甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省白银市靖远县多校2025届高三下学期5月冲刺联考 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（ ）
A．B．C．D．
2．若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．已知集合，集合，则（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，且与的夹角为，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（ ）
A．12B．8C．6D．7
二、多选题
9．已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．增加两个样本点后的平均数为1.2
C．
D．在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2
10．如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”的方程为，则椭圆的（ ）
A．长半轴长为B．短半轴长为
C．焦距为4D．离心率为
11．已知函数，且，则下列结论正确的有（ ）
A．不一定有极值
B．当时，
C．当时，的极小值为0
D．当时，在区间上的最小值为
三、填空题
12．若函数的最小正周期是，则 .
13．已知数列满足，若，则 .
14．已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的体积为 ，球的表面积为 .
四、解答题
15．在如图所示的多面体中，平面，且是的中点.
（1）求证：平面平面.
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
16．已知的内角的对边分别为，且.
（1）求的值.
（2）已知.
（i）求的值；
（ii）求的面积.
17．已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.
18．已知函数，且曲线在点处的切线方程为.
（1）求实数的值.
（2）当时，证明：当时，.
（3）当时，若存在，使得成立，证明：.
19．若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.
（1）求集合中元素的个数；
（2）求概率的值；
（3）若的期望，求的最小值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】.
故选C.
2．【答案】A
【详解】.
故选A.
3．【答案】C
【详解】因为集合，集合，
所以，则，故A，B，D项错误，C项正确.
故选C.
4．【答案】D
【详解】由，
解得或（因，故舍去）.
故选D.
5．【答案】D
【详解】，
等号成立，
.
故选D.
6．【答案】B
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，
故异面直线和夹角的余弦值为.
故选B.
7．【答案】C
【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”，
样本点的总数为，，
事件同时发生的情况种数为，
∴，.
.
故选C.
8．【答案】D
【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，
因为四边形为梯形，且，
设，则，
所以，所以，
作轴于点，则，
因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，
故，
所以，
所以四边形的面积为.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确；
对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确；
对于C，增加两个样本点后的平均数为，则，解得，C错误；
对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确.
故选ABD
10．【答案】AD
【详解】，
，解得.
该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，
短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，
椭圆的焦距为，
椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误.
故选AD.
11．【答案】ACD
【详解】当时，，函数在上单调递减，
函数无极值，故A项正确；
当时，，
且，则故B项错误；
当时，，且，
当或时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
在处取得极小值故C项正确；
当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数，
当时，在区间上有最小值，
故D项正确.
故选ACD.
12．【答案】3
【详解】因为函数的最小正周期是，
所以，则.
13．【答案】
【详解】，
，
将这个式子的左右两边分别相加可得，
，
.
14．【答案】
【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心，
则底面，
令为的中点，连接，
记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，，
侧面与底面所成的角为
，
球的体积为.
设，
由于，即，
，两式相减可得，即，
，
球的表面积为.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）是的中点，
.
平面，
平面平面
，
平面平面，
平面
平面
平面平面.
（2）以为原点，分别以所在直线为轴，过点且竖直向上的直线为轴，建立如图所示的坐标系，
则，
则，
设平面的法向量为，
则取，解得.
设平面的法向量为，
则取，解得.
记平面与平面夹角为，
，
平面与平面夹角的余弦值为.
16．【答案】（1）
（2）（i）2；（ii）
【详解】（1），
，
，
，
.
.
（2）（i）
∴由正弦定理得，
由（1）知，
∴由余弦定理得，
解得.
（ii）的面积为.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为.
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，即，
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
（3）证明见解析
【详解】（1）.
曲线在点处的切线方程为.
（2）当时，，
在上恒成立，
在上单调递增，
当时，.
（3）当时，，
当时，存在成立，
，
得.
由（2）可知，当时，单调递增，
，即，
，
设，
则，
当时，，则，
，
，
.
19．【答案】（1）个元素
（2）
（3）32
【详解】（1）根据数列中1的个数可得集合中元素的个数为
集合中共有个元素.
（2）数列为中的两个数列，它们各项元素不能完全相同，
不能取的所有可能取值为.
当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，
从项中选择项，和在项中的某一项数字相同，其余项，两者均在同一位置数字相反.
问题为组合问题，所有的情况会重复1次，共有种情况，
概率.
（3）随机变量的分布列为
，
.
令，则，
数列是递增函数.
，
的最小值为32.
1
2
3
...
...