河南省新乡市部分学校2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份河南省新乡市部分学校2024-2025学年高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是( )
A. 三棱锥B. 四棱柱C. 三棱台D. 五棱锥
2.已知点A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−3)，则AB+AC=( )
A. (5,−1)B. (−3,3)C. (1,7)D. (−1,7)
3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=3，b= 5，sinA=34，则sinB=( )
A. 54B. 53C. 2 59D. 4 59
4.复数(1+2i)(1−i)10在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若a，b均是单位向量，且a⋅b=13，则|2a−3b|=( )
A. 6B. 3C. 6D. 9
6.在基底{a,b}下，向量c=4a−3b，则在下列图中，能正确表示c的是( )
A. B.
C. D.
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：(sinB+sinC)=6：7：9，则csC=( )
A. 3740B. 1320C. −516D. −38
8.已知复数z1=4−m2+mi(m∈R)，z2=t+2csθ+i 3sinθ(t,θ∈R)，若z1=z2，则t的取值范围为( )
A. [0,2]B. [23,2]C. [2,6]D. [23,6]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 质量是向量
B. 相等向量的起点不一定相同
C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D. 若某质点受到F1，F2，F3的作用处于平衡状态，则F1+F2+F3=0
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足A=π4，b=8的△ABC有两解，则a的值可能为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
11.如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上任意一点，则AD⋅AE的值可能为( )
A. 12
B. 1
C. 52
D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数i(3−2i)+2i的虚部为______．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中A′B′//C′D′，A′B′=2C′D′=8，梯形A′B′C′D′的面积为30，则梯形ABCD的高为______．
14.某日12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东60°的方向驶离码头A，下午1：00乙船沿东偏南49°的方向匀速驶离码头A，下午5：00甲船到达B地，乙船到达C地，且C在B的西偏南67°的方向上，则乙船的航行速度是______km/h.(取sin37°=35，sin64°=910)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，BC=3BF．
(1)用AB，AD表示EF，DF；
(2)若AB=23AD，证明：EF⊥DF．
16.(本小题15分)
已知复数−3+ 3i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个复数根．
(1)求a，b的值；
(2)若a+bi1−i+13m2−3mi(m∈R)为纯虚数，求m的值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2asinB−bcsA=0．
(1)求csA；
(2)若a= 11，b= 6，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AB上一点，且∠ADB=2π3．
(1)已知D，E在AB的垂直平分线上，且CD−AD=1，AB= 3．
①求AC；
②若O为△ABC外接圆的圆心，O1为△ABD外接圆的圆心，求OO1．
(2)若DE是△ABD的角平分线，AB=2 3，求DE的最大值．
19.(本小题17分)
在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆．
(1)在直角△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，证明：△ABC的伴生圆与内切圆重合．
(2)在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，P为等腰直角△ABC的伴生圆上的一个动点．
①判断AP2+BP2+CP2是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若非零实数x，y，z满足xAP+yBP+zCP=0，当xz取最小值时，求yz的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由空间几何体的结构特征，
可知三棱锥有4个面，四棱柱有6个面，
三棱台有5个面，五棱锥有6个面，
则该几何体可能是三棱台．
故选：C．
由选项中的几何图形的特征即可得出结论．
本题考查棱锥、棱柱、棱台的结构特征，属基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−3)，
所以AB=(3,3)，AC=(2,−4)，
所以AB+AC=(5,−1)．
故选：A．
利用向量的坐标运算法则求解．
本题主要考查了向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=3，b= 5，sinA=34，
由正弦定理asinA=bsinB可得：sinB= 5×343= 54．
故选：A．
结合正弦定理asinA=bsinB求解即可．
本题考查了正弦定理，属基础题．
4.【答案】D
【解析】解：(1−i)10=(−2i)5=−32i，
故(1+2i)(1−i)10=64−32i，在复平面内对应的点(64,−32)位于第四象限．
故选：D．
结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：若a，b均是单位向量，且a⋅b=13，
则|2a−3b|= 4a2−12a⋅b+9b2= 4−4+9=3．
故选：B．
由平面向量数量积的运算，结合平面向量模的运算求解即可．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量模的运算，属基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由向量的数乘和减法法则，可知：
对于A，向量c=3a−4b，故A错误；
对于B，向量c=4b−3a，故B错误；
对于C，向量c=3b−4a，故C错误；
对于D，向量c=4a−3b，故D正确．
故选：D．
根据由向量的数乘和减法法则，对各选项给出的图形进行分析．
本题主要考查平面向量的线性运算，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：因为(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：(sinB+sinC)=6：7：9，
所以由正弦定理可得：(a+b)：(a+c)：(b+c)=6：7：9，
不妨设a+b=6k，a+c=7k，b+c=9k(k>0)，解得a=2k，b=4k，c=5k，
由余弦定理得：csC=a2+b2−c22ab=4k2+16k2−25k22×2k×4k=−516．
故选：C．
由条件及正弦定理可得a=2k，b=4k，c=5k，再由余弦定理即可求得．
本题考查利用正、余弦定理解解三角形，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：若z1=z2，则4−m2=t+2csθm= 3sinθ，
消去m得t=−3sin2θ−2csθ+4=3cs2θ−2csθ+1，
由csθ∈[−1,1]，结合二次函数的性质，可知：
当csθ=13时，m有最小值3×(13)2−2×13+1=23；当csθ=−1时，m有最大值6．
所以m的取值范围是[23,6]．
故选：D．
根据z1=z2，可得4−m2=t+2csθ且m= 3sinθ，由此消去m得到t关于θ的表达式，然后根据三角恒等变换公式化简，结合二次函数的性质算出t的取值范围．
本题主要考查复数相等的含义、同角三角函数的关系、二次函数的性质等知识，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，质量只有大小，没有方向，所以不是向量，故A错误；
对于B，相等向量只需大小相等、方向相同，起点可能不同，故B正确；
对于C，物理学中的作用力与反作用力大小相同，方向相反，是一对共线向量，故C正确；
对于D，若某质点受到F1，F2，F3的作用处于平衡状态，则三个力合力为零，故则F1+F2+F3=0，D正确．
故选：BCD．
根据向量的概念，对各选项进行逐项判断．
本题主要考查平面向量的概念，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
又满足A=π4，b=8的△ABC有两解，
则bsinA