四川省眉山市仁寿县四校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市仁寿县四校2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知双曲线，双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】双曲线，可得，，
所以双曲线的离心率为：.
故选：D.
2. 已知向量a→=(1，1，k)，b→=(-1，0，-1)，c→=(0，2，1)，且向量与互相垂直，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，易得a→-2b→=(1， 1， k)-2(-1， 0， -1)=(3， 1， k+2)，
∵与两向量互相垂直，∴0+2+k+2=0，
解得.
故选：D
3. 下列求导数计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A．，正确，不符合题意；
B．，错误，符合题意；
C．，正确，不符合题意；
D．，正确，不符合题意．
故选：B．
4. 已知函数，则（ ）
A. B. 1C. 4D. 2
【答案】C
【解析】由，可得，则.
故选：C.
5. 记为等差数列的前项和，若，则数列的通项公式（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，则，解得：，
.
故选：B.
6. 古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第2天所织布的尺数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可得，该女子每天所织布的长度构成等比数列，设公比为，
由题意知，
首项为，前项和为，
由题意可得，解得，
所以第二天织的布为.
故选：C.
7. 直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形， AA1＝AB，M是A1C1的中点，则AM与平面所成角的正弦值为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】如图所示，取的中点，以为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，

不妨设，则，
所以，平面的一个法向量为
设AM与平面所成角为，向量与所成的角为，
所以，
即AM与平面所成角的正弦值为．
故选：B．
8. 已知，分别为椭圆的左、右焦点，点M为线段的中点（O为坐标原点），点P在椭圆上且满足轴，点M到直线的距离为，则椭圆的离心率为（ ）
A. 或B. C. 或D.
【答案】A
【解析】∵轴，∴将代入椭圆可得，
∴不妨设，∴直线的斜率为，
则直线的方程为，即，
则到直线的距离为，
整理得，所以，解得或，
即或，
则椭圆的离心率为或
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】A中，＋2＋2＋＝＋2＋＝＋＋＋＝＋；
B中，2＋2＋3＋3＋＝2＋3＋＝；
C中，＋＋＝＋；
D中，－＋－＝＋＋＋.
故选：BD.
10. 在曲线上的切线的倾斜角为点的横坐标可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】切线的斜率，设切点为，则，
又，所以，所以，，
当时，，故AD正确
故选：AD
11. 已知直线，圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点在直线上B. 点在圆上
C. 直线与圆相离D. 直线与圆相切
【答案】ABD
【解析】将点代入直线l的方程，
满足，
所以点M在圆C上，A选项正确；
将点代入圆C的方程，满足，
所以点M在圆C上，B选项正确；
圆心到直线的距离
直线与圆相切，C选项错误，D选项正确；
故选：ABD.
12. 已知为双曲线上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为，，记线段，的长分别为，，则（ ）
A. 若，的斜率分别为，，则
B.
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】AD
【解析】如图所示，

设，，则．
由题设条件知：
双曲线的两渐近线：，．
设直线，的斜率分别为，，则，，所以，
故选项正确；
由点线距离公式知：，，
，故B错误；
，所以C错误；
由四边形中，所以，
，
当且仅当时等号成立，所以D正确，
故选：AD．
第Ⅱ卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知盒中有3张分别标有1，2，3的卡片，从中随机地抽取一张，记下数字后再放回，再随机地抽取一张，记下数字，则两次抽得的数字之和为3的倍数的概率为___________．
【答案】
【解析】抽取的所有能有共九种,其中的数字之和都是的倍数,所以两次抽得的数字之和为的倍数的概率为,故应填答案.
14. 设函数f(x)的导函数为，若则=___________.
【答案】
【解析】∵，
∴
∴，
解得．故答案为：.
15. 若直线：与：平行，则的值为_____．
【答案】-7
【解析】因为,所以有，解之得,m=-1或m=-7.当m=-1时，直线重合,舍去.
16. 已知直线是抛物线的准线，抛物线的顶点为，焦点为，若为上一点，与的对称轴交于点，在中，，则的值为__________．
【答案】
【解析】因为抛物线的准线，焦点为，准线与的对称轴交于点，
所以，，
因为在中，，
所以由正弦定理可得，,

因为为抛物线上一点，所以可设为
由此可得，
平方化简可得：，即，可得,
.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
解：（1）由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点为，由（1）得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
18. 在中，已知点，的内角平分线BD所在的直线方程是，边上的中线所在的直线方程是，求：
（1）点的坐标；
（2）边所在直线的方程．
解：（1）设点，依题意可知：点在直线方程上，且线段的中点在中线所在的直线方程上，又点，
则有：，解得：，
所点的坐标为：.
（2）设点关于直线的对称点为，
则的中点坐标为，，于是，
解得：，则，
由（1）知，所以，
所以边所在直线的方程为：，即.
19. 已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
解：（1）设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
（2）为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
20. 如图，在正四棱柱中，，，点在棱上，且平面．
（1）求的值；
（2）若，求二面角的余弦值．
解：（1）如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，设，
则点，，，．
则，．
因为平面，
所以，
所以，
解得或．
当时，，，；
当时，，，．
（2）因为，由（1）知，．
平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
因，，所以令，则．
所以，
由图知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
21. 设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
解：（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
22. 已知为椭圆上一点，点与椭圆的两个焦点构成的三角形面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）不经过点的直线与椭圆相交于两点，若直线与的斜率之和为，证明：直线必过定点，并求出这个定点坐标．
解：（1）因为点与椭圆两个焦点构成的三角形面积为，所以且，
所以，，所以，
所以椭圆的标准方程：；
（2）设，
当直线的斜率不存在时，则，
由，
解得，此时，故重合，不符合题意，
所以直线的斜率一定存在，设不经过点的直线方程为：，
由得，
且，即，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，即，
化简可得：，
因为，所以，
所以，
所以直线必过定点．