2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年河南省新乡市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知复数z=2i(−2+i)，则|z|=( )
A. 2B. 4C. 2 2D. 2 5
2.已知集合A={x|x2−x+m=0}，B={1}.若B⊆A，则m=( )
A. 0B. 1C. 2D. −2
3.若sinα−csα= 64，则sin2α=( )
A. 14B. 38C. 58D. 34
4.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)+f(2−x)=4，则f(−1)=( )
A. 0B. 1C. 2D. −2
5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=15,a3a4=a5，则S4=( )
A. 39B. 156C. 395D. 1565
6.若数据x1，x2，x3和数据x4，x5，x6的平均数均为x−，方差均为s2，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为( )
A. s24B. s2C. 2s2D. 4s2
7.若lnx+y−2>lny+x−2，则( )
A. ex2>exy>1B. exy>ex2>1C. ex2>1>exyD. 1>ex2>exy
8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1((a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF|= 3|PA|，则C的离心率为( )
A. 5B. 3C. 2D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)的最小正周期为2πB. g(x)是偶函数
C. g(x)的图象关于直线x=−π6轴对称D. g(x)在(−π3,π3)上单调递增
10.已知连续型随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，记函数f(x)=P(ξ≥x)，且f(x)的图象关于点(1,12)对称，若存在实数a，使得f(a)≈0.97725，f(a+2)≈0.02275，则( )
(参考数据：若ξ∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.9545)
A. μ=1B. a=0
C. σ=1D. P(ξ≥12)=0.84135
11.已知O为坐标原点，点P(x0,y0)在曲线C：(x2+y2)2−y(10x2+y2)=0上，则下列结论正确的是( )
A. 曲线C关于y轴对称B. y0≥0
C. y0≤20 3027D. |OP|的最大值为20 3027
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线y=ln(ax)与直线y=x−1相切，则a=______．
13.我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，边长为 5的正方形ABCD由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成，且E为DF的中点，则AE⋅AB= ______．
14.如图，在四面体A−BCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，AC= 2，平面ABD⊥平面BCD，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5．
(1)求p；
(2)若点B(−2,1)在椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程．
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+cs2A=1，b=1．
(1)若c=2 2，求a；
(2)若△ABC为钝角三角形，求△ABC面积的取值范围．
17.(本小题15分)
在一次闯关游戏中，某一关有A，B，C三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对A，B，C三道题的概率分别为0.2，0.3，0.5.每次答题正确与否相互独立．
(1)求玩家通过这一关的概率．
(2)规定：答对A题积30分，答对B题积20分，答对C题积10分.现有两种题序可供选择：①第一道题为A题，第二道题为B题，第三道题为C题；②第一道题为C题，第二道题为B题，第三道题为A题.为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
18.(本小题17分)
如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD为锐角，E，F，G分别是AB，BC，A1D的中点．
(1)证明：EG//平面C1DF．
(2)求二面角C1−DF−C的余弦值的最大值．
19.(本小题17分)
(1)证明：当1lny−y−2，
令函数f(x)=lnx−x−2，并且定义域x>0，那么导函数f′(x)=1x+2x3>0，
因此函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增，因此x>y>0，
因此x2>xy>0，那么ex2>exy>1．
故选：A．
构造f(x)=lnx−x−2并利用导数研究函数的单调性得x>y>0，结合不等式的性质有x2>xy>0，再由指数函数单调性即可得．
本题考查导数的综合应用，属于简单题．
8.【答案】D
【解析】解：已知双曲线C：x2a2−y2b2=1((a>0,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，
记O为坐标原点，由双曲线的性质可知：在Rt△POF中，|PF|=b，|OF|=c，|PO|=a，cs∠PFO=bc．
在△PAF中，|PA|2=|PF|2+|AF|2−2|PF||AF|cs∠PFA=b2+(a+c)2−2b(a+c)bc，
因为|PF|= 3|PA|，所以|PA|2=|PF|23=b23，所以b2+(a+c)2−2b(a+c)bc=b23，
化简得53c2+13a2+2ac−2(c2−a2)a+cc=0，即53e2+13+2e−2(e2−1)1+ee=0，
−13e2+2e+73=0，13e(−e3+7e+6)=0，13e(e+1)(e+2)(e−3)=0．
因为e>1，所以e=3．
故选：D．
利用双曲线的性质把△PAF的三边用a，b，c表示出来，然后用∠PFA的余弦定理建立起a，b，c的方程，进而可得到答案．
本题主要考查双曲线的性质应用，考查计算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，得g(x)=sin(x+π6)，
对于A，函数g(x)最小正周期为2π，故A正确；
对于B，因为g(−x)=sin(−x+π6)≠g(x)，所以g(x)不是偶函数，故B错误；
对于C，因为g(−π6)=0，所以函数g(x)的图象关于点(−π6,0)对称，故C错误．
对于D，当−π3