中间值，结合指数及对数函数的单调性比较即可．
本题主要考查了指数函数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：如图设EF=10cm，FG=20cm，
令∠AEF=α，则AF=10sinα，∠AFE=π2−α，∠BFG=α，BF=20csα，BG=20sinα，∠BGF=π2−α，
则∠CGM=α，CG=10csα，
∴周长=2AB+2BC=2(10sinα+20csα)+2(20sinα+10csα)
=60sinα+60csα=60 2sin(α+π4)≤60 2，当α=π4时取等号，
即矩形框架周长的最小值为60 2cm．
故选：D．
由已知作图如图所示，设∠AEF=α，利用三角函数表示各边长，借助三角函数性质计算可得结果．
本题主要考查了三角函数的定义，正弦函数的性质，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：由a−b>0，则1−b<1−a，即1b<1a，故A正确；
因为1a+b<0,1ab>0，所以1a+b<1ab，故B正确；
当a=−2，b=−1时，|a|>|b|，则ln|a|>ln|b|，故C错误；
由a−b>0，则(−a)3>(−b)3，即−a3>−b3，则a3故选：ABD．
利用不等式的基本性质求解．
本题考查了不等式的基本性质，基本不等式的应用，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：因为f(x)=ex,x≤1x2+1,1若f(x)=2，
则ex=2x≤1，或x2+1=21解得x=ln2，或x=e．
故选：BD．
利用函数f(x)的解析式，结合指数、对数运算可求得结果．
本题主要考查了由函数值求解x的值，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：角α的终边经过点A(m,3)，
则sinα=3 m2+32=35，解得m=±4．
故选：AC．
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，因为函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x)+f(x+1)=1．
所以f(1)=f(−1)=−12，
令x=−1得f(−1)+f(0)=1，所以f(0)=32.故A正确．
对于B，因为f(x)+f(x+1)=1…①，所以f(x+1)+f(x+2)=1…②
①−②得：f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2.故B正确．
对于C，f(x)的最小正周期为2，f(2023)=f(2×1011+1)=f(1)=−12.故C不正确．
对于D，由f(x)+f(x+1)=1得f(−x)+f(x+1)=1，
所以f(x)图象关于(12,12)中心对称．故D正确．
故选：ABD．
根据题意，由特殊值分析A，分析函数的周期可得B正确，利用周期性分析可得C错误，分析f(x)的对称性，可得D正确，综合可得答案．
本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性、对称性、周期性，属于中档题．
13.【答案】2
【解析】解：设扇形的面积为r，则扇形面积S=12×π4r2=π2，
解得r=2．
故答案为：2．
根据扇形面积公式直接求解即可．
本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
14.【答案】2sin(2x+5π12)
【解析】解：将函数y=2sin(4x−π4)的图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，
得到y=2sin(2x−π4)的图象，再将其图象向左平移π3个单位长度，
得到y=2sin[2(x+π3)−π4]=2sin(2x+5π12)．
故答案为：2sin(2x+5π12)．
根据平移变换规律即可确定解析式．
本题考查三角函数变换，属于基础题．
15.【答案】(1,0)
【解析】解：令2x−1=1，解得x=1，此时f(1)=lga1=0，
所以函数f(x)=lga(2x−1)(a>0，且a≠1)恒过的定点是(1,0)．
故答案为：(1,0)．
根据对数函数性质结合指数幂运算求解．
本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．
16.【答案】1
【解析】解：根据题意，若方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15有且仅有1个实数根，
则方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15，即(x−1)2−mcs(x−1)+m2+16m−16=0有且只有一个根，
设f(x)=(x−1)2−mcs(x−1)+m2+16m−16，
易知函数f(x)图象的对称轴为直线x=1，又方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15有且仅有1个实数根，
所以f(1)=0，即m2+15m−16=0，解得m=1或m=−16，
当m=−16时，函数f(x)=(x−1)2+16cs(x−1)−16，
易知函数是连续函数，又f(3)=16cs2−7<0，f(8)=33+16cs7>0，
所以函数f(x)在[3,8]上也必有零点，此时f(x)不止有一个零点，故m=−16不符合题意，
当m=1时，f(x)=(x−1)2−cs(x−1)+1，此时f(x)只有x=1这一个零点，故m=1符合题意．
故答案为：1．
根据题意，分析可得方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15，即(x−1)2−mcs(x−1)+m2+16m−16=0有且只有一个根，设f(x)=(x−1)2−mcs(x−1)+m2+16m−16，易知函数f(x)图象的对称轴为直线x=1，又方程x2−2x+m2+16m=mcs(x−1)+15有且仅有1个实数根，可得f(1)=0，可得m的值．
本题考查函数与方程的关系，涉及函数的零点与方程的根，属于综合题．
17.【答案】解：2723−(616)3+eln3−lg23⋅lg 32+(−2024)0=32−23×23+3−lg3lg2⋅lg212lg3+1
=9−4+3−2+1=7．
【解析】由已知结合指数幂及对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵2csα−sinαsinα−csα=2，
∴2−tanαtanα−1=2，解得tanα=43；
(2)法1°：由(1)tanα=43，α为锐角，可得csα=1 1+tan2α=35，sinα= 1−cs2α=45，
∴sin2α=2sinαcsα=2425；
法2°：由(1)tanα=43，得sin2α=2sinαcsα=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanα1+tan2α=831+169=2425；
(3)∵cs(α+β)=− 55，α，β均为锐角，
∴sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=2 55，
∴tan(α+β)=−2，
∴tanβ=tan[(α+β)−α]=tan(α+β)−tanα1+tan(α+β)tanα=−2−431+(−2)×43=2．
【解析】(1)将已知2csα−sinαsinα−csα=2中的“弦”化“切”，可求得tanα的值；
(2)法1°：由tanα=43，α为锐角，可求得csα与sinα的值，利用二倍角的正弦公式可求得答案；
法2°：利用除“1”法，转化为sin2α=2tanα1+tan2α，代入tanα=43可求得答案；
(3)依题意，先求得tan(α+β)的值，再利用两角差的正切可求得tanβ的值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数间关系的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)f(x)= 3sin2ωx−cs2ωx+1=2sin(2ωx−π6)+1，
因为两个相邻的对称中心的距离为π2，
所以f(x)的最小正周期T为π，而T=2π2ω=π，解得ω=1，
所以f(x)=2sin(2x−π6)+1，
函数的单调递增区间满足：2x−π6∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]k∈Z，
解得：x∈[−π6+kπ,π3+kπ]k∈Z，
所以f(x)的单调递增区间是[kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)；
(2)|f(x)|=12的实数根，即y=|f(x)|的图象与直线y=12的交点横坐标，
当x∈[0,π]时，2x−π6∈[−π6,11π6]，
由2x−π6=π2，得x=π3，由2x−π6=3π2，得x=5π6，
作出y=|f(x)|在[0,π]上的图象与直线y=12，
大致如图：
由图可知，y=|f(x)|的图象与直线y=12在[0,π]上有4个交点．其中两个关于直线x=π3对称，
另外两个关于直线x=5π6对称，
所以4个交点的横坐标之和为π3×2+5π6×2=7π3．
即所求的实数根之和为7π3．
【解析】(1)由半角公式及三角恒等变换可得函数的解析式，再由题意可得函数最小正周期，可得ω的值，即求出函数的解析式，再求函数的单调递增区间；
(2)由数形结合，可得实数根之和．
本题考查三角函数的性质的应用，数形结合的方法求函数的零点，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f′(x)=(2x+2)(x+2)−(x2+2x+4)(x+2)2=x2+4x(x+2)2，x∈[−1,1]，
所以在(−1,0)上，f′(x)<0，f(x)单调递减，
在(0,1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，
f(−1)=(−1)2+2×(−1)+4−1+2=3，
f(0)=2，f(1)=12+2×1+41+2=73，
所以f(x)在[−1,1]上的最大值为3，最小值为2．
(2)因为关于x的方程(x+2)f(x)−ax=0在区间(0,3)内有两个不等实根，
则(x+2)⋅x2+2x+4x+2−ax=0在区间(0,3)内有两个不等实根，
所以x2+2x+4−ax=0在区间(0,3)内有两个不等实根，
所以a=x2+2x+4x在区间(0,3)内有两个不等实根，
令g(x)=x2+2x+4x，x∈(0,3)，
g(x)=x+2+4x≥2 x⋅4x+2=6(当且仅当x=2时，取等号)，
x→0时，x→+∞；g(3)=32+2×3+43=193，
所以a的取值范围为(6,193).
【解析】(1)求导得f′(x)，分析f′(x)的正负，进而可得f(x)单调性，最值．
(2)问题可转化为a=x2+2x+4x在区间(0,3)内有两个不等实根，令g(x)=x2+2x+4x，x∈(0,3)，则y=a与y=g(x)，x∈(0,3)有两个交点．即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题可得：xy=1800，b=2a，
则y=a+b+6=3a+6，
即a=y−63．
S=(x−4)a+(x−6)×b=(3x−16)y−63
=1832−6x−163y(x>0)．
(2)法一：S=1832−6x−163y≤1832−2 6x×163y
=1832−480=1352，
当且仅当6x=163y，即x=40，y=45时，S取得最大值1352．
法二：S=1800−6x−163×1800x+32=1832−(6x+9600x)≤1832−2 6x9600x
=1832−480=1352，
当且仅当6x=9600x，即x=40时取等号，S取得最大值．
此时y=1800x=45．
法三：设S=f(x)=1832−(6x+9600x)(x>0)
f′(x)=9600x2−6=6(40−x)(40+x)x2．
令f′(x)=0，得x=40．
当00；当x>40时，f′(x)<0．
∴当x=40时，S取得最大值，此时y=45．
【解析】(1)由已知该项目占地为1800平方米的矩形地块，我们可得xy=1800，结合图形还易得b=2a，及y=a+b+6=3a+6，由此我们易将池塘所占面积S表示为变量x，y的函数．
(2)要求S的最大值，我们有三种思路：①根据xy=1800，直接使用基本不等式；②根据xy=1800，消元后再使用基本不等式；③根据xy=1800，消元后利用导数判断函数的单调性，再求最大值．
函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．
22.【答案】解：(1)由f(2+x)=f(2−x)得函数f(x)的对称轴x=2，故可设f(x)=a(x−2)2+b，
因为f(0)=1，f(2)=−3，
所以4a+b=1b=−3，解得a=1，b=−3，
所以函数f(x)=(x−2)2−3=x2−4x+1；
(2)①h(x)=f(x)+(m+4)x=x2+mx+1，x∈[−1,2]，对称轴x=−m2，
当−m2≤−1即m≥2时，函数h(x)在[−1,2]上单调递增，h(x)min=h(−1)=2−m，
当−1<−m2<2即−4当−m2≥2即m≤−4时，函数h(x)在[−1,2]上单调递减，h(x)min=h(2)=5+2m，
综上φ(m)=2−m,m≥21−m24,−4②由方程和函数的关系，分别作出y=|φ(m)|与y=k的图象，如图所示，
由图可知，
当k<0时，方程|φ(m)|=k有0个解；
当0当k=0或k>1时，方程|φ(m)|=k有2个解，
当k=1时，方程|φ(m)|=k有3个解．
【解析】本题主要考查了待定系数求解函数解析，考查了二次函数闭区间上最值的求解及方程解的个数的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
(1)由已知可得函数的对称轴x=2，先设出函数解析式，结合已知代入可求；
(2)①结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论，然后确定二次函数在已知区间上的单调性，进而可求；
②结合二次函数的性质，转化为求解函数图象的交点问题可求．

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