天津市天津市河北区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

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一、选择题
1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意得：，
∴，
故选：B．
2. 估算的值是在（ ）
A. 3和4之间B. 4和5之间C. 5和6之间D. 6和7之间
【答案】B
【解析】∵16＜19＜25，
∴4＜＜5．
故选：B．
3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（ ）
A. 8B. 10C. 12D. 18
【答案】C
【解析】由勾股定理可得：，
故选：C．
4. 若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】三角形的三条中位线长分别为，，，
三角形的三条边长分别为，，，
原三角形的周长为，
故选：C．
5. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行四边形的对角线互相垂直B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 菱形的对角线相等D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】D
【解析】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误；
C.菱形的对角线互相垂直，故C错误；
D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确．
故选：D．
6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（ ）
A. 4B. 4.5C. 5D. 6
【答案】C
【解析】由作图得：平分，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（ ）
A. 55°B. 40°C. 35°D. 20°
【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD，
∵∠AOD=110°，
∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=90°-∠DOE=20°，
∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°；
故选：C．
8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，作轴于点，
，
菱形，，
，，
是等边三角形，
，
，
，
点的坐标为，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故选：A．
9. 如图，在中，，，于点，于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】∵，
∴，
∵，点是的中点，
∴，，
∵的周长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
10. 如图，在中，，，，平分，交于点，于点，则的长为（ ）
A. 6B. C. 7D. 8
【答案】B
【解析】，，
，
为等腰三角形，
又平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
11. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（ ）．
A. 24B. 17C. 18D. 10
【答案】C
【解析】如图，连接，
∵F是的边上的点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
12. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图，连接，
四边形为正方形，
，，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
即，
为中点，
，
，为中点，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，为中点，
，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题
13. 计算的结果等于______．
【答案】
【解析】原式
.
故答案为：.
14. 边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的度数为____．
【答案】15°
【解析】∵依题意，边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，
∴
∴，
在中，.
故答案为：15°.
15. 已知菱形的周长为20cm，两邻角的比为2︰1，则较短的对角线长为___________cm．
【答案】5
【解析】如图，
∵菱形的周长是20cm，
∴AB=20÷4=5cm，
∵两邻角的比是1：2，
∴∠B=×180°=60°，
∵菱形的边AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴较短的对角线AC=AB=5cm．
故答案为5.
16. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是________．
【答案】
【解析】由题意可得：大正方形的边长为，
小正方形的边长，
小正方形的面积为，
故答案为：.
17. 已知，则值为______．
【答案】
【解析】∵，
∴，
故答案为：．
18. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______.
【答案】
【解析】连接并延长交于点P，连接，如图所示，
四边形是正方形，
，
，
E、F分别为边的中点，
．
G为的中点，
，
在和中，
，
．
．
G为的中点，
H为的中点，
是的中位线．
．
在中，
，
．
．
故答案为：．
三、解答题
19. 计算下列各题.
（1）；
（2）．
解：（1）原式
；
（2）原式
．
20. 校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，．
（1）求蔬菜区边的长；
（2）求花卉区的面积．
解：（1）∵，，，
∴
；
答：蔬菜区边的长为；
（2）∵，
∴，
∴花卉区的面积，
答：花卉区的面积为．
21. 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）________的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中．
解：（1）∵，
∴，
∴，
∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）．
（2）由条件可知，
原式
，
当时，原式．
22. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若，于点E，求的度数．
（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，，
∴四边形是平行四边形，，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
23. 如图，已知的中线、相交于点O，M、N分别为、的中点．
（1）求证：和互相平分；
（2）若，，，求的面积．
（1）证明：连接、，如图所示：
∵、是的中线，
∴E、D是、中点，
∴，，
∵M、N分别为、的中点，
∴，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴和互相平分；
（2）解：∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据解析（1）可知，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
24. 如图，矩形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点，重合，过点作射线交轴于点，交轴于点，使得．
（1）如图①，若为等腰直角三角形，求点的坐标．
（2）如图②，过点作交轴于点，连接，．若四边形是平行四边形，求坐标．
解：（1）为等腰直角三角形，
，
为矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，过点P作轴，交于点M，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
.