四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题（解析版）

这是一份四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题（解析版），共13页。
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1. 已知函数（ ）
A. 12B. C. 3D. 6
【答案】B
【解析】，
，
故选：B.
2. 某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ）
A. 120种B. 240种C. 216种D. 256种
【答案】B
【解析】先将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一个元素，有种方法，
再与其余的个元素(同学)一起进行全排列有种方法，
所以这样的排法一共有种方法.
故选：B
3. （ ）
A. 36B. 64C. 128D. 256
【答案】C
【解析】因为，
又，
两式相加得：，
则.
故选：C.
4. 已知随机变量,则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为随机变量,
所以,
所以.
故选:C.
5. 展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 42D. 43
【答案】B
【解析】，
其中的常数项为，
的常数项，
所以展开式的常数项，
故选：B
6. 根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
A. 有95%的把握认为变量x与y独立
B. 有95%的把握认为变量x与y不独立
C. 变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D. 变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
【答案】D
【解析】因为，
所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.
故选：D.
7. 已知随机变量的分布列如表所示：
其中，若，且，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
，
所以.
所以.
故选：A.
8. 若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以，，
所以构造函数，
则，
所以在上单调递增，因为，所以，
所以不等式，
因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为，
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列有关回归分析的结论中，正确的是（ ）
A. 若回归方程为，则变量y与x负相关
B. 运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C. 若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D. 若散点图中所有点都在直线，则相关系数
【答案】AB
【解析】对于A，由于回归方程为，有，
故变量y与x负相关，A正确；
对于B，运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，正确；
对于C，线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越弱，C错误；
对于D，散点图中所有点都在直线，
则相关系数，D错误，
故选：AB
10. 一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”， “向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（ ）
A. 事件A与事件C相互独立B. 事件B与事件D相互独立
C. D.
【答案】BC
【解析】由题可知，,，，，
对于A，，，，
所以事件A与事件C不独立，故A错误；
对于B，，，因为，
所以事件B与事件D相互独立，故B正确；
对于C，，，
所以，故C正确；
对于D，由得，，
解得，
由得，，
解得，所以，故D错误；
故选：BC．
11. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值为
B. 有两个不同的零点
C.
D. 若在区间上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】由知其定义域为，，
则当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减；
对于A：由上分析知，在时取得极大值，故A正确；
对于B：令，解得，故函数只有一个零点，故B错误；
对于C：因为，即，
又，故，
因为在上单调递减，则，
即，故C正确；
对于D：由可得，
令，则，由可得，
则当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减.
故，故得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则________．
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，则，
又因为，
所以，，
所以.
故答案为：.
13. 一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是__________.
【答案】
【解析】两次抽取的试验的样本空间,共16个，
两次抽取的卡片数字之和大于6的事件，共3个，
所以两次抽取的卡片数字之和大于6的概率是，
则不大于6的概率为.
故答案为：.
14. 设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，令，则，
令，
又对任意，存在
不等式恒成立，又，
即，即恒成立.
又，，
则时，，单调递减；
时，，单调递增，
故；
又当时，，
当且仅当时，等号成立，
故，又，
所以，
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 用二项式定理展开，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
解：（1）展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的常数项为.
（2）设第项的系数最大，则，
解得，
由于为整数，
所以，
所以展开式中系数最大的项为．
16. 袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
解：（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，
所以，X的分布列为：
（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，
每次抽取到黑球的概率均为，
由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，
所以，Y的分布列为：
17. 随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，
其中，
样本相关系数
参考数据：.
解：（1）
，
所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
18. 已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
解：（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，，单调递增，在单调递减.
19. 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为,试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
解：（1）数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；时；
时；时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
p
X
0
1
2
3
P
Y
0
1
2
3
P
年月
2023年8月
2023年9月
2023年10月
2023年11月
2023年12月
2024年1月
月份编号
1
2
3
4
5
6
销售金额/万元
15.4
25.4
35.4
854
155.4
195.4