[数学]四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学]四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列函数求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】对于A：，故A错误；
对于B：，故B错误；
对于C：，故C错误；
对于D：，故D正确.
故选：D
2. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现仅剩的3个社团供4名同学选择，则不同的选择方法有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】由题意可得，每名同学共有3种选择，故不同的选择方法有种
故选：D
3. 函数的导函数，满足关系式，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由进行求导得：，
当时，可得：，解得：.
故选：A.
4. 如图，函数的图象在点处的切线方程是，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意可知切点，
函数的图象在点处的切线方程是，
，即

又
即
故选：D.
5. 展开式中项的系数为（ ）
A. B. C. 15D. 5
【答案】B
【解析】设的通项为，
当时，的系数为；当时，的系数为.
所以展开式中项系数为，故选：B.
6. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是
A. 10B. 9C. 8D.
【答案】B
【解析】，由题意可知，，
，
当，且，解得：，
所以的最小值是9.
故选：B
7. “四书” “五经”是我国部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书”“五经”知识讲座，每部名著安排次讲座，若要求《大学》《论语》相邻，但都不与《周易》相邻，则排法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】先排除去《大学》《论语》《周易》之外的6部经典名著的讲座，
共有种排法，将《大学》《论语》看作一个元素，二者内部全排列有种排法，
排完的6部经典名著的讲座后可以认为它们之间包括两头有7个空位，
从7个空位中选2个，排《大学》《论语》捆绑成的一个元素和《周易》的讲座，有种排法，
故总共有种排法，
故选：C.
8. 已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】构建，则，
因为，则，即，
可知在上单调递减，且，
由可得，即，解得，
所以不等式的解集是.
故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分．
9. 若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】，令，可得，故A正确．
再令，可得，故C正确．
，可得，两式相加，故
两式相减可得，故B正确，D错误，
故选：ABC．
10. 关于函数，下列判断正确的是（ ）
A. 函数的图像在点处的切线方程为
B. 是函数的一个极值点
C. 当时，
D. 当时，不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】因为，所以，，
所以，
因此函数的图像在点处的切线方程为，
即，故A正确；
当时，在上恒成立，即函数在定义域内单调递减，无极值点；故B错；
当时，，由得；由得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
因此，即；故C正确；
当时，在上恒成立，
所以函数在上单调递减；
由可得，
解得：，故D正确；
故选：ACD.
11. 定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函数图象的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ）
A. ，
B. 函数的极大值与极小值之和为6
C. 函数有三个零点
D. 函数在区间上的最小值为1
【答案】AB
【解析】由题意，点在函数的图象上，故；
又.
由，即.故A正确；
所以，所以.
由或.
所以在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；极小值为，
所以极大值与极小值之和为：，故B正确；
因为函数的极小值，所以三次函数只有一个零点，故C错误；
又，，
所以函数在上的最小值为，故D错.
故选：AB
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若展开式中各项系数的和等于64,则展开式中的系数是________.
【答案】
【解析】因为展开式中各项系数的和等于64，
所以，解得；
所以展开式的通项为，
令，得的系数为.
故答案为
13. 甲、乙、丙等5位同学随机站成一排合影留念，甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧，则不同的站法共有________种．（用数字作答）
【答案】24
【解析】甲乙捆绑作为一个人与其他人排列，共有种排法，
因为甲在丙左侧与甲在丙右侧的排法数相同，
所以甲、乙两人相邻且甲站在丙的左侧的不同的站法共有种.
故答案为：24
14. 已知不等式对恒成立， 则实数的最小值为__________.
【答案】
【解析】因为对恒成立，
所以对恒成立，
即对恒成立，
构造函数，
所以，
又因为，
令 ， 解得：， 令， 解得：，
故 在上单调递减， 在上单调递增，
当 时，与1的大小不定，
但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，
此时,
因为当时，单调递减，故，
两边取对数得：,所以，
令，则，
令，得：， 令，得：，
所以在单调递增， 在单调递减，
所以，故的最小值是.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数（）的图象在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）由题意得：
∴，∴，.
（2）由（1）知：
不等式在上恒成立，即在恒成立.
设，则
令，得，（舍去）列表如下：
∴此时的极小值为，
∴实数的取值范围为
16. 在的展开式中，前3项的系数成等差数列，
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；
（3）求展开式中含的项的系数及有理项.
解：（1）展开式的通项为
因为前3项的系数成等差数列，且前三项系数为，所以，即，
所以（舍去）或.
（2）因为，所以展开式中二项式系数最大的项为第五项，
即.
令得，即展开式系数和为
（3）通项公式：，
由，，
可得含的项的系数为.
设展开式中第项为有理项，
由
当、4、8时对应的项为有理项，有理项分别为：；；．
17. 某校举办元旦晚会，有3个语言类节目和4个唱歌节目，按下面要求排出一个节目单，各有多少种排法？
（1）3个语言类节目彼此要隔开；
（2）第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目；
（3）前3个节目中要有语言类节目．
解：（1）第一步：先排4个歌唱节目有种排法；
第二步：4个歌唱节目前后有5个空，排3个语言类节目有种排法，
共种排法；
（2）第一步：从4个歌唱节目中选2个排在一头一尾有种排法；
第二步：剩下的3个语言类节目和2个歌唱节目共5个节目全排列有种排法，
共种排法；
（3）若前3个节目中都是唱歌节目有种排法，而7个节目的全排列有种排法，
故前3个节目中有语言类节目的排法有种排法．
18. 已知函数.
（1）讨论在定义域上的单调性；
（2）若函数在处取得极小值，且关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
解：（1）
当时，在上单调递减
当时，在区间单调递减，在区间单调递增；
（2）函数在处取得极值，∴，解得，则，
关于x的方程化为，
令，，
∴，
令，解得或1，
令，解得，此时函数单调递增，
令，解得，此时函数单调递减，
∵关于x的方程在上恰有两个不相等的实数根，
则，即，解得，
∴实数b的取值范围是
19 已知函数，.
（1）已知恒成立，求a的值；
（2）证明：当时，；
（3）当时，不等式（），求a的取值范围.
解：（1）由已知，函数，，即，
令，，
①当时，，所以函数在上单调递增，而，所以此时不恒成立；
②当时，，解得，
当，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，
所以函数在上取得极小值，即，
要使在上恒成立，即满足，
令，
所以，又因为，所以：
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递增，
所以，因此，
所以要使恒成立，a的值为1.
（2）由已知，，，
令，
所以，，
①当时， ，所以，而，
则，所以，函数在上单调递减，
故；
②当时，构造函数，可证得，由（1），
所以当时，，
当且仅当时等号成立，
综上所述，对任意时，.
（3）当时，不等式（），
不妨设，即，
因为且，所以当时，取得最小值，
由于函数为可导函数，，
则为函数的极小值点，故，解得，
下面证明当时，为函数的极小值点，
由（2）问可知，当时，，
令，所以，
故函数在上单调递增，因为，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以为函数的极小值点，合乎题意.
综上所述，.
1
-
0
+
单调递减
极小值
单调递增