2024-2025学年河南省新乡市部分学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省新乡市部分学校高一（下）期中数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是( )
A. 三棱锥B. 四棱柱C. 三棱台D. 五棱锥
2.已知点A(−2,1)，B(1,4)，C(0,−3)，则AB+AC=( )
A. (5,−1)B. (−3,3)C. (1,7)D. (−1,7)
3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a=3，b= 5，sinA=34，则sinB=( )
A. 54B. 53C. 2 59D. 4 59
4.复数(1+2i)(1−i)10在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
5.若a，b均是单位向量，且a⋅b=13，则|2a−3b|=( )
A. 6B. 3C. 6D. 9
6.在基底{a,b}下，向量c=4a−3b，则在下列图中，能正确表示c的是( )
A. B.
C. D.
7.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(sinA+sinB)：(sinA+sinC)：(sinB+sinC)=6：7：9，则csC=( )
A. 3740B. 1320C. −516D. −38
8.已知复数z1=4−m2+mi(m∈R)，z2=t+2csθ+i 3sinθ(t,θ∈R)，若z1=z2，则t的取值范围为( )
A. [0,2]B. [23,2]C. [2,6]D. [23,6]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 质量是向量
B. 相等向量的起点不一定相同
C. 物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量
D. 若某质点受到F1，F2，F3的作用处于平衡状态，则F1+F2+F3=0
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足A=π4，b=8的△ABC有两解，则a的值可能为( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
11.如图，在△ABC中，AB⊥AC，∠ABC=30°，AC=1，D是BC的中点，E是以B为圆心，BD为半径的圆上任意一点，则AD⋅AE的值可能为( )
A. 12 B. 1
C. 52 D. 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数i(3−2i)+2i的虚部为______．
13.如图，这是用斜二测画法画出的水平放置的梯形ABCD的直观图，其中A′B′//C′D′，A′B′=2C′D′=8，梯形A′B′C′D′的面积为30，则梯形ABCD的高为______．
14.某日12：00甲船以24km/ℎ的速度沿北偏东60°的方向驶离码头A，下午1：00乙船沿东偏南49°的方向匀速驶离码头A，下午5：00甲船到达B地，乙船到达C地，且C在B的西偏南67°的方向上，则乙船的航行速度是______km/ℎ.(取sin37°=35，sin64°=910)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，BC=3BF．
(1)用AB，AD表示EF，DF；
(2)若AB=23AD，证明：EF⊥DF．
16.(本小题15分)
已知复数−3+ 3i是关于x的方程x2+ax+b=0(a,b∈R)的一个复数根．
(1)求a，b的值；
(2)若a+bi1−i+13m2−3mi(m∈R)为纯虚数，求m的值．
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 2asinB−bcsA=0．
(1)求csA；
(2)若a= 11，b= 6，求△ABC的面积．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，D是BC上一点，E是AB上一点，且∠ADB=2π3．
(1)已知D，E在AB的垂直平分线上，且CD−AD=1，AB= 3．
①求AC；
②若O为△ABC外接圆的圆心，O1为△ABD外接圆的圆心，求OO1．
(2)若DE是△ABD的角平分线，AB=2 3，求DE的最大值．
19.(本小题17分)
在直角边均大于1的直角三角形中，若两条直角边与单位圆均相切，则称该单位圆为直角三角形的伴生圆．
(1)在直角△ABC中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，证明：△ABC的伴生圆与内切圆重合．
(2)在等腰直角△ABC中，AB=AC=3，P为等腰直角△ABC的伴生圆上的一个动点．
①判断AP2+BP2+CP2是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若非零实数x，y，z满足xAP+yBP+zCP=0，当xz取最小值时，求yz的值．
参考答案
1.C
2.A
3.A
4.D
5.B
6.D
7.C
8.D
9.BCD
10.BC
11.ABC
12.5
13.10 2
14.20
15.(1)解：在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，BC=3BF．
则EF=BF−BE=13BC+12AB=12AB+13AD，
DF=CF−CD=−23BC+DC=AB−23AD；
(2)证明：因为AB=23AD，
所以EF⋅DF=(12AB+13AD)⋅(AB−23AD)=12AB2−29AD2=0，
即EF⊥DF，
即EF⊥DF．
16.(1)由题意，(−3+ 3i)2+a(−3+ 3i)+b=0，即6−3a+b+( 3a−6 3)i=0，
则6−3a+b=0， 3a−6 3=0，解得a=6，b=12；
(2)由题意，6+12i1−i+13m2−3mi=(6+12i)(1+i)(1−i)(1+i)+13m2−3mi=13m2−3+(9−3m)i，
则13m2−3=0且9−3m≠0，解得m=−3．
17.(1)因为 2asinB−bcsA=0，
所以 2sinAsinB−sinBcsA=0，
因为sinB>0，
所以 2sinA−csA=0，即tanA= 22，
故csA= 11+tan2A= 11+12= 63；
(2)若a= 11，b= 6，
则csA= 63=b2+c2−a22bc=6+c2−112 6c，
解得c=5，
因为sinA= 1−cs2A= 1−23= 33，
则△ABC的面积S=12bcsinA=12× 6×5× 33=5 22．
18.解：(1)①因为D，E在AB的垂直平分线上，
所以AD=BD，
又∠ADB=2π3，所以AB= 3AD，且∠B=π−∠ADB2=π6，
因为AB= 3，CD−AD=1，所以AD=1，CD=2，
在△ACD中，∠ADC=π−∠ADB=π3，
由余弦定理知，AC2=AD2+CD2−2AD⋅CDcs∠ADC=1+4−2×1×2×12=3，
所以AC= 3．
②因为D，E在AB的垂直平分线上，所以点O和点O1都在直线DE上，且
由①知，AC= 3，∠B=π6，
由正弦定理知，2OA=ACsinB= 312=2 3，即OA= 3=OB，
而AB= 3，所以△OAB是等边三角形，所以OE= 32AB=32，
在圆O1中，∠AO1B=∠ADB=2π3，
所以∠AO1E=12∠AO1B=π3，
所以O1E= 33AE= 36AB=12，
所以OO1=OE+O1E=32+12=2．
(2)因为DE是△ABD的角平分线，
所以∠ADE=∠BDE=π3，
设AD=m，BD=n，
因为S△ABC=S△ADE+S△BDE，
所以12mnsin∠ADB=12m⋅DEsin∠ADE+12n⋅DEsin∠BDE，
整理得mn=DE(m+n)，即DE=mnm+n，
在△ABD中，由余弦定理知，AB2=AD2+BD2−2AD⋅BDcs∠ADB，
所以12=m2+n2−2mn⋅(−12)=m2+n2+mn=(m+n)2−mn，
所以mn=(m+n)2−12，
而mn≤(m+n)24，所以(m+n)2−12≤(m+n)24，即m+n≤4，当且仅当m=n=2时，等号成立，
所以DE=mnm+n=(m+n)2−12m+n=(m+n)−12m+n≤4−124=1，
故DE的最大值为1．
19.(1)证明：设直角△ABC的内切圆的半径为r，易得BC=5，
由题意得12×3×4=12×3r+12×4r+12×5r，得r=1，
因为△ABC的伴生圆和内切圆的半径均为1，两条直角边与伴生圆均相切，
两条直角边与内切圆均相切，所以△ABC的伴生圆与内切圆重合；
(2)解：①AP2+BP2+CP2是定值，为15，理由如下：
以等腰直角△ABC的伴生圆的圆心为原点O，
平行于AB的直线为x轴，平行于AC的直线为y轴，
建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(−1,−1)，B(2,−1)，C(−1,2)，
设P(csα,sinα)，得AP=(csα+1,sinα+1)，
BP=(csα−2,sinα+1)，CP=(csα+1,sinα−2)，
则AP2+BP2+CP2=(csα+1)2+(sinα+1)2+(csα−2)2+(sinα+1)2+(csα+1)2+(sinα−2)2
=2(csα+1)2+2(sinα+1)2+(csα−2)2+(sinα−2)2
=2cs2α+4csα+2+2sin2α+4sinα+2+cs2α−4csα+4+sin2α−4sinα+4
=3(cs2α+sin2α)+12=15，
所以AP2+BP2+CP2是定值，定值为15；
②由xAP+yBP+zCP=(xcsα+x+ycsα−2y+zcsα+z,xsinα+x+ysinα+y+zsinα−2z)=0，
得xcsα+x+ycsα−2y+zcsα+z=0,xsinα+x+ysinα+y+zsinα−2z=0,得csα=2y−x−zx+y+z,sinα=2z−x−yx+y+z.
由cs2α+sin2α=1，得(2y−x−zx+y+z)2+(2z−x−yx+y+z)2=1，
得x2+4y2+4z2−4xy−4xz−10yz=0，
得(xz)2+4(yz)2+4−4⋅xyz2−4⋅xz−10⋅yz=0，
令t=yz，m=xz，t≠0，m≠0，
则4t2−(4m+10)t+m2−4m+4=0，
由Δ=(4m+10)2−4×4(m2−4m+4)≥0，得m≥−14且m≠0，
当m取最小值时，m=−14，得yz=t=98．