2024-2025年度八年级下册数学期末考试模拟（1）

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一、单选题（共36分）
1．（本题3分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（本题3分）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了因式分解，因式分解是将多项式表示为几个整式的乘积形式．根据因式分解的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：选项A：右边不是整式乘积的形式，不是因式分解；
选项B：，原分解错误；
选项C：属于整式乘法，不是因式分解．
选项D：符合因式分解定义．
故选：D．
3．（本题3分）以下列各组数为边长，可以构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，6C．6，8，10D．7，24，26
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A.，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
B. ，
∴该选项三个数据不能构成直角三角形，故不符合题意；
C. ，
∴该选项三个数据能构成直角三角形，故符合题意；
D. ，
∴该选项三个数据不不能构成直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
4．（本题3分）若一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了多边形内角和与外角和综合，设这个多边形的边数是，根据多边形的内角和定理，外角和定理列出方程，然后解方程即可，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：设这个多边形的边数是，
根据题意得：，
解得：，
故选：．
5．（本题3分）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
B、∵，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
C、∵，，
∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意；
D、∵，，
∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意；
故选：D．
6．（本题3分）已知，，分别是的三边长，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边的关系，根据，可推出，由三角形三边的关系可得，则，即，则是等腰三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵a，b，c分别是的三边长，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故选：A．
7．（本题3分）在平面直角坐标系中，线段是由线段经过平移得到的，已知点、，N的对应点，求N的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了点的坐标的平移，先由题意得出平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，再由次计算即可得解，正确得出平移的方式是解此题的关键．
【详解】解：∵线段是由线段经过平移得到的，已知点、，
∴平移方式为向右平移个单位长度，向上平移个单位长度，
∵N的对应点，
∴N的坐标为，即，
故选：A．
8．（本题3分）把分式中的和都扩大2倍，则分式的值（ ）
A．不变B．扩大2倍C．缩小2倍D．扩大4倍
【答案】A
【分析】本题考查了分式的基本性质．依题意分别用和去代换原分式中的和，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】解：分别用和去代换原分式中的和，
得，
∴把分式中的x和y都扩大2倍，分式的值不变，
故选：A．
9．（本题3分）如图，在平行四边形中，对角线与相交于点，的平分线交于点，为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，中位线定理，等角对等边等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
由四边形是平行四边形，则，，，，所以，通过角平分线定义可得，则有，所以，然后通过中位线定理可得，最后由线段和差即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，，即为的中点，
∴为中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
10．（本题3分）如图，一次函数的图象过点，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，利用数形结合的数学思想即可解决问题．
【详解】解：由函数图象可知，
当时，一次函数的图象在直线的上方，即，
所以不等式的解集为．
故选：A．
11．（本题3分）已知关于x 的不等式组至少有2个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．首先解不等式组得到，再根据不等式组至少有2个整数解即可解答．
【详解】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
∵关于的不等式组至少有2个整数解，
，
，
故选：B．
12．（本题3分）如图，已知中，，，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【分析】本题考查等腰三角形性质及构造等腰三角形的方法．根据等腰三角形性质，结合构造等腰三角形的方法，分三种情况：①构造中垂线；②以为圆心，长为半径作圆；③以为圆心，长为半径作圆；他们与直线或射线的交点即是点，从而得到结论
【详解】解：分三种情况：
①构造中垂线，、即为所求，如图所示：
②以为圆心，长为半径作圆，、即为所求，如图所示：
③以为圆心，长为半径作圆，即为所求，如图所示：
综上所述，在直线或射线取一点，使得是等腰三角形，符合条件的点有、、、、共5个，
故选：B．
二、填空题（共18分）
13．（本题3分）因式分解：
【答案】
【分析】本题考查了分解因式，掌握分解因式的方法是关键；先提公因式a，然后根据平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
14．（本题3分）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；
根据不等式的性质即可求解；
【详解】解：，
；
故答案为：
15．（本题3分）如图，边长为的等边内有一点，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查旋转、等边三角形的性质、勾股定理,运用旋转的方法将绕点A按逆时针方向旋转60°是解题的关键．
将绕点A按逆时针方向旋转，得到，只要证明，利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：将绕点A按逆时针方向旋转，得到，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴（负值舍去），
∴，
∴；
故答案为：．
16．（本题3分）如图，在平行四边形中，于E，，则的大小是 ．
【答案】37
【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质、直角三角形的性质等知识点，掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
先根据平行四边形的性质求出的度数，再由直角三角形的两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：37．
17．（本题3分），则 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的求值，异分母分式的加减法，条件式变形得到，整体代入法，求值即可．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
18．（本题3分）如图，在中，，，，．若P、Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点作于点交于点，当点在点处时，取最小值，且最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．
【详解】解：连接，
∵，
∴垂直平分，
，
，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当、、三点共线，且时，最小，
过点作于点交于点，如图所示：
∴当点在点处，点Q在点E处时，取最小值，且最小值为的长，
，
，
即的最小值为．
故答案为：．
三、解答题（共66分）
19．（本题8分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
（2）先化简，再从，0，1，2中选取一个适合的数代入求值．
【答案】（1），见解析；（2），当时，原式为
【分析】本题考查的是分式的化简求值和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集和掌握分式的混合运算顺序与运算法则是解答此题的关键．
（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的a的值代入计算即可．
【详解】解：（1）解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为.
其解集在数轴上表示为：如图所示.
（2）
，
由题意得：且，
当时，原式，
当时，原式．
20．（本题4分）如图，在中，，，．
(1)尺规作图：作的平分线交于D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）利用尺规基本作图，作出的角平分线即可．
（2）作，垂足为E．设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图所示：就是所求．
（2）解：在中，由勾股定理得：，
过点D作，垂足为E．
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中由勾股定理得：，
解方程得，
∴．
【点睛】本题考查尺规基本作图—作角平分线，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．（本题6分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上，
(1)将向右平移2个单位，再向下平移4个单位，请在网格内画出平移后的；
(2)将以点B为中心，顺时针旋转90°，请在网格图中画出旋转后的；
(3)请仅用无刻度直尺在线段上确定一点P，使（保留作图痕迹，不需要证明）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平移变换、旋转变换、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平移的性质确定点的位置，然后顺次连接即可；
（3）连接，由旋转的性质可得，，易得，即可获得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）如图，即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
22．（本题6分）两地相距，一辆公共汽车和一辆小汽车同时从地出发驶往地，小汽车的平均速度是公共汽车的倍，小汽车比公共汽车早到达地．求两车的平均速度．
【答案】公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是
【分析】本题考查了分式方程的应用，设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设公共汽车的平均速度为，则小汽车的平均速度为，
由题意得，，
解得，
经检验，是原方程的解，符合题意，
∴，
答：公共汽车的平均速度是，小汽车的平均速度是．
23．（本题8分）如图，在中，是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理判断出是直角三角形即可；
（2）直接根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：，，，，
，
是直角三角形，且，
；
（2）解：由（1）知，，
，
，，
．
24．（本题6分）图中所给的直线是一次函数的图象．
(1)请直接在所给的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
(2)求出两条直线的交点的坐标，并在图中标出点的位置；
(3)根据图象，当时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)图象见解析
(2)，图见解析
(3)
【分析】本题考查的是一次函数与方程和不等式的关系，解二元一次方程组，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
（1）根据题意画出函数的图象即可；
（2）解方程组即可得到结论；
（3）根据函数的图象即可得到结论．
【详解】（1）解：一次函数的图象如图所示，
（2）解：由题意得：，
解得：，
∴点的坐标为，
点的坐标如图所示．
（3）解：由图象可知，当时，的取值范围为．
25．（本题8分）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，E、F是直线上的两点，并且，连接、、、
(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)14
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据平行四边形的判定即可得证；
（2）过点作，交延长线于点，先求出，的值，再利用勾股定理求解即可得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，即，
∴与互相平分，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
由（1）已证：四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，，
∴．
26．（本题10分）2025年春节档电影《哪旺2：魔童闹海》惊艳世界，创造了中国影视票房记录，某商家看准商机，推出了A、B两种类型的哪吒纪念娃娃，其进价和售价如下表所示：
(1)该商家计划购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃共1000个，且A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元，一共有多少种满足条件的方案？
(2)在（1）的条件下，设售出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃的总利润为W元，请写出W（元）与A种类型哪吒纪念娃娃的数量（个）之间的函数关系，并求出哪一种购买方案可以使得总利润W最大，并求出W的最大值．
【答案】(1)共有11种满足条件的方案
(2)购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元
【分析】本题考查一元一次不等式组解决实际问题，一次函数解决实际问题，分析得到题意中各量的数量关系是解题的关键．
（1）设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据“A种类型的哪吒纪念娃娃的数量不超过B种类型的哪吒纪念娃娃数量的1.5倍，总成本不超过54100元”列出不等式组，求解方程组，找出其整数解即可解答；
（2）列出总利润W关于A种纪念娃娃数量x之间的函数关系式，根据一次函数的性质即可解答．
【详解】（1）解：设购买A种纪念娃娃x个，则购买B种纪念娃娃个，根据题意得，
，
解得：，
∵x为正整数，
∴，
即x的取值共有11个整数，
∴共有11种满足条件的方案；
（2）解：总利润，
由可知W随的增大而减小，
当时，W取得最大值，最大值为34100（元），
此时
答：购买种590个，售出种410个，最大收益为34100元．
27．（本题10分）【教材呈现】人教版八年级上册数学教材121页有“阅读与思考”：
根据多项式的乘法法则，可知．
那么，反过来，也有
这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式．
例如，因式分解．这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．
这样，我们也可以得到．
利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式：
（1）分解因式：
① ；
② ；
【知识应用】
（2）请用上述方法，因式分解：；
【拓展提升】
（3）因式分解：．
【答案】（1）①；②；（2）；（3）
【分析】（1）仿照阅读材料中的方法将原式分解即可；
（2）两次利用材料中的方法将原式分解即可；
（3）原式利用分组分解法即可．
此题考查了因式分解—十字相乘法和分组分解法，弄清题中因式分解的方法是解答本题的关键．
【详解】解：（1）依题意，①；
②；
故答案为：①；②；
（2）依题意，
；
（3）依题意，
．
进价（元/个）
售价（元/个）
A种类型
50
80
B种类型
60
100