四川省成都市成都外国语学校2025届高三下学期高考模拟（二）数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，，则（ ）
2. 设，则的一个充分不必要条件是（ ）
3. 展开式中的常数项为（ ）
4. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
5. 已知函数有7个不同的零点，则正实数的取值范围为（ ）
6. 已知，则的大小关系为（ ）
7. 函数，若恒成立，则的取值范围是（ ）
8. 已知正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)的体积为，，是的中点，点是线段上的动点，过且与垂直的截面与交于点，则三棱锥的体积的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 若复数，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知抛物线的焦点为，且抛物线过点，过点的直线与抛物线交于两点，分别为两点在抛物线准线上的投影，为线段的中点，为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
11. 对于集合，若存在集合的两两不同的子集满足，则称其为集合的一条“链”，称为这条“链”的长度.当集合的元素个数时，下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知，则的值为___________．
13. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆C交于M，N两点，若且，则椭圆C的离心率为__________．
14. 甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是___________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某大学保卫处随机抽取该校1000名大学生对该校学生进出校园管理制度的态度进行了问卷调查，结果见下表：
(1)根据小概率值的独立性检验，分析该校大学生赞成学生进出校园管理制度与学生的性别是否有关；
(2)为答谢参与问卷调查的同学，参与本次问卷调查的同学每人可以抽一次奖，获奖结果及概率如下：
若甲､乙两名同学准备参加抽奖，他们的获奖结果相互独立，记两人获得奖金的总金额为（单位：元），求的数学期望.
附：，其中.
16. 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若函数在恰好有两个零点，求的取值范围
（参考数据：参考数据：）．
17. 在中，，分别以边和为一边向外侧作矩形和菱形（如图1），满足，再将其沿折起使得与重合，连结（如图2）
(1)判断四点是否共面？并说明理由；
(2)在图1中，，求证：平面平面．
(3)在图1中，，，求二面角的大小．
18. 若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线．已知椭圆的共轭双曲线为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点，直线（不过点）与相交于、两点，且，求点到直线的距离的最大值．
19. 若数列，，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知为数列的“接近数列”，且数列，的前项和分别为，．
(1)若（是正整数），求，，的值；
(2)若数列是公差为的等差数列，且，求证：数列是等差数列；
(3)若（是正整数），判断是否存在正整数，使得？如果存在，请求出的最小值，如果不存在，请说明理由．（参考数据：，）
四川省成都市成都外国语学校2025届高三下学期高考模拟（二）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数与导数、计数原理与概率统计、平面向量、三角函数与解三角形、空间向量与立体几何、复数、平面解析几何、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．70
B．
C．16
D．64
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．2
D．
A．是纯虚数
B．
C．复数对应的点在第四象限
D．
A．线段长度的最小值为4
B．的形状为锐角三角形
C．三点共线
D．的坐标可能为
A．集合的最长“链”的长度为
B．任意两个集合都可以出现在同一个“链”中
C．当时，该集合的任意两条长为4的“链”中一定具有相同集合
D．集合的最长“链”的总数为
男生（单位：人）
女生（单位：人）
总计
赞成
400
300
700
不赞成
100
200
300
总计
500
500
1000
奖金（单位：元）
0
10
20
获奖概率
0.15
0.10
0.05
0.010
0.001
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
7
较难
6
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交并补混合运算；分式不等式；由对数函数的单调性解不等式
2
0.85
判断命题的充分不必要条件
3
0.85
三项展开式的系数问题
4
0.4
平面向量共线定理证明点共线问题；求投影向量
5
0.65
根据函数零点的个数求参数范围；正弦函数图象的应用；函数与方程的综合应用；用导数判断或证明已知函数的单调性
6
0.4
比较函数值的大小关系；运用换底公式化简计算；比较对数式的大小；由幂函数的单调性比较大小
7
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题；用导数判断或证明已知函数的单调性；由对数（型）的单调性求参数
8
0.65
锥体体积的有关计算；线面垂直证明线线垂直
二、多选题
9
0.85
求复数的模；复数的乘方；复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限
10
0.65
抛物线的通径问题；直线与抛物线交点相关问题；由斜率判断两条直线平行；根据韦达定理求参数
11
0.4
判断集合的子集（真子集）的个数；集合新定义；空集的概念以及判断；排列的意义理解
三、填空题
12
0.85
二倍角的余弦公式；辅助角公式；用和、差角的正弦公式化简、求值
13
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围
14
0.4
互斥事件的概率加法公式；独立事件的乘法公式；利用对立事件的概率公式求概率
四、解答题
15
0.65
卡方的计算；独立性检验解决实际问题；独立事件的乘法公式；求离散型随机变量的均值
16
0.4
利用导数研究函数的零点；含参分类讨论求函数的单调区间；根据函数零点的个数求参数范围；由导数求函数的最值（不含参）
17
0.65
证明面面垂直；面面角的向量求法；空间中的点（线）共面问题
18
0.4
根据a、b、c求双曲线的标准方程；求双曲线中的最值问题
19
0.15
由递推关系证明数列是等差数列；数列不等式能成立（有解）问题；求等比数列前n项和；数列新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2,11
2
等式与不等式
1
3
函数与导数
1,5,6,7,16
4
计数原理与概率统计
3,11,14,15
5
平面向量
4
6
三角函数与解三角形
5,12
7
空间向量与立体几何
8,17
8
复数
9
9
平面解析几何
10,13,18
10
数列
19