河南省新乡市、安阳市部分学校2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析）

这是一份河南省新乡市、安阳市部分学校2024-2025学年高一下学期3月联考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了 下列量中是向量的为， 设为虚数单位，若，则， 设向量， 在中内角所对边分别为，若，则， 已知复数，以下说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上.
2回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列量中是向量的为（ ）
A. 功B. 距离C. 拉力D. 质量
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的定义即可判断.
【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量.
故选：C.
2. 设为虚数单位，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
详解】，故，
故选：D
3. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的除法运算计算出，然后根据的实虚部可知对应的点的坐标.
【详解】因为，所以对应的点的坐标是，
故选：A.
4. 设向量.若，则（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】由向量平行的坐标表示即可求解.
【详解】因为，
所以，
解得：，
故选：A
5. 已知，，，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，结合向量投影向量公式直接计算即可.
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为
.
故选：A.
6. 已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.
【详解】在中，取为基底，
因为点分别为的中点，，
所以，
所以.
故选：A.
7. 若的三边为a，b，c，有，则是的（ ）
A 外心B. 内心
C. 重心D. 垂心
【答案】B
【解析】
【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断.
【详解】在，上分别取点，，使得，，则．
以，为邻边作平行四边形，如图，

则四边形是菱形，且．
为的平分线． ，
，
即，
．
，，三点共线，即在的平分线上，
同理可得在其它两角的平分线上，
是的内心．
故选：B．
8. 在中内角所对边分别为，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可.
【详解】因为，则由正弦定理得.
由余弦定理可得：，
即：，根据正弦定理得，
所以，
因为为三角形内角，则，则.
故选：C.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，以下说法正确的是（ ）
A. z的实部是3B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假.
【详解】对A：复数实部为3，故A正确；
对B：因为，故B正确；
对C：根据共轭复数的概念，，故C正确；
对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误.
故选：ABC
10. 下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】BC
【解析】
【分析】根据不共线的向量可以做基底判断即可.
【详解】A选项：，与共线，A错误；
B选项：，与不共线，B正确；
C选项：，与不共线，C正确；
D选项：，与共线，D错误；
故选：BC.
11. 在中，内角所对的边分别为．下列各组条件中使得恰有一个解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由正弦定理结合三角函数单调性即可逐一判断求解.
【详解】对于A，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故A符合题意；
对于B，由正弦定理，即，解得，
而，所以有两个可能的值，这表明有两个解，故B不符合题意；
对于C，由正弦定理，即，解得，而，
所以，由正弦定理可知也唯一确定，故C符合题意；
对于D，由正弦定理，即，解得，
而，所以有唯一解，也随之唯一确定，故D符合题意；
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数是纯虚数，则实数__________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0，计算即可.
【详解】 由题意得解得．
故答案为：2.
13. 如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近A点的三等分点，若，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】由题可用表示，后由B，P，N三点共线可得答案.
【详解】．
因为N为线段AC上靠近A点的三等分点，所以．
又B，P，N三点共线，所以，．
故答案为：
14. 如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高__________.
【答案】
【解析】
【分析】先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，然后即可求解.
【详解】在中，则，
且，
由正弦定理得，
所以，
在中，，所以.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解，
（2）根据复数的几何意义，结合第二象限点的特征即可求解.
【小问1详解】
因为复数为纯虚数，所以，
解的
解得，；
【小问2详解】
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．
所以实数的取值范围为．
16. （1）已知复数是关于x的方程的一个根，求实数p，t的值．
（2）已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值．
【答案】（1）或；（2）
【解析】
分析】（1）根据题意复数满足方程，带入化简后利用复数相等列出等式即可求解；
（2）由条件得，进而求出，再分别求出与的坐标和模长，再用夹角公式求解即可.
【详解】（1）因为复数是关于x的方程的一个根，
所以，
整理得，
当时，代入可得，
当时，有，
解得，
综上：或 .
（2）由已知，化简可得，
即，所以 ，
∴， .
∴，
设与的夹角为，
则，
即与的夹角的余弦值为．
17. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，如图，是上的动点，且始终等于，记.当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值.
【答案】（1）
（2），最小值为
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将分式化简，结合两角和的正弦公式可求得结果；
（2）在中，根据正弦定理表示出，在中，根据正弦定理表示出，根据三角形面积公式得到的面积，即可求出结果.
【小问1详解】
在中，由正弦定理可得，
所以，
所以，即得，
因为，所以，所以，
因为，所以；
【小问2详解】
因为，由（1）知，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
在中，由正弦定理可得，所以，
所以，
因为，所以，
当时，取得最小值，此时，即，
所以当时，的面积取到最小值，最小值为.
18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题：
（1）若，，求的坐标；
（2）若，，且，求实数的值；
（3）若，，求向量的夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）用，表示，借助，的线性运算求解可得；
（2）用，表示，将转化为的运算，利用数量积的运算律求解可得；
（3）用，表示，利用，求及，再由两向量夹角公式可得.
【小问1详解】
若，，则，
则
故的坐标为.
【小问2详解】
若，，且，
则，，
由已知得，.
所以
，解得.
【小问3详解】
若，，
则，
，
所以，
又，
向量，的夹角的余弦值为.
19. 已知函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值．
（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
【答案】（1）,对称中心为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
【小问1详解】
.
令，则，，
函数的对称中心为，.
【小问2详解】
由可知，，
化简得，
，，，
.
【小问3详解】
由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.