陕西省汉中市部分学校2025届高三5月模拟预测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省汉中市部分学校2025届高三5月模拟预测数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合A=-2,-1,2,3,4，B=xy=lnx-2，则A∩B=（ ）
A．-2,-1,2B．2,3,4
C．3,4D．-2,-1,3,4
【答案】C
【解析】已知B=xy=lnx-2，则x-2>0，解得x>2，所以B=xx>2，
则A∩B=3，4.
故选：C.
2．若3x-25=a0+a1x-1+a2x-12+a3x-13+a4x-14+a5x-15，则a0+a5=（ ）
A．244B．1023C．-31D．1
【答案】A
【解析】设t=x-1，则原恒等式可化为3t+15=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5，
令t=0，则a0=1，
而3t+15展开式的通项公式为Tr+1=C5r3t5-r,r=0,1,2,3,4,5，
故a5=C5035=243，故a0+a5=244，
故选：A.
3．已知向量a=3,2，b=-4,m+1，若a-b=a+b，则m的值为（ ）
A．-5B．5C．-7D．-53
【答案】B
【解析】因为a=3,2，b=-4,m+1，
所以a-b=7,1-m，a+b=-1,m+3
因为a-b=a+b，即49+1-m2=1+m+32，解得m=5.
故选：B
4．已知角α按逆时针方向旋转π3，其终边经过点4,3，则sin2α+π6=（ ）
A．725B．1825C．-1625D．-725
【答案】D
【解析】角α逆时针旋转π3后，终边经过点(4,3)，设旋转后的角度为θ=α+π3,
点(4,3)到原点的距离r=42+32=5，
根据三角函数定义：sinθ=35， csθ=45，
2α+π6=2θ-π3+π6=2θ-π2，
sin2α+π6= sin2θ-π2=-cs2θ，
因为cs2θ=2cs2θ-1=2452-1=725，
所以sin2α+π6 =-725，
故选；D.
5．已知抛物线E:y2=2pxp>0的焦点F到准线l的距离为2，点Ap+1,0，B是直线l与x轴的交点，C是E上一点，过点C作CD⊥l于点D，CF与AD交于点M．若M为△ABC的重心，则△MAB的面积为（ ）
A．3B．433C．833D．23
【答案】B
【解析】对于抛物线E:y2=2pxp>0，已知-p2=-1，可得p=2.那么抛物线E的方程为y2=4x，其焦点F(1,0)，准线l的方程为x=-1.
则A(3,0)，B(-1,0)（B为抛物线准线与x轴交点）.
因为M为△ABC的重心，所以M为CF的三等分点且CM=2MF.
又因为CD//AF，所以△AFM与△MDC相似，且AFCD=MFCM=12，即CD=2AF=4.
不妨设C(x0,y0)，且在第一象限，由抛物线的性质可知点C到准线x=-1的距离CD=x0+1.
已知CD=4，则x0+1=4，解得x0=3.
因为点C(x0,y0)在抛物线y2=4x上，将x0=3代入抛物线方程得y02=4×3=12，又因为C在第一象限，所以y0=23.
因为M为CF的三等分点且CM=2MF，所以yM=13y0=233.
已知AB=3-(-1)=4.
根据三角形面积公式，对于△MAB，则S△MAB=12×4×233=433.
故选：B.
6．已知函数fx=2a-xlnx+b，a>0，b>0，若fx≤0，则1a+2b的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】C
【解析】由题意可知：fx=2a-xlnx+b的定义域为-b,+∞，
令2a-x=0，解得x=2a；令ln(x+b)=0，解得x=1-b；
则当x∈-b,1-b时，lnx+b0，故2a-x≤0，所以2a≤1-b，
所以2a+b=1；
故1a+2b=1a+2b2a+b=2+2+ba+4ab≥4+2ba×4ab=8，
当且仅当ba=4ab，即a=14,b=12时，等号成立，
所以1a+2b的最小值为8.
故选：C.
7．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，bcsA+acsB=3a，csB=23，若△ABC的面积为25，则△ABC的外接圆的面积为（ ）
A．15π2B．27π5C．54π5D．18π5
【答案】C
【解析】由bcsA+acsB=3a，
结合正弦定理得sinBcsA+csBsinA=3sinA，所以sinA+B=sinC=3sinA，所以c=3a，
又因为csB=23，所以sinB=1-cs2B=53，
由余弦定理得csB=a2+c2-b22ac=a2+9a2-b22a×3a=23，所以6a2=b2，所以6sin2A=sin2B=59
结合正弦定理asinA=bsinB=2R（其中R为△ABC的外接圆的半径），
得S=12acsinB=12ac×53=564R2sinAsinC=524R2sin2A=524R2×554=25，解得R2=545，
则△ABC的外接圆的面积为πR2=54π5．
故选：C.
8．在正三棱锥P-ABC中，侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，记三棱锥P-ABC内切球、外接球的半径分别为r,R，则rR=（ ）
A．16B．38C．13-14D．13-18
【答案】D
【解析】设正三棱锥底面边长为a，底面正三角形的中心为H，则顶点P在底面的投影点为H，
因为侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，即∠PAH=60∘，
在Rt△PAH中，AH=23a2-a22=33a，PA=AHcs60∘=233a，PH=PA⋅sin60∘=a，
S△PAB=12⋅AB⋅PA2-AB22=1343a2，S△ABC=12a2sin60∘=34a2，
正四棱锥体积为：VP-ABC=13·S△ABC·PH=13×3a24·a=312a3,
因为VP-ABC=13S△ABC+3S△PABr，所以r=a1+13，
在正三棱锥中，外接球的球心在PH，设球心为O，
设OH=k，根据球心到顶点距离相等可得，OP=OA，
即a-k=k2+a23，解得k=a3，所以R=2a3，
所以rR=a1+132a3=32+213=3×213-2213+2213-2=13-18.
故选：D
二、多选题
9．已知函数fx=sinωx+π4+b00，
所以fx在-1,0上单调递增，
因为函数fx是定义在R上的奇函数，所以fx在0,1上单调递增，
因为0=sin00,00的离心率为22，左、右焦点分别为F1,F2，点P2,2为C上一点，记C在点P处的切线l，过点F1作l'⊥l于点M，则PM的长为 ．
【答案】6
【解析】由条件可知，ca=224a2+2b2=1a2=b2+c2，解得：a2=8，b2=c2=4，
所以椭圆C:x28+y24=1，所以在点P2,2处的切线方程为2x8+2y4=1，即x+2y-4=0，
因为F1-2,0，所以直线l':y=2x+2，
联立x+2y-4=0y=2x+2，解得：x=0，y=22，即M0,22，且P2,2
所以PM=0-22+22-22=6.
故答案为：6
五、解答题
15．杜老师随机选取了开学测试中本班10名学生的数学成绩，得到如下数据：
（1）从这10名学生中随机选出1人，求其数学成绩不低于120分的概率；
（2）杜老师将对数学成绩不低于135分的学生给予奖励，现在从这10名学生中随机选出3人，记X为选出获得奖励的学生人数，求X的分布列和数学期望；
（3）杜老师针对测试内容与学习计划，对“三角函数、概率、导数”这3个模块进行复习训练，且在训练中进行多轮测评．规定：在一轮测评中，这3个模块至少有2个模块达到90分以上，则该轮测试记为合格．在复习训练中，甲同学3个模块中每个模块达到90分以上的概率均为13，每轮测评互不影响．若甲同学在复习训练中获得合格的次数的平均值达到5次，求至少要进行多少轮测评．
解：（1）由题知其数学成绩不低于120分的人数为7人，
故其数学成绩不低于120分的概率为P=710.
（2）由题知其数学成绩不低于135分的人数为4人，X的取值可能为0,1,2,3.
PX=0=C63C103=16，PX=1=C62C41C103=12，
PX=2=C61C42C103=310，PX=3=C43C103=130，
所以X的分布列为：
期望EX=0+12+2×310+3×130=65.
（3）设甲同学在一轮测评中合格为事件A，
则PA=C32132×23+C33133=727，
又甲同学在nn∈N*轮测评中合格的次数Y满足Y~Bn,727，
则期望EY=727n≥5，解得n≥1357，
所以至少要进行20轮测评.
16．如图1，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，P是BC的中点，连接AP，将△PAB沿直线AP翻折，使得平面PAB⊥平面APCD（如图2），连接BC，BD，Q是棱BD的中点．
（1）证明：AB⊥平面PBD；
（2）证明：CQ//平面PAB；
（3）求直线PQ和平面PBC所成角的正弦值．
（1）证明：因为在矩形ABCD中，AD=2AB=2，P是BC的中点，
所以AP=PD=2，即AP2+PD2=AD2，所以PD⊥AP，
又因为平面PAB⊥平面APCD，平面PAB∩平面APCD=PA，PA⊂平面APCD，
所以PD⊥平面PAB，
又AB⊂平面PAB，所以PD⊥AB，
又因为AB⊥BP，PB∩PD=P，PB,PD⊂平面PBD，
所以AB⊥平面PBD；
（2）证明：如图所示，取AD中点E，连接QE,CE，
因为在矩形ABCD中，AD=2AB=2，P是BC的中点，
所以AE//PC,AE=PC，即四边形AECP为平行四边形，
从而AP//CE，又因为CE⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，
所以CE//平面PAB，
又因为Q,E分别是DB,DA的中点，
所以QE//AB，
又因为QE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
所以QE//平面PAB，
又因为QE∩EC=E,QE,EC⊂平面QEC，
所以平面QEC//平面PAB，
又因为CQ⊂平面QEC，所以CQ//平面PAB；
（3）解：取PA中点O，因为AB=BP，所以OB⊥AP，
又因为平面PAB⊥平面APCD，平面PAB∩平面APCD=PA，OB⊂平面PAB，
所以BO⊥平面APCD，
又因为OE,OA⊂平面APCD，所以BO⊥OE,BO⊥OA，
又因为PA⊥PD,OE//PD，所以PA⊥OE，
所以OE,OA,OB两两互相垂直，
以点O为原点，OE,OA,OB所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意O0,0,0,A0,22,0,P0,-22,0,B0,0,22,E22,0,0，
设Cx1,y1,z1,Dx2,y2,z2，
因为四边形AECP为平行四边形，所以EC=x1-22,y1,z1,AP=0,-2,0，
即x1-22,y1,z1=0,-2,0，所以x1-22=0,y1=-2,z1=0，
故x1,y1,z1=22,-2,0，
又因为AD=x2,y2-22,z2=2PC=222,-22,0=2,-2,0，
解得x2,y2,z2=2,-22,0，
又因为Q是BD中点，
所以C22,-2,0,D2,-22,0,Q22,-24,24，
所以PQ=22,24,24,PB=0,22,22,PC=22,-22,0，
设平面PBC的一个法向量为n=x0,y0,z0，
则n⋅PB=22y0+22z0=0n⋅PC=22x0-22y0=0，令x0=1，解得y0=1,z0=-1，
所以平面PBC的法向量为n=1,1,-1，
故所求为PQ⋅nPQ⋅n=22+24-2412+18+18⋅3=23.
17．设正项数列an的前n项和为Sn，且anan+1=4Sn-1n∈N*，a1=1．
（1）求数列an的通项公式；
（2）已知bn=an2n，求数列bn的前n项和的取值范围．
解：（1）由anan+1=4Sn-1得，an-1an=4Sn-1-1,n≥2，
两式作差得anan+1-an-1an=4an,n≥2，
因数列an为正项数列，则an+1-an-1=4,n≥2，
令n=1，则a1a2=4S1-1，则a2=3，
则数列an的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，
故n为奇数时，an=1+n+12-1×4=2n-1，
数列an的偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列，
故n为偶数时，an=3+n2-1×4=2n-1，
综上，数列an的通项公式为an=2n-1n∈N*；
（2）由（1）可得，bn=an2n=2n-12n，
设数列bn的前n项和为Tn，则Tn=121+322+523+⋯+2n-12n，
则12Tn=122+323+524+⋯+2n-12n+1，
两式作差得，12Tn=121+121+122+⋯+12n-1-2n-12n+1
=12+12-12n1-12-2n-12n+1=32-2n+32n+1，
则Tn=3-2n+32n，
令cn=2n+32n，则cn+1cn=2n+52n+1⋅2n2n+3=12⋅2n+52n+30，都有bfx≤exx成立，求实数b的取值范围．
解：（1）对fx=alnx-x+1求导得，f'x=ax-1=a-xx,x>0，
因为fx有极值点，所以f'x=a-xx在0,+∞上有变号零点，
所以a>0，即实数a的取值范围为0,+∞；
（2）若a>0，令f'x=a-xx>0⇒00，
令h'a=lna>0,a>0⇒a>1,h'a=lna0⇒00，
又因为∀x>0，都有bfx≤exx，所以当b≥0时显然满足题意；
而当b0，都有bfx≤exx等价于∀x>0，都有b·xfxex≤1（*），
要求b·xfxex,b0的最大值，只需求xfxex,x>0的最小值即可，
令gx=xfxex=xlnx-x2+xex,x>0，
求导得g'x=exlnx+1-2x+1-xlnx+x2-xe2x=x-1x-2-lnxex,x>0，
令ux=x-2-lnx,vx=x-1,x>0，
求导得u'x=1-1x=x-1x,x>0，
u'x=x-1x>0,x>0⇒x>1,u'x=x-1x0⇒0