陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市2025届高三下学期联考模拟（二）（5月）数学试卷（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“∀x∈0,+∞,ex≥2025x2”的否定为（ ）
A．∀x∉-∞,0,ex≥2025x2B．∀x∈0,+∞,ex0，
故gx在区间-1,1上单调递增，又g0=0，即f'0=0，
故当-10上两不重合的动点，点A2,32，且当O,P,Q,A四点共线时，PQ=1077.
（1）求C的标准方程；
（2）若直线l与C的渐近线垂直，且经过点A，求直线l与两坐标轴交点的坐标；
（3）若P,Q均在C的右支上，且线段OA是△OPQ的角平分线，求直线PQ的方程.
解：（1）∵O,P,Q,A四点共线时，PQ=1077，根据双曲线对称性，
∴P,Q关于原点对称，不妨设P在Q在右侧，即P,Q在圆x2+y2=257，
又A2,32，∴lOA:y=34x，与圆联立得P477,377，Q-477,-377，
代入x2a2-y2=1，167a2-97=1⇒a2=1，
∴双曲线C的标准方程为x2-y2=1.
（2）∵C: x2-y2=1，∴渐近线为y=x或y=-x，
∵直线l与C的渐近线垂直，且经过点A，
当渐近线为y=x时，直线l:x+y-72=0，
与x轴交点为-72,0，y轴交点为0,72，
当渐近线为y=-x时，直线l:x-y-12=0，
与x轴交点为12,0，y轴交点为0,-12，
综上，直线l与两坐标轴交点的坐标为-72,0和0,72或12,0和0,-12.
（3）如图，
根据题意直线PQ斜率存在，设lPQ:y=kx+m，Px1,y1,Qx2,y2，
联立y=kx+mx2-y2=1⇒1-k2x2-2kmx-m2-1=0，
∴x1+x2=2km1-k2>0，x1x2=-m2-11-k2>0，
解得k1，
y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+kmx1+x2+m2=m2-k21-k2，
x1y2+x2y1=2kx1x2+mx1+x2=-2k1-k2，
设直线OP,OA,OQ的倾斜角分别为α,θ,β，
∵OA是△OPQ的角平分线，
∴tanα+β=tan2θ=2tanθ1-tan2θ=247，
tanα+β=y1x1+y2x21-y1y2x1x2=x2y1+x1y2x1x2-y1y2=-2k1-k2-2m2-1+k21-k2=-2k-2m2-1+k2=247，
12k2+7k=24m2+12，
又点A2,32在PQ上，所以2k+m=32，
故12k2+7k=2432-2k2+12，
整理得84k2-151k+66=0，解得k=34或k=2221，
又k1，所以k=2221，
故直线PQ的方程为y=2221x-2542.
19．已知一个非空数集A，对∀x,y∈A，且x≠y，记B为A去掉x，y后的集合，若有x+y∈B或x-y∈B，则称A是一个好集合．对于一个非空数集P，对∀x,y∈P，且x≠y，记Q为P去掉x，y后的集合，若有xy∈Q或yx∈Q或xy∈Q，则称P是一个坏集合．
（1）证明：集合A=1,2,3,4不是好集合；
（2）若A是好集合，证明：存在一个与A中元素个数相同且仅由正实数构成的坏集合P；
（3）证明：不存在有限的好集合A，满足A中的元素均为正实数，且A中的元素个数为大于5的奇数．
证明：（1）取x=4，y=2，记B=1,3，则x+y=6∉B，x-y=2∉B，故A不是好集合．
（2）记集合P=yy=ex,x∈A，则P中元素均为正数，且与集合A中元素个数相同，下证P为坏集合，
因为A为好集合，所以∀a,b∈A，且a≠b，都有a+b∈B或a-b∈B（其中B为A去掉a，b后的集合），
设Q为P去掉ea，eb后的集合，此时ea⋅eb=ea+b，eaeb=ea-b，ebea=eb-a，
若a+b∈B，则ea+b∈Q；若a-b∈B，则ea-b与eb-a必然有一个属于Q，故P为坏集合，命题得证．
（3）假设存在这样的有限集A，使得A中的元素均为正实数，元素个数为大于5的奇数，且A为好集合，
则设A=a1,a2,⋅⋅⋅,an，且0