四川省眉山市仁寿县2024_2025学年高二数学下学期4月期中校际联考试题含解析

这是一份四川省眉山市仁寿县2024_2025学年高二数学下学期4月期中校际联考试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 直线 在 轴上的截距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据截距的定义计算可得结果.
【详解】根据题意令 ，解得 ；
因此直线 在 轴上的截距为 .
故选：D
2. 若抛物线 （ ）的焦点与椭圆 的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为（
）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据焦点求得抛物线的准线方程.
【详解】椭圆 的焦点为 ，
抛物线 （ ）开口向左，焦点为 ，
所以准线方程为 .
故选：D.
3. 已知直线 上有动点 ，点 为圆 上的动点，则 的最小值为（
）
A. B. 1 C. D. 2
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【答案】B
【解析】
【分析】先计算出圆心到直线的距离，再减去该圆半径即为 最小值.
【详解】由 可知，该圆圆心为 ，半径为 ，
则圆心到直线 的距离 ，
故圆心到直线上的点的长度最短为 ，
则 .
故选：B.
4. 甲、乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8，飞行目标被雷达发现的概率为（
）
A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
【答案】D
【解析】
【分析】设事件 表示“甲雷达发现飞行目标”，事件 表示“乙雷达发现飞行目标”，飞行目标被雷达
发现的概率为 ，从而即可求解.
【详解】设事件 表示“甲雷达发现飞行目标”，事件 表示“乙雷达发现飞行目标”，
因为甲乙两个雷达独立工作，它们发现飞行目标的概率分别是 和 ，
所以 ，
所以飞行目标被雷达发现的概率为
.
故选：D
5. 已知椭圆 过点 的直线与椭圆 交于 、 两点， 为线段 的中点，则直线
的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】利用点差法可求出直线 的斜率.
【详解】设点 、 ，由题意可得 ，
若 的斜率不存在时，则线段 的中点在 轴上，不合乎题意，
由题意可得 ，两式相减得 ，
即 0，所以
所以 ，即直线 的斜率为 .
故选：A.
6. 如图所示，在棱长为 2 的正方体 中，则直线 到平面 的距离是（ ）
A 2 B. C. D.
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【答案】B
【解析】
【分析】连接 交 于点 ，分析可得直线 到平面 的距离即为 ，进而求解即可.
【详解】连接 交 于点 ，
在正方体 中， ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
则直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，又 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 ，则点 到平面 的距离即为 ，
而 ，则 ，
所以 .
故选：B
7. 已知空间向量 ， ，若 与 垂直，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标关系可得 ，即可根据模长公式求解.
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【详解】由于 与 垂直，故 ，解得
，
故 ，
故选：C
8. 已知 为椭圆 C： 的右焦点，P 为 C 上的动点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C
交于 M，N 两点，若 等于 的最小值的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得 ， ，再根据已知列式，结合椭圆
的关系，求出离心率即可.
【详解】 为椭圆 C： 的右焦点，P 为 C 上的动点，
由椭圆的性质，可得 .
过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 M，N 两点，
.
等于 的最小值的 3 倍，
.
椭圆中 ，
，即 ，
则 .
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，
，解得 或 （舍）.
故选：B.
二、多选题
9. 下列说法正确 是（ ）
A. 从容量为 的总体中抽取一个容量为 的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不
同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则
B. 若 ，则事件 A 与事件 B 相互独立
C. 一个人连续射击 2 次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D. 若 ， ，且事件 A 与事件 B 相互独立，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据抽样方法的相关概念、独立事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐一检
验，可得答案.
【详解】对于 A，根据抽样方法的使用规则，可知 A 正确；
对于 B， ，故 B 正确；
对于 C，设事件 {两次均为中}={中枪次数为 }、事件 {至多中一次}={中枪的次数为 }，
由 ，则事件 包含事件 ，故 C 错误；
对于 D，由 ，则 ，
因为事件 与事件 相互独立，所以
，故 D 正确.
故选：ABD.
10. 下列给出的命题中正确的有（ ）
A. 已知两个向量 ， ，且 ，则
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B. 三棱锥 中，点 为平面 上的一点，且 ，则
C. 已知 ， ，则 在 上的投影向量坐标为
D. 若 是空间的一组基底，则 也是空间的一组基底
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据空间向量平行求参数，可判断 A 的真假；根据向量共面求参数，可判断 B 的真假；根据投影
向量的概念判断 C 的真假；根据空间向量基底的概念判断 D 的真假.
【详解】对 A 选项：由 ，所以存在 ，使得 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 A 正确；
对 B 选项：因为点 为平面 上的一点，所以存在 ，使得 ,
即 .
因为 ，所以 ，故 B 正确；
对 C 选项： 在 上的投影向量为： ，故 C 正确；
对 D 选项：因为 ，所以 ， ， 三个向量共面，
所以 不是空间向量的一组基底，故 D 错误.
故选：ABC
11. 已知抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，过点 的直线与抛物线交于 、 两点，
为线段 的中点， 为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则点 到 轴的距离为
B. 过点 与抛物线 有且仅有一个公共点的直线至多有 条
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C. 是准线上一点， 是直线 与 的一个交点，若 ，则
D.
【答案】CD
【解析】
【分析】首先根据抛物线 的几何意义，求出抛物线方程，根据焦半径公式判断 A；对所求的直线的斜率
是否存在进行分类讨论，根据直线与抛物线 有且仅有一个公共点，求出直线的方程，可判断 B 选项；根
据三角形相似判断 C，首先证明 ，再利用基本不等式判断 D.
【详解】因为抛物线 的焦点 到准线的距离为 ，所以 ，
则抛物线 ，所以焦点 ，准线为 ，
对于 A 选项，设 、 ，则 ，
解得 ，
又 为线段 的中点，则 ，
所以点 到 轴的距离为 ，故 A 错误；
对于 B 选项，若过点 的斜率不存在时，则该直线为 轴，由图可知， 轴与抛物线 相切，
若过点 的直线的斜率为零，此时，直线的方程为 ，联立 ，可得 ，
此时，直线 与抛物线 只有一个交点，
若过点 的直线的斜率存在且不为零，设该直线的方程为 ，
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考虑直线 与抛物线 相切，联立 ，可得 ，
则 ，解得 ，
即直线 与抛物线 只有一个公共点，
故满足条件的直线共有三条，B 错；
对于 C 选项，过点 作准线的垂线段，垂足为 ，则 ，
设准线与 轴交于点 ，则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，则 ，所以 ，
即 ，所以 ，则 ，故 C 正确；
对于 D：依题意过点 的直线的斜率不为 ，设过点 的直线为 ，
由 ，消去 得 ，
显然 ，所以 ， ，则 ，
，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故 D 正确.
故选：CD.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
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一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
三、填空题
12. 双曲线 ： 的渐近线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线方程，求得 和焦点在 x 轴上求解.
【详解】因为双曲线 ： ，
所以 ，焦点在 x 轴上，
所以其渐近线方程为 ，
故答案为：
13. 已知点 ，过 的直线 与线段 有交点，则直线 的斜率的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率公式即可得 ，进而可求解.
【详解】直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
故直线 与线段 有交点，则 ,即 ，
故答案为：
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14. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆
上一个动点，则 的最大值为______．
【答案】12
【解析】
【分析】由椭圆方程求出 坐标，结合椭圆定义将 转化为 ，即只需求
的最大值，即求 的最大值，结合图形求得其最大值，即可求得答案.
【详解】由椭圆 可知 ， ，
椭圆 在圆 内，而圆 的圆心为 ，半径为 ，
易知 ，所以椭圆 与圆 相离，
而 ，故 ，
要求 的最大值，只需求 的最大值，
而 Q 在圆 上，
只需求 的最大值，当 共线时（如图）， 最大，
此时 ，即为 的最大值，
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则 的最大值为 ，
则 的最大值为 ，
故答案为：12
四、解答题
15. 已知直线 .
（1）若直线 过点 ，且 ，求直线 的方程；
（2）若直线 ，且直线 与直线 之间的距离为 ，求直线 的方程.
【答案】（1）
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据两直线垂直，斜率之积为 ，可求得直线 的斜率，再由直线的点斜式方程，即可写出
直线方程；
（2）先根据两直线平行，斜率相等，设出直线 的方程为 ，再根据两平行直线的距离公式
即可求出．
【小问 1 详解】
因为直线 的方程为 ，所以直线 的斜率为 .
因为 ，所以直线 的斜率为 .
因为直线 过点 ，所以直线 的方程为 ，即 .
【小问 2 详解】
因为直线 ，所以可设直线 的方程为 ，
直线 与直线 之间的距离为 ，
所以 ，解得 或 .
故直线 的方程为 或 .
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16. 已知直线 与直线 相交于点 ，以 为圆心的圆过点 .
（1）求圆 的方程；
（2）求过点 的圆 的切线方程.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）联立直线得 ，圆 的半径为 ，进而可得；
（2）斜率不存在时， ，符合题意；斜率存在时，设直线方程，根据圆心到切线的距离为半径可得斜率，
进而可得.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，即 ，
由题意圆 的半径为 ，
故圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
当切线的斜率不存在时，方程为 ，与圆相切，符合题意.
当切线的斜率存在时，设斜率为 ，则切线方程为： ，即 ，
由题意 ，得 ，即 ，
两边分别平方得 ，得 ，
故切线方程为 ，即 ，
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综上过点 的圆 的切线方程为 ， .
17. 某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试成绩，并分成五组：
第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组 ，绘制成如图所示的
频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求 ， 的值；
（2）估计这 100 名候选者面试成绩的第 65 百分位数（分位数精确到 0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，以确
定组长人选，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】（1） ，
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的频率的性质即各组频率为相应矩形面积，列式计算，即可求得答案；
（2）确定面试成绩的 65%分位数的范围，计算各矩形面积和的 65%处对应的数值即为所求；
（3）确定两组各抽取的人数，采用列举法列出选出 2 人的所有可能情况，再列出这 2 人来自同一组的情况，
根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【小问 1 详解】
因为第三、四、五组的频率之和为 0.7，所以 ，解得 ，
所以前两组的频率之和为 ，即 ，所以 ；
【小问 2 详解】
前两个分组频率之和为 0.3，前三个分组频率之和为 0.75，所以第 65 百分位数在 65 和 75 之间，
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即为 ；
【小问 3 详解】
第四、第五两组志愿者分别有 20 人，5 人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4，分别设为 ， ， ， ，第五组志愿者人数为 1，设为 ，
这 5 人中选出 2 人，所有情况有 ， ， ， ， ， ， ， ，
， 共有 10 种情况，
其中选出的两人来自同一组的有 ， ， ， ， ， ，共 6 种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为 .
18. 如 图 ， 在 四 棱 锥 中 ， 平 面 ABCD， ， ，
，E 为 PD 的中点，点 F 在 PC 上，且 .
（1）证明：平面 平面 PAD；
（2）求 PC 与平面 AEF 所成角的正弦值；
（3）若棱 PB 上一点 G 满足 ，且平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值为 ，求
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）由 平面 ABCD，得 ，结合 ，根据线面、面面垂直的判定定理，即
可得证；
（2）以 A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可；
（3）先用含 的式子表示出平面 AFG 的法向量，再利用向量法求面面角，可得关于 的方程，解方程可得
结果.
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【小问 1 详解】
∵ 平面 ABCD， 平面 ABCD，
∴ ，
∵ ， ，PA、 平面 PAD，
∴ 平面 PAD，又∵ 平面 PCD，
∴平面 平面
【小问 2 详解】
以 A 为原点，AD，AP 所在直线分别为 y，z 轴，作 为 x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 AEF 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ，
设 PC 与平面 AEF 所成角为 ，则 ，
∴PC 与平面 AEF 所成角的正弦值为
【小问 3 详解】
由（2）知， ，平面 AEF 的一个法向量为 ，
∴ ， ，
∴ ，
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设平面 AFG 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，故 ，
∵平面 AEF 与平面 AFG 的夹角的余弦值为 ，
∴ ，
整理得 ，即 ，
解得 或 （舍），
∴ .
19. 如图，已知椭圆 的两个焦点为 ，且 为双曲线 的顶点，双曲线 的离心
率 ，设 为该双曲线 上异于顶点的任意一点，直线 的斜率分别为 ，且直线 和
与椭圆 的交点分别为 和 .
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）证明：直线 的斜率之积 为定值；
（3）求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
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【解析】
【分析】（1）根据椭圆和双曲线的标准方程求解即可；
（2）设点 ，由斜率的定义可知 ，再将 代入双曲线方程即可求解；
（3）利用（2）中结论设直线 的方程为 ， 的方程为 ，分别代入椭圆方程
求得 即可求解.
【小问 1 详解】
设双曲线 的标准方程为 ，
由题意知 ，且 ，所以 ，
所以双曲线 标准方程为： ；
【小问 2 详解】
设点 ，由题可知 ，
则 ，
所以 ，
由点 在双曲线上，可知 ，即有 ，
所以 ，故 ；
【小问 3 详解】
由（2）可知 ，且 ，
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所以可设直线 方程为 ，
则直线 的方程为 ，
把直线 的方程 代入椭圆方程 ，
整理得 ，
设 ，则有 ，
因此
，
把直线 的方程 代入椭圆方程 ，
整理得 ，
设 ， ，则有 ， ，
因此
，
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所以 又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 .
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为 ， ，
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 或 的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（5）代入韦达定理求解.
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