2024—2025学年度山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学试题[含解析]

这是一份2024—2025学年度山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学试题[含解析]，共20页。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. 1D.
2. 圆与的位置关系为（ ）
A. 外切B. 内切C. 相交D. 外离
3. 设a∈R，则“a＞2”是“方程x2+y2+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A B. C. D.
5. 点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
6. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（ ）

A. 与B. 与C. 与D. 与
8. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组中的两个向量，互相平行的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么D. 如果与相互独立，那么
11. 下列结论错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为150°
C. 圆上有且仅有3个点到直线：距离都等于1
D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______．
13. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）

14. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．
（1）BC边上的高线的方程；
（2）BC边垂直平分线的方程．
16. 生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品概率.
17. 光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，
（1）求圆C方程
（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．
18. 设椭圆：的离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
2024-2025学年山东省淄博市沂源县高二上学期11月阶段性考试数学检测试题
注意事项：
1．答卷时，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知点，则直线的斜率是（ ）
A. B. C. 1D.
【正确答案】A
【分析】由斜率的计算公式直接求解即可.
【详解】由题意点，
所以直线的斜率是.
故选：A．
2. 圆与的位置关系为（ ）
A. 外切B. 内切C. 相交D. 外离
【正确答案】B
【分析】根据圆心距与半径和或半径差的大小关系即可判断.
【详解】圆的圆心为，半径为，
，
，
圆的圆心为，半径为，
，
圆与圆内切.
故选：B.
3. 设a∈R，则“a＞2”是“方程x2+y2+ax﹣2y+2＝0的曲线是圆”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】若方程的曲线是圆，则有，解之得或，再利用充分条件和必要条件的概念即可得解.
【详解】方程的曲线是圆，则有，
解之得或，
则“”是“或”的充分不必要条件，
所以“”是“方程的曲线是圆”的充分不必要条件.
故选：A．
本题考查了圆的一般方程的应用及充分条件、必要条件的概念，属于基础题.
4. 甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为．
故甲获得最终胜利的概率为.
故选：B
5. 点是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，线段的中点为，且（为坐标原点），则线段的长为（ ）
A. 2B. 3C. 4D.
【正确答案】A
【分析】利用中位线先求出，再结合椭圆定义即可求解.
【详解】如下图所示，连接，为的中点，且，可得 由椭圆方程可知，.，根据椭圆定义有，
故选：A
6. 《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》是我国古代数学中的5部著名数学著作，其中《周髀算经》《九章算术》产生于汉代.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中恰好有一部是汉代时期专著的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用列举法列出所有的基本事件，然后利用古典概型的概率公式求解即可
【详解】假设《周髀算经》《九章算术》分别为1，2，《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》分别为，，，则基本事件有，，，，，，，，，共10个，
其中恰好有一个是汉代著作的有，，，，，共6个，
所以所求概率为.
故选：B
此题考查古典概型的概率的求法，利用了列举法，属于基础题.
7. 如图所示，在正方体中，下列各组向量的夹角为的是（ ）

A. 与B. 与C. 与D. 与
【正确答案】A
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，结合向量的夹角公式，逐项判定，即可求解.
【详解】以为原点，分别以所成在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，
则，
由，
因为，所以，所以A正确；
由，
因为，所以，所以B不正确；
由，所以，所以C不正确；
由，
因为，所以，所以D不正确；
故选：A.

8. 已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D.
【正确答案】D
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
结合图象可得直线斜率的取值范围是.
故选：D
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列各组中的两个向量，互相平行的有（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】根据共线向量定理直接判断即可.
【详解】在A中，，因为，故A中两个向量不平行，故A错误；
在B中，由，可得，故B中两个向量平行，故B正确；
在C中，，因为，故C中两个向量不平行，故C错误；
在D中，由，可得，故D中两个向量平行，故D正确.
故选：BD.
10. 已知事件，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 如果，那么
C. 如果与互斥，那么D. 如果与相互独立，那么
【正确答案】BCD
【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项.
【详解】A选项：当与相互独立时，，A选项错误；
B选项：若，则，B选项正确；
C选项：与互斥，那么，C选项正确；
D选项：如果与相互独立，那么，D选项正确；
故选：BCD.
11. 下列结论错误的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 直线的倾斜角为150°
C. 圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1
D. 与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有两条
【正确答案】ABD
【分析】A.将化为，得到即可求出结果判断；B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角；C. 求出圆心到直线的距离，进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论；D.分截距不为0，和截距为0两种情况，结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
【详解】A. 因为，即，则，解得，所以直线恒过定点，故A错误；
B. 因为，即，设直线的倾斜角为，则，因为，则，所以直线的倾斜角为120°，故B错误；
C. 圆圆心为，半径为2，则圆心到直线的距离为，所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个，而优弧上到直线的距离等于1的点有2个，所以圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，故C正确；
D.因为圆的圆心为，半径为，
当截距不为0，故设切线方程为，即，所以，解得（舍）或，即；当截距为0时，故设切线方程为，即，所以，解得，即，则与圆相切，且在轴､轴上的截距相等的直线有三条，故D错误；
故选：ABD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出2个球，则所取2个球颜色相同的概率是______．
【正确答案】
【分析】列举所有的基本事件，从中找出符合条件的基本事件，根据古典概型概率计算即可.
【详解】从5个球中随机取出2个球，共有10种基本事件，其中取出2球颜色相同的只有2种，所以取出两个颜色相同球的概率为.
故答案为.
本题注意考查古典概型的概率.
13. 如图，在四面体中，是的中点，，设，，，则__________.（用表示）

【正确答案】
【分析】根据向量线性运算直接求解即可.
【详解】为中点，；
，；
.
故答案为.
14. 若直线与曲线只有一个公共点，则实数的取值范围是______.
【正确答案】或
【分析】曲线的图像是一个半圆，结合图象通过讨论直线的位置，求出的范围即可.
【详解】解：曲线方程变形为，表示圆心为，半径为2的下半圆，
根据题意画出图形，如图所示：

当直过时，将坐标代入直线方程得：，即；
当直过0,2时，将0,2代入直线方程得：，即；
当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离，
即，即，（舍）或，
则直线与曲线只有一个公共点时的范围为：或.
故或.
本题考查了直线和圆的关系，是一道中档题.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程．
（1）BC边上的高线的方程；
（2）BC边垂直平分线的方程．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）BC边上的高线过点A且垂直于BC，由点斜式即可得解；
（2）BC边的垂直平分线过BC中点且垂直于BC，由点斜式即可得解.
【小问1详解】
因为，所以BC边上的高线的斜率 ，
故BC边上的高线的方程为：,
即所求直线方程为.
【小问2详解】
因为，所以BC边上的垂直平分线的斜率 ，
又BC的中点为，
故BC边的垂直平分线的方程为：，
即所求直线方程为.
16. 生产同一种产品,甲机床的废品率为0.04,乙机床的废品率为0.05,从甲,乙机床生产的产品中各任取1件,求:
(1)至少有1件废品的概率;
(2)恰有1件废品的概率.
【正确答案】(1)0.088;(2)0.086.
【分析】
（1）用减去两个都是正品的概率，由此求得所求概率.
（2）利用相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】从甲､乙机床生产的产品中各取1件是废品分别记为事件A､B,则事件A,B相互独立,且,.
(1)设“至少有1件废品”为事件C,则.
(2)设“恰有1件废品”为事件D,则.
本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查利用对立事件概率进行计算，属于基础题.
17. 光线沿直线射入，经过x轴反射后，反射光线与以点（2，8）为圆心的圆C相切，
（1）求圆C的方程
（2）设k为实数，若直线与圆C相交于M、N两点，且，求的k取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）求出直线关于x轴的对称直线的方程，即反射光线所在直线的方程，再根据直线与圆相切求得半径即可得出答案；
（2）利用圆的弦长公式求得，再根据即可得解.
【小问1详解】
解：在直线中，令，则，
由题意可知，入射光线与反射光线所在的直线关于轴对称，
则反射光线所在直线的斜率为，且过点，
所以直线关于x轴的对称直线为，
点（2，8）到直线距离，
圆方程为；
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为d，∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，
即.
18. 设椭圆：离心率为，上一点到右焦点距离的最小值为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求的面积．
【正确答案】（1）；
（2）.
【分析】(1) 由题意，，解出 及的值即可；
(2)先求出直线方程，代入椭圆方程得，由弦长公式求出弦长，再求出点到直线的距离即可求的面积.
【小问1详解】
解：由题意得，且，∴，，
故，
∴椭圆的方程为．
【小问2详解】
解：由题意可知过点的直线的方程为：，
代入椭圆方程，可得，判别式恒成立，
设，，则，，
∴，
由点到直线的距离，
∴．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．

（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可.
【小问1详解】
由题意，则，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面，
因为平面，所以，
且平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
【小问2详解】
如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴，
建立空间直角坐标系，

则，
所以，，
设平面的一个法向量，
则，令，得，
设平面的法向量，
则，令，得，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的正弦值为．