陕西省渭南市2025届高三下学期联考联评模拟（三）（二模）数学试卷（解析版）

这是一份陕西省渭南市2025届高三下学期联考联评模拟（三）（二模）数学试卷（解析版），共16页。试卷主要包含了 已知全集为，集合，则， 已知向量，若，则实数， 已知函数为奇函数，则的值是， 在中，，则的面积为，4，等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知全集为，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，
可得：，
所以，
故选：D
2. 已知向量，若，则实数（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
又，所以，解得，
故选：B．
3. 下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为双曲线的焦点在y轴，故AB错误；
对于C，双曲线的渐近线方程为，故C错误；
对于D，双曲线的渐近线方程为，故D正确.
故选：D.
4. 已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A. 3B. 1或3C. 2D. 1或2
【答案】C
【解析】因为为奇函数，所以，
解得或.
当时，，，故不合题意，舍去；
当时，，，故符合题意.
故选：C.
5. 下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】选项A中，选项B中，选项C中，选项D中，排除AB，
时，，递减，则递增，
时，，递增，则递减，
故选：C．
6. 在中，，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
由余弦定理得，
解得，舍去，
则的面积为.
故选：A
7. 某同学掷一枚正方体骰子5次，记录每次骰子出现的点数，统计出结果的平均数为2，方差为0.4，可判断这组数据的众数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】不妨设五个点数为，由题意平均数为2，方差为0.4，
知.
可知五次的点数中最大点数不可能为4，5，6.
五个点也不可能都是2，则五个点数情况可能是3，3，2，1，1，其方差为
，不合题意.
若五个点数情况为3，2，2，2，1，其方差为
，符合题意，其众数为2.
故选：B.
8. 已知函数的大致图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】观察图象知，是函数的极小值点，求导得，
则，解得，当时，；当时，，
则是函数的极小值点，，，
不等式，解得，
所以不等式的解集为.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知是复数，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则实数
B. 若为虚数，则是虚数
C. 对于任意的复数都是实数
D.
【答案】BCD
【解析】设，
选项A，若，则，不一定是实数，A错；
选项B，是虚数，则，，但，是虚数，B正确；
选项C，是实数，C正确；
选项D，设，则
，D正确；
故选：BCD．
10. 已知直线，圆和抛物线，则（ ）
A. 直线过抛物线的焦点
B. 直线与圆相交
C. 直线被圆截得的最短弦长为
D. 圆与抛物线的公共弦长为
【答案】B
【解析】对于A：抛物线的焦点为代入直线得，所以直线过抛物线的焦点，当时，直线不过抛物线线的焦点，故A错误；
对于B：直线，令得，将代入圆有，
所以点在圆的内部，所以直线与圆相交，故B正确；
对于C：直线定点为，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交弦长为，当时，，故C错误；
对于D：由或（舍去）当时，，
所以圆与抛物线的公共弦长为，故D错误，
故选：B
11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一､下列说法正确的是（ ）
A. 曲线有4条对称轴
B. 曲线内有9个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为5
D. 设直线与曲线交于两点，则的最大值为4
【答案】ABD
【解析】对于A，点是曲线上任意点，显然都满足曲线的方程，
因此曲线关于轴、轴、直线、直线都对称，A正确；
对于B，由，得，
解得，同理，因此曲线在两组平行直线所围成的正方形及内部，
而点中，任意一点坐标都使，
因此曲线内有9个整点，B正确；
对于C，由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值，
此时方程为，令，将代入，
得，故，解得，
因此的最大值为，C错误；
对于D，由消去得，解得，
则，当且仅当时取等号，D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则__________.
【答案】
【解析】由，
可得：，
所以，
所以，
故答案为：
13. 已知正三棱锥的体积为，则该三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】设正三棱锥的底面中心为，外接球的球心为，显然球心在直线上.
设正三棱锥的高为，外接球的半径为，
由，可得正三角形的面积为，
所以，解得，
球心到底面的距离为，，
由，得，得，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.

14. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态.假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为__________.
【答案】
【解析】从9个灯区中随机先后按下两个灯区，共有种按法，
与相邻的灯区为，与相邻的灯区为，将9个灯区分为三类：
第一类灯区，第二类灯区，第三类灯区，
若要使得灯区最终仍处于“点亮”状态，则需在同类灯区中随机先后按两个不同灯区．
①若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
②若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法；
③若先后按下的是灯区中的两个，则灯区最终仍处于“点亮”状态，共有种按法，
所以灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．
故答案为：
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求函数在上的最值.
解：（1），
，
，
所求切线方程为.
（2）由（1）知，
令，得或；
令，得.
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增.
又，
函数在上的最小值为，最大值为.
16. 甲、乙两学校举行羽毛球友谊赛，在决赛阶段，每所学校派出5对双打（两对男双、两对女双、一对混双）进行比赛，出场顺序抽签决定，每场比赛结果互不影响，先胜三场（没有平局）的学校获胜并结束比赛.已知甲学校混双获胜的概率是，其余4对双打获胜的概率均是.
（1）若混双比赛抽签排到最后，求甲学校在前3场比赛结束就获胜的概率；
（2）求混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜的概率.
解：（1）若混双比赛抽签排到最后，则甲学校在前3场比赛中获胜的概率均是.
所求概率为.
（2）设事件表示“混双比赛在第场进行”，事件表示“混双比赛在前3场进行的前提下，甲学校前3场比赛结束就获胜”，
则，
，
.
17. 如图，三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，为的中点，，侧面底面.
（1）证明：；
（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值.
（1）证明：等边三角形中，为中点，，
侧面底面，侧面底面，
又平面平面，
又平面.
（2）解：在中，，
，
.
由（1）知，平面，
又平面，
两两垂直，
以分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则不妨取，则，
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则不妨取，则，
平面的一个法向量为.
记平面与平面的夹角为，
则，
平面与平面夹角的余弦值为.
18. 已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线恒过定点；
（3）求面积的最大值.
（1）解：依题意有解得，
椭圆的方程为.
（2）证明：如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意；
设直线的方程为：.
联立消去得.
，即.
.
，
又，
，
，
即，
，解得或（舍）.
直线的方程为：，即直线过定点.
（3）解：点到直线的距离，
，
的面积
令，则，
，
因函数在上单调递减；在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，即，
故，
即面积的最大值为.
19. 若是递增数列，数列满足对任意的，存在，使得，则称是的“分割数列”.
（1）设，证明：数列是数列的“分割数列”；
（2）设是数列的前项和，，判断数列是否是数列的“分割数列”，并说明理由；
（3）设且，数列的前项和为，若数列是的“分割数列”，求实数的取值范围.
（附：当时，若，则）
（1）证明：若是递增数列，且，
则，
，且，即.
，
，即，
对任意的，存在，使得.
是的“分割数列”.
（2）解：.
假设是的“分割数列”，则对任意的，存在，使得，
，即，
当时，，
易知在上单调递增，
，
满足条件的正整数不存在，
不是的“分割数列”.
（3）解：是的“分割数列”，，
是递增数列， .
，即，
即，
即，
，
记，则.
下面分析的取值范围.
因为，单调递减，单调递增，
所以为减函数，且时，，
.
（i）当时，，
，
总存在满足条件，符合题意.
（ii）当时，，根据函数零点存在定理，
并结合的单调性可知，存在唯一正整数，使得，
此时有，则，
即，显然不存在满足条件的正整数.
综上，的取值范围为.