2024-2025学年河南省新乡市长垣市长垣银河学校高一下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省新乡市长垣市长垣银河学校高一下学期期中数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z=1+i1+4i在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知a,b∈R，复数a+bi=2i1+i，则a+b=( )
A. −2B. 1C. 0D. 2
3.在▵ABC中，AB=2，CA=3，csA=−12，则−12AB⋅CA=( )
A. 3B. −3C. 32D. −32
4.如图，已知等腰直角三角形O′A′B′是一个平面图形的直观图，O′A′=A′B′，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是( )
A. 2 2B. 1C. 2D. 22
5.▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若a= 3,b= 2,A=π3，则B=( )
A. π4B. 3π4C. π6D. π4或3π4
6.已知向量a=(m,6)，b=(−1,3)，且a→/\!/b→，则m=( )
A. 18B. 2C. −18D. −2
7.若a=(1,x)，b=(−1,1)，且a⊥(a+b)，则x的值为( )
A. 1B. −1C. −1或0D. −1或1
8.已知两个单位向量a，b满足2a+b= 7，则a，b的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. 2π3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+i，则下列说法正确的是( )
A. z的虚部是iB. z的共轭复数是1−i
C. zz=iD. z⋅z=z2
10.在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，则下列结论正确的是( )
A. 若A=45∘,a= 2,b= 3，则▵ABC有两解
B. 若a2+b2csB
D. 若|z−1|=2，则z−1−3i的最小值为6
11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱BB1,B1C1,C1D1的中点，则( )
A. 平面AED1B. 平面AED1
C. 点C1在平面AED1内D. 点F在平面AED1内
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量a=(0,1)，b=(−1,−2)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为 ．
13.若复数a+i1+i(a∈R)是纯虚数，则a= ．
14.某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图所示，该几何体为上､下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为 cm3．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知a=4，b=8，a与b的夹角θ=2π3．
(1)求a−2b；
(2)若ka+2b与3a+kb共线，求k的值．
16.(本小题15分)
若复数z满足(1−i)⋅z=3+i，其中i为虚数单位，其共轭复数为z．
(1)求复数z和|z|；
(2)若z⋅z=a+bi，(a,b∈R)，求实数a，b的值．
17.(本小题15分)
已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ccsB+bcsC=a2csA．
(1)求角A的大小；
(2)若▵ABC的面积为4 3,a=3 3，求▵ABC的周长和外接圆的面积；
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，E,F分别是棱BC,AP的中点．
(1)证明：PC⊥BD；
(2)证明：EF//平面PCD．
19.(本小题17分)
如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥BC，且AA1=|BC|=2|AB|=4．
(1)求证：平面ABC1⊥平面BCC1B1；
(2)若D是BC1的中点，求三棱锥C−ADC1的体积．
参考答案
1.B
2.D
3.D
4.A
5.A
6.D
7.C
8.C
9.BD
10.ABC
11.BD
12.25,45
13.−1
14.193
15.【详解】(1)∵a→⋅b→=a→⋅b→csθ=32cs2π3=−16，
∴a−2b= a−2b2= a2−4a⋅b+4b2= 16−4×(−16)+4×64= 336=4 21
(2)∵ka⃗+2b⃗与3a⃗+kb⃗共线，
∴存在唯一实数λ，使得ka⃗+2b⃗=λ(3a⃗+kb⃗)
即(k−3λ)a⃗+(2−λk)b⃗=0⃗，
又∵a→与b→不共线，∴k−3λ=02−λk=0,
解得k=± 6

16.【详解】(1)由(1−i)⋅z=3+i，得z=3+i1−i=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2+4i2=1+2i；|z|= 12+22= 5．
(2)由(1)知，z=1−2i，则z⋅z=(1+2i)(1−2i)=5，
由z⋅z=a+bi，得a+bi=5，
所以a=5,b=0．

17.【详解】(1)由ccsB+bcsC=a2csA，由正弦定理得sinCcsB+sinBcsC=sinA2csA，
从而有sin(B+C)=sinA2csA⇒sinA=sinA2csA，sinA≠0，则csA=12，
由0