四川省眉山市仁寿县2024-2025学年高二下学期4月期中校际联考数学试题 Word版含解析

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一、单选题
1. 直线 在 轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
2. 若抛物线 （ ） 焦点与椭圆 的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（
）
A. B. C. D.
3. 已知直线 上有动点 ，点 为圆 上的动点，则 的最小值为（
）
A. B. 1 C. D. 2
4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（
）
A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
5. 已知椭圆 过点 的直线与椭圆 交于 、 两点， 为线段 的中点，则直线
的斜率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 中，则直线 到平面 的距离是（ ）
A. 2 B. C. D.
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7. 已知空间向量 ， ，若 与 垂直，则 等于（ ）
A. B. C. D.
8. 已知 为椭圆 C： 的右焦点，P 为 C 上的动点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C
交于 M，N 两点，若 等于 的最小值的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 从容量为 总体中抽取一个容量为 的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不
同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B. 若 ，则事件 A 与事件 B 相互独立
C. 一个人连续射击 2 次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D. 若 ， ，且事件 A 与事件 B 相互独立，则
10. 下列给出的命题中正确的有（ ）
A. 已知两个向量 ， ，且 ，则
B. 三棱锥 中，点 为平面 上的一点，且 ，则
C. 已知 ， ，则 在 上的投影向量坐标为
D. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
11. 已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，过点 的直线与抛物线交于 、 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则点 到 轴的距离为
B. 过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 条
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C. 是准线上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则
D.
三、填空题
12. 双曲线 ： 的渐近线方程为_______.
13. 已知点 ，过 的直线 与线段 有交点，则直线 的斜率的取值范围是
__________.
14. 已知椭圆 左、右焦点分别为 ， ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆
上一个动点，则 的最大值为______．
四、解答题
15. 已知直线 .
（1）若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程；
（2）若直线 ，且直线 与直线 之间的距离为 ，求直线 的方程.
16. 已知直线 与直线 相交于点 ，以 为圆心的圆过点 .
（1）求圆 的方程；
（2）求过点 的圆 的切线方程.
17. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：
第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的
频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
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（1）求 ， 的值；
（2）估计这 100 名候选者面试成绩 第 65 百分位数（分位数精确到 0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，以确
定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
18. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ABCD， ， ，
，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 .
（1）证明：平面 平面 PAD；
（2）求 PC 与平面 AEF 所成角的正弦值；
（3）若棱 PB 上一点 G 满足 ，且平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值为 ，求
19. 如图，已知椭圆 的两个焦点为 ，且 为双曲线 的顶点，双曲线 的离心
率 ，设 为该双曲线 上异于顶点的任意一点，直线 的斜率分别为 ，且直线 和
与椭圆 的交点分别为 和 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）证明：直线 的斜率之积 为定值；
（3）求 取值范围.
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