天津市河北区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷

这是一份天津市河北区2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥﹣1C．x≤0D．x≤﹣1
2．（3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法判断
3．（3分）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．65°C．115°D．130°
4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处．这棵大树在折断前的高度为（ ）m．
A．5B．7C．8D．9
5．（3分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）化简的结果为（ ）
A．﹣1B．C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AD，AC的中点，则EF的长为（ ）该试卷源自 每日更新，提供24小时找卷服务，全网性价比高。
A．5B．4C．D．2
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交边BC于点D，若AC＝，则线段BD的长为（ ）
A．B．1C．2D．3
9．（3分）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为（ ）
A．12B．17C．28D．16
11．（3分）如图，将一个有30°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为1cm的纸带边上．另一个顶点A在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角板斜边AB的长度为（ ）cm．
A．2B．C．D．3
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且△PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①△PAD为等腰三角形；②△PBC的面积为；③AP2＝2﹣；④△PBD的面积为．其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（3分）计算的结果是 ．
14．（3分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2的值是 ．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC＝120°，AB＝6，则菱形ABCD的面积为 ．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AB⊥AC，则BD的长度为 cm．
17．（3分）当1＜a＜2时，代数式的值是 ．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（6分）计算：
（1）（2﹣6+3）÷2；
（2）（2+5）（2﹣5）﹣（﹣）2．
20．（8分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 ．
21．（6分）若x+y＝，xy＝1﹣，求代数式（x+1）（y+1）的值．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
23．（8分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，求GH的长．
24．（10分）矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，F为AB上一点，将△BCF沿CF折叠，使点B恰好落在AD与y轴的交点E处．连接CE，若AE、AB的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥0B．x≥﹣1C．x≤0D．x≤﹣1
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故选：B．
2．（3分）若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，则这个三角形的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形
C．钝角三角形D．无法判断
【解答】解：∵（a﹣3）2+|b﹣4|+＝0，
∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，c﹣5＝0，
∴a＝3，b＝4，c＝5，
∵32+42＝52＝25，
∴这个三角形是直角三角形．
故选：B．
3．（3分）已知▱ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（ ）
A．50°B．65°C．115°D．130°
【解答】解：在▱ABCD中，∠A＝∠C，∠A+∠D＝180°，
∵∠A+∠C＝130°，
∴∠A＝∠C＝65°，
∴∠D＝180°﹣∠A＝115°，
故选：C．
4．（3分）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4m处．这棵大树在折断前的高度为（ ）m．
A．5B．7C．8D．9
【解答】解：如图所示：
∵△ABC是直角三角形，AB＝3m，AC＝4m，
∴BC＝＝5（m），
∴这棵树原高：3+5＝8（m），
故选：C．
5．（3分）如图，长方形内有两个相邻的正方形，其面积分别为2和6，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵两个正方形的面积分别为2和6，
∴它们的边长分别为和，
由图可知，
长方形的长为（），宽为小正方形的边长，
∴阴影部分的面积为：（）×＝22，
故选：D．
6．（3分）化简的结果为（ ）
A．﹣1B．C．D．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，点E，F分别是AD，AC的中点，则EF的长为（ ）
A．5B．4C．D．2
【解答】解：∵AB＝AC，BC＝10，AD⊥BC于点D，
∴CD＝BD＝BC＝5．
∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF是△ADC的中位线．
∴EF＝CD＝．
故选：C．
8．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB交边BC于点D，若AC＝，则线段BD的长为（ ）
A．B．1C．2D．3
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
又∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B＝30°，
∴BD＝AD，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，AC＝，
∴BD＝AD＝2，
故选：C．
9．（3分）如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，AD长为半径画弧；②以点D为圆心，AB长为半径画弧；③两弧在BD上方交于点C，连接BC，DC．可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ）
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．一组对边平行且相等
【解答】解：由作图知，BC＝AD，CD＝AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
故判定四边形ABCD为平行四边形的条件是两组对边分别相等，
故选：B．
10．（3分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC+BD＝18，AB＝7．则△OCD的周长为（ ）
A．12B．17C．28D．16
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴OC＝OA＝AC，OD＝OB＝BD，CD＝AB＝7，
∵AC+BD＝18，
∴OC+OD＝（AC+BD）＝×18＝9，
∴OC+OD+CD＝9+7＝16，
∴△OCD的周长为16，
故选：D．
11．（3分）如图，将一个有30°角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为1cm的纸带边上．另一个顶点A在纸带的另一边上，测得三角板的较短直角边AC与纸带边所在的直线成45°角，则该三角板斜边AB的长度为（ ）cm．
A．2B．C．D．3
【解答】解：由题意得ACsin45°＝1，解得AC＝，
∵是有30°角的直角三角板
∴AC＝ABsin30°，解得AB＝．
故选：B．
12．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，P为正方形内一点，且△PBC为等边三角形，某同学根据条件得出四个结论：①△PAD为等腰三角形；②△PBC的面积为；③AP2＝2﹣；④△PBD的面积为．其中正确的是（ ）
A．①③B．①④C．①③④D．①②③④
【解答】解：过P作PN⊥BC于N，过A作AM⊥BP于M，如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝1，∠ABC＝90°＝∠BCD，
∵△PBC为等边三角形，
∴PB＝PC＝BC＝1，∠PBC＝60°＝∠PCB，
∴∠ABP＝30°＝∠DCP，
∴△ABP≌△DCP（SAS），
∴AP＝DP，即△PAD为等腰三角形，故①正确；
在Rt△BPN中，BN＝PB＝，PN＝BN＝，
∴△PBC的面积为BC•PN＝×1×＝，故②错误；
在Rt△ABM中，AM＝AB＝，BM＝AM＝，
∴PM＝PB﹣BM＝1﹣，
在Rt△APM中，
AP2＝AM2+PM2＝（）2+（1﹣）2＝2﹣，故③正确；
∵S△ABP＝PB•AM＝×1×＝，
∴S△CDP＝，
∵S△PBC＝BC•PN＝×1×＝，
∴S四边形PBCD＝+，
∵S△BCD＝BC•CD＝，
∴S△PBD＝S四边形PBCD﹣S△BCD＝，
即△PBD的面积为，故④正确；
∴正确的有：①③④，
故选：C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．
13．（3分）计算的结果是 3 ．
【解答】解：
＝，
＝5﹣2，
＝3，
故答案为：3．
14．（3分）在Rt△ABC中，斜边BC＝10，则AB2+AC2的值是 100 ．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵斜边BC＝10，
∴AB2+AC2＝BC2＝100，
故答案为：100．
15．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC＝120°，AB＝6，则菱形ABCD的面积为 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，
∴∠BAD＝60°，AC⊥BD，
∴∠BAC＝30°，
∵AB＝6，
∴，
∴，
∴，
∴菱形ABCD的面积＝．
故答案为：．
16．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，AB⊥AC，则BD的长度为 cm．
【解答】解：设AC与BD交点为M，如图所示：
∵AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm，
∴，
∴，
在Rt△BAM中，，
∴，
故答案为：．
17．（3分）当1＜a＜2时，代数式的值是 1 ．
【解答】解：
＝|a﹣2|+|a﹣1|．
当1＜a＜2时，
a﹣2＜0，a﹣1＞0．
∴原式＝2﹣a+a﹣1
＝1．
故答案为：1．
18．（3分）如图，在矩形ABCD中，DE⊥CE，∠ADE＝30°，DE＝4，则这个矩形的面积是 16 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC．
在Rt△ADE中，
∵∠A＝90°，∠ADE＝30°，DE＝4，
∴AE＝DE＝2，AD＝AE＝2．
∵DE⊥CE，∠A＝90°，
∴∠BEC＝∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°．
在Rt△BEC中，
∵∠B＝90°，∠BEC＝30°，BC＝AD＝2，
∴BE＝BC＝6，
∴AB＝AE+BE＝2+6＝8，
∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝8×，
故答案为：16．
三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
19．（6分）计算：
（1）（2﹣6+3）÷2；
（2）（2+5）（2﹣5）﹣（﹣）2．
【解答】解：（1）（2﹣6+3）÷2；
＝（4﹣2+12）÷2
＝14÷2
＝7
（2）（2+5）（2﹣5）﹣（﹣）2．
＝（2）2﹣（5）2﹣（5﹣2+2）
＝20﹣50﹣（7﹣2）
＝﹣37+2．
20．（8分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD平分∠BAC，且AD⊥CD于点D．若AB＝6，AC＝3，则DE的长为 ．
【解答】解：延长CD交AB于N，
∵AD平分∠BAC，AD⊥CD，
∴∠NAD＝∠CAD，∠ADN＝∠ADC＝90°，
又∵AD＝AD，
∴△ADN≌△ADC（ASA），
∴AC＝AN＝3，DN＝DC，
∴BN＝AB﹣AN＝3，
∵点E是BC的中点，
∴BE＝CE，
则DE是△BCN的中位线，
∴，
故答案为：．
21．（6分）若x+y＝，xy＝1﹣，求代数式（x+1）（y+1）的值．
【解答】解：∵x+y＝，xy＝1﹣，
∴（x+1）（y+1）＝xy+x+y+1＝1﹣++1＝2．
22．（8分）如图，平行四边形ABCD中，P是AB边上的一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ．
（1）若∠BPC＝∠AQP，求证：四边形ABCD是矩形；
（2）在（1）的条件下，当AP＝2，AD＝6时，求AQ的长．
【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，
∴∠A＝∠CPQ＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，
，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），
∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝6﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，
∴x2+22＝（6﹣x）2，
解得：x＝，
∴AQ的长是．
23．（8分）如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E、F分别在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，求GH的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝DA，∠BAE＝∠ADF＝90°，
在△BAE和△ADF中
，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
又∵BC＝CD＝5，DF＝2，∠C＝90°，
∴CF＝3，
∴BF＝＝＝，
∴GH＝．
24．（10分）矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图所示，F为AB上一点，将△BCF沿CF折叠，使点B恰好落在AD与y轴的交点E处．连接CE，若AE、AB的长满足．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求点D的坐标；
（3）在平面内是否存在点P，使以E，F，C，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵．
又∵≥0，（AB﹣8）2≥0，
∴AE＝4，AB＝8，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴AB⊥BC，
∴A（﹣4，8），B（﹣4，0）；
（2）由翻折变换的性质可知CB＝CE，
设CB＝AD＝CE＝m，则DE＝m﹣4，
∵∠D＝90°，
∴CE2＝DE2+CD2，
∴m2＝（m﹣4）2+82，
∴m＝10，
∴AD＝BC＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣4＝6，
∴D（6，8）；
（3）由翻折变换的性质可知FE＝FB，
设FE＝FB＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∴EF2＝AF2+AE2，
∴x2＝（8﹣x）2+42，
∴x＝5，
∴FE＝FB＝5，
∴F（﹣4，5），
∵E（0，8），C（6，0），
当EF是平行四边形的边时．P（2，﹣3），P′（10，3），
当EF是平行四边形的对角线时，P″（﹣10，13）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（2，﹣3）或（10，3）或（10﹣，13）．