广州市广外2023-2024 学年下学期七年级数学期中考试（含答案）

这是一份广州市广外2023-2024 学年下学期七年级数学期中考试（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
023－2024 学年度第二学期期中质量检测七年级数学试题卷
本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
π
3
2
1
6

3
7
2
1
. 在以下实数
，
，1.414，
，
中无理数有（
C. 2 个
）
A. 4 个
B. 3 个
D. 1 个
2
. 下列各组数中互为相反数的是（
）
2
C. 2 与 2
D.
与 2
A. -2 与  2

2
8

2
B. -2 与
3
3
. 在实数范围内，下列判断正确的是（
）
m  n

A. 若
，则 m=n
B. 若 a2 b2 ，则 a＞b
C. 若 a2  ( b)2 ，则 a=b
. 如图所示，图中共有内错角（
D. 若 3 a  b ，则 a=b
3
4
）．
A. 2 组
B. 3 组
C. 4 组
D. 5 组
5
. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2 等于(
)
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
(3, 5), (3, 5)
6
. 如图图中 A，B 两点的坐标分别为
，则 C 的坐标为（
）
(1, 7)
(1, 2)
(3, 7)
(3, 7)
D.
A.
B.
C.
第 1页/共 5页

7
. 下列命题：①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两
a  b ，b P c
a P c

b  c
边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若
，则
；⑤若 a b，
，则
）
a  c ．⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．是真命题的个数是（
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
l ∥l
1
8
. 如图，直线
，则下列式子成立的是（
）
2
A. ∠1+∠2+∠3＝180°
B. ∠1﹣∠2+∠3＝180°
C. ∠2+∠3﹣∠1＝180°
D. ∠1+∠2﹣∠3＝180°
. 点 A 、 B 在坐标系中的坐标分别为 
A 1,3
、
B2, 4
，将线段 AB 平移得到线段 CD ，点 A 的对应
9
点C 坐标是(2,-1)
时，点 B 的对应点 的坐标是（
D
）
1,5

4, 5
 
1,0
5, 6
D.
A.
B.
C.
1
0. 如图，点 E 在CA延长线上，DE 、 AB 交于 F ，且BDE  AEF ，B  C ，Ð EFA 比 FDC
的余角小10， P 为线段
DC 上一动点，Q 为 PC
上一点，且满足
FQP  QFP FM EFP
， 为
的平
AB / /CD
FQ
AFP
B E 140
；③ ；④
QFM
分线．则下列结论：①
；②
平分
的角度为定值．其
中正确结论的个数有（
）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
二、填空题：（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11. 已知 2x﹣3y＝1，用含 x 的代数式表示 y，则 y＝____．
P(3m 1, 2m 5)
m 
________．
1
2. 点
到两坐标轴的距离相等，则
Pm4,m1一定不在第______象限．
m
1
3. 如果 是任意实数，那么点
第 2页/共 5页

1
1
4. 已知 y  x  2  2 x  3 ，则 3 2x  y ______．
5. 如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C 处，折痕为 EF，若∠ABE＝40°，
那么∠EFC'的度数为 _____．
1
6. 由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）：
第 1 行
1
第 2 行
2 3
第 3 行 4 5 6 7
…
…
若规定坐标m,n表示第
7, 4
m
n
行从左向右第 个数，则
所表示的数是______；数 215 的坐标是______．
三、解答题：（共 72 分）
7. （1）计算：  3

2

3  2  

1
3
27
4 ；
2）若 4x 1 9  0 ，求 的值．

2
x
（
1
8. 解方程组：

x 5y  3
（
1） 
；
4x  y  3


3
（
2）  
5 y 1  3 x 5
．



1
2
9. 若 A  a2b3 a  3b 是 a 3b 的算术平方根，B  2ab11a2 为1 a2 的立方根，试求 A  B 的平方根．
0. 直线 AB 与CD相交于点O，OE 平分 BOD，AOC  70，OF  CD 于O．
第 3页/共 5页

EOF
（1）图中与
互余的角是________．
EOF 的度数．
（2）求
2
1. 如图，CE  AB 于 E ，DF  AB 于 F ，AC∥ED ，CE 是 ACB 的平分线．求证：DF 平分 EDB ．

      


A 3,5 B 5,1 C 1,4
ABC
的边 BC  5 ，
P m,n
ABC
是
2
2. 在平面直角坐标系中有三个点
、
、
，
△
A B C
P m5,n2
1
的边 AB 上一点， ABC
经平移后得到
，点 P 的对应点为
．
1
1
1
（
1）画出平移后的△
A B C
；
1
1
1
A
1
B
1
、C1 的坐标；
（2）写出点
、
（3）求点 A 到
BC
的距离．

x  2y  2k 1
x 3y  2k
x
y

k
有相同的解，求 的值．
2
3. （1）已知关于 ， 的二元一次方程组
与方程
2x  y  k  2


5x 3y  23
x
y

a
的解为正整数，求整数 的值．
（
2）关于 ， 的二元一次方程组
x  y  a

2
4. 如图 1，已知 a∥b，点 A、B 在直线 a 上，点 C、D 在直线 b 上，且 AD⊥BC 于 E．
第 4页/共 5页

（
（
（
1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
2）如图 2，BF 平分∠ABC 交 AD 于点 F，DG 平分∠ADC 交 BC 于点 G，求∠AFB+∠CGD 的度数；
3）如图 3，P 为线段 AB 上一点，I 为线段 BC 上一点，连接 PI，N 为∠IPB 的角平分线上一点，且
1
∠
NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP 之间的数量关系是______．
2






b
a  2  b  4  c 52  0
A a,0 B 2,b C c,0
a
c
， ， ， 满足
2
5. 如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
．
a 
c 
______．
______，b ______，

（1）
y
x
（
2）如图 1，若点 D 为 轴负半轴上的一个动点，连接 BD交 轴于点 E ，是否存在点 D ，使得V ADE 的
面积等于BCE
的面积？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3）如图 2，若将线段 AB 向上平移 2 个单位长度，点G 为 轴上一点，点
F 5,n为第一象限内的一动
x
BF ，CF ，CA AG ，若ABG
，
AB BF ，CF AC
四条线段围成的图形的
点，连接
的面积等于由
，
，
n
面积，求点G 的横坐标的值（用含 的式子表示）．
第 5页/共 5页

2
023－2024 学年度第二学期期中质量检测七年级数学试题卷
本试卷共 4 页，25 小题，满分 120 分．考试用时 120 分钟．
一、选择题：（共 10 小题，每题 3 分，共 30 分）
π
3
2
1
6

3
7
2
1
. 在以下实数
，
，1.414，
，
中无理数有（
C. 2 个
）
A. 4 个
B. 3 个
D. 1 个
【
【
【
答案】B
解析】
分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如 2π，

等；②开方开不尽的数，如 2 ， 3 5 等；③具有特殊结构的数，如 0.1010010001…（两个 1 之间依次增
3
加 1 个 0），0.2121121112…（两个 2 之间依次增加 1 个 1）．
1
【
详解】解：1.414， 是有理数；
6
π
3
2

， 3 7 是无理数．
，
2
故选 B．
. 下列各组数中互为相反数的是（
2
）
2
C. 2 与 2
D.
与 2
A. -2 与  2

2
8

2
B. -2 与
3
【
【
【
答案】A
解析】
分析】先根据二次根式的性质和立方根、绝对值求出每个式子的值，再根据相反数的定义判断即可．
详解】解：A. -2 与  2

2
 2，互为相反数，符合题意；
【
B. -2 与 3 8  2 ，不互为相反数，不符合题意；
2
C. 2 与 2  2 ，不互为相反数，不符合题意；
D.  2  2 与 2 ，不互为相反数，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了立方根、二次根式的性质、相反数等知识点，能求出每个式子的值是解此题的关键．
3
. 在实数范围内，下列判断正确的是（
）
m  n

A. 若
，则 m=n
B. 若 a2 b2 ，则 a＞b
第 1页/共 22页

C. 若 a2  ( b)2 ，则 a=b
D. 若 3 a  b ，则 a=b
3
【
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据实数的基本性质，逐个分析即可．
详解】A、根据绝对值的性质可知：两个数的绝对值相等，则这两个数相等或互为相反数，故选项错误；
B、平方大的，即这个数的绝对值大，不一定这个数大，如两个负数，故说法错误；
C、两个数可能互为相反数，如 a=-3，b=3，故选项错误；
D、根据立方根的定义，显然这两个数相等，故选项正确．
故选：D．
【点睛】考本题考查了实数的性质，理解算术平方根和立方根性质是关键．
4
. 如图所示，图中共有内错角（ ）．
A. 2 组
B. 3 组
C. 4 组
D. 5 组
【
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据内错角的定义即可求解．
详解】解：根据内错角的定义可知：
直线 AB ，CD 被 EF
所截，
AGF 和GFD
BGF 和 GFC
是一组内错角， 是一组内错角；
射线GH ，直线CD 被 EF
因此内错角有 3 组．
故选 B．
所截，
FGH 和 GFC
是一组内错角；
【点睛】本题考查内错角的识别，解题的关键是掌握内错角的定义．两条直线被第三条直线所截，两个角
分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．
5
. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=35°，则∠2 等于(
)
第 2页/共 22页

A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 65°
【
【
【
答案】C
解析】
详解】解：如图所示：
∵∠1+∠3=90°，∠1=35°，
∴∠3=90°-∠1=90°-35°=55°，
又∵直尺的两边平行，
∠2=∠3=55°．
故选 C．
∴
(3, 5), (3, 5)
6
. 如图图中 A，B 两点的坐标分别为
，则 C 的坐标为（
）
(1, 7)
(1, 2)
(3, 7)
(3, 7)
D.
A.
B.
C.
【
【
【
答案】A
解析】
分析】根据已知两点坐标确定平面直角坐标系的原点位置，然后就可以写出 C 点的坐标．
(3, 5), (3, 5)
【详解】解：由 A，B 两点的坐标分别为
，
可知 y 轴所在位置即为线段 AB 的垂直平分线，原点位于 y 轴上且在 AB 下方 5 个小格的位置，
(1, 7)
∴
点 C 的坐标为
故选 A.
点睛】此题考查了坐标确定位置，解题的关键找到平面直角坐标系的原点和坐标轴的位置．
. 下列命题：①内错角相等；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③一个角的两
.
【
7
a  b ，b P c
a P c

b  c
边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等；④若
，则
；⑤若 a b，
，则
）
a  c ．⑥直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．是真命题的个数是（
第 3页/共 22页

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【
【
【
答案】B
解析】
分析】本题考查了真假命题以及平行线的性质与判定，垂直的含义，点到直线的距离定义，熟练掌握已
经学过的定理，性质和概念是解题的关键．分别利用平行线的判定与性质和点到直线的距离定义以及平行
线公理分别分析得出答案．
【
②
③
详解】解：①两直线平行，内错角相等；原来命题为假命题，
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；真命题；
一个角的两边分别平行另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；原来命题为假命题，
a  b ，b P c
a P c
；真命题
④若
，则
同一平面内，若 a  b，b  c ，则
⑤
a∥c
．原来命题为假命题，
⑥直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．原来命题为假命题，
∴真命题有 2 个；
故选 B
l ∥l
1
8
. 如图，直线
，则下列式子成立的是（
）
2
A. ∠1+∠2+∠3＝180°
B. ∠1﹣∠2+∠3＝180°
C. ∠2+∠3﹣∠1＝180°
D. ∠1+∠2﹣∠3＝180°
【答案】D
【解析】
l ∥l ∥l
2
【分析】过点 A 作
，根据平行线性质即可解答．
3
1
【详解】
第 4页/共 22页

l ∥l ∥l
2
过点 A 作
3
1

1 34
则
∴
∵
∴
4  1 3
2  4  180
2  1 3 180
故本题选 D．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．
. 点 A 、 B 在坐标系中的坐标分别为 
A 1,3
、
B2, 4
，将线段 AB 平移得到线段 CD ，点 A 的对应
9
点C 坐标是(2,-1)
时，点 B 的对应点 的坐标是（
D
）
1,5

4, 5
 
1,0
5, 6
D.
A.
B.
C.
【
【
【
答案】C
解析】
分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移
加，下移减．根据点 A、C 的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．

 
A 1,3
C
【
∴
∴
详解】解：∵点
的对应点
的坐标为(2,-1)
，
平移规律为向右平移 3 个单位，向下平移 4 个单位，



 
1,0
的对应点 D 的坐标为
B 2,4
．
故选：C．
1
0. 如图，点 E 在CA延长线上，DE 、 AB 交于 F ，且BDE  AEF ，B  C ，Ð EFA 比 FDC
的余角小10， P 为线段
DC 上一动点，Q 为 PC
上一点，且满足
FQP  QFP FM EFP
， 为
的平
AB / /CD
FQ
AFP
B E 140
；③ ；④
QFM
分线．则下列结论：①
；②
平分
的角度为定值．其
中正确结论的个数有（
）
第 5页/共 22页

A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
【
【
【
答案】D
解析】
分析】①由 BDE  AEF 可得 AE∥BD，进而得到 B  EAF ，结合 B  C 即可得到结论；②
AFQ  FQP
，结合
FQP  QFP
AB / /CD
由
得出
即可得解；③由平行线的性质和内角和定理判
断即可；④根据角平分线的性质求解即可；
【
∴
∴
∵
∴
∴
∵
详解】∵ BDE  AEF ，
AE∥BD，
B  EAF ，
B  C ，
EAF  C ，
AB / /CD
，结论①正确；
，
AB / /CD



AFQ  FQP
∴
∵
∴
∴
，
FQP  QFP
，
AFQ  QFP
，
FQ
AFP
，结论②正确；
平分
AB / /CD
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
，
EFA  FDC ，
Ð EFA比 FDC 的余角小10 ，

EFA  40，
B  EAF ， EFA E  EAF 180 ，
B  E 180 EFA 140，结论③正确；
FM 为EFP 的平分线，
第 6页/共 22页

1
1
1




MFP  EFP  EFA AFP
∴
∵
∴
∴
，
2
2
2
AFQ  QFP
，
1
QFP  AFP
，
2
1
QFM  MFP  QFP  EFA  20
，结论④正确；
2
故正确的结论是①②③④；
故答案选 D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、余角和补角的性质，准确分析计算是解题的关键．
二、填空题：（共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11. 已知 2x﹣3y＝1，用含 x 的代数式表示 y，则 y＝____．
2
3
1
3
x 
【答案】
【
【
解析】
分析】先移项，再化 y 的系数为 1 即可解题．
【详解】解：2x 3y 1，

3y  2x 1
2
1
3
y  x 
解得：
3
2
1
x 
故答案为：
．
3
3
【点睛】本题考查代数式，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
P(3m 1, 2m 5)
m 
________．
1
2. 点
到两坐标轴的距离相等，则
4
【
答案】 6或
5
【解析】
【分析】根据到两坐标轴的距离相等，可知横纵坐标的绝对值相等，列方程即可．
P(3m 1, 2m 5)
到两坐标轴的距离相等，
【详解】解：∵点
3m1 = 2m5
∴
，
3
m1=2m5或3m 1=  (2m 5)
，
4
解得，
m= 6或 m=
，
5
第 7页/共 22页

4
5
故答案为： 6或
．
【点睛】本题考查了点到坐标轴的距离，解题关键是明确到坐标轴的距离是坐标的绝对值．
Pm4,m1一定不在第______象限．
m
1
3. 如果 是任意实数，那么点
【
【
【
答案】四
解析】
分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象
限的符号特点分别是：第一象限,；第二象限,；第三象限,；第四象限,
．
m 1 m  4  m 1 m  4  5


【详解】解：∵
，
∴点 P 的纵坐标大于横坐标，
∴点 P 一定不在第四象限．
故答案为：四．
1
4. 已知 y  x  2  2 x  3 ，则 3 2x  y ______．
【
【
【
答案】1
解析】
分析】本题考查的知识点为：算术平方根的被开方数是非负数，解题的关键是根据此性质得到 x 值．据
被开方数大于等于 0 列式求出 x，再求出 y，然后相加计算即可得解．
【
详解】解：∵ y  x  2  2 x  3

x  2  0

∴
，
2  x  0

解得 x  2 ，
∴
∴
y= 3，
2x  y 
3
22 3 1 ．
3
故答案为：1．
5. 如图，将长方形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在点 C 处，折痕为 EF，若∠ABE＝40°，
那么∠EFC'的度数为 _____．
1
第 8页/共 22页

【
【
【
答案】115°##115 度
解析】
分析】由∠ABE＝40°，可得∠AEB＝50°，由折叠的性质可得∠BEF＝∠DEF，则可求出∠DEF＝65°，根
据 AD∥BC，有∠EFC+∠DEF＝180°，即∠EFC 可求，由折叠的性质即可求解．
【详解】Rt△ABE 中，∠ABE＝40°，
∴∠AEB＝50°，
由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF，
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝130°，
∴
∵
∴
∴
∠DEF＝65°，
AD∥BC，
∠EFC+∠DEF＝180°，
∠EFC＝180°﹣∠DEF＝115°，
由折叠的性质得，∠EFC'＝∠EFC＝115°，
故答案为：115°．
【
点睛】本题考查了折叠的性质、平行的性质、矩形的性质以及三角形内角和定理等知识，掌握折叠的性
质是解答本题的基础．
6. 由一些正整数组成的数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）：
1
第 1 行
1
第 2 行
2 3
第 3 行 4 5 6 7
…
…
若规定坐标m,n表示第
7, 4
m
n
行从左向右第 个数，则
所表示的数是______；数 215 的坐标是______．
8, 88
②.

【
答案】
解析】
①. 67
【
第 9页/共 22页

【
分析】此题考查了数字变化规律，利用每行中数字的个数以及每行第一个数字变化规律得出是解题关
键．根据前 3 行可得第 n 行的第一个数为： 2n1 ，共有 2n1 个数，据此求解即可．
【
详解】解：∵第 1 行的第一个数为： 20 ，共有 20 个数，
第 2 行的第一个数为： 21 ，共有 21个数，
第 3 行的第一个数为： 22 ，共有 22 个数，
…
∴
第 n 行的第一个数为： 2n1 ，共有 2n1 个数，
 64 ， 643  67，
所表示的数是 67．
∵
2
6
∴7,4
128， 28  256，
∵
2
7
∴
215 在第 8 行，
151281 88，
2
∵
∴数 215 的坐标是8,88
．
故答案为：67，8,88．
三、解答题：（共 72 分）
7. （1）计算：  3

2

3  2  

1
3
27
4 ；

2
 
x
（
【
2）若 4x 1 9 0 ，求 的值．
1
5
x 
x  
答案】（1） 3 ；（2）
或
．
2
2
【解析】
【
分析】本题考查了实数的混合运算，利用平方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的意义是解答
本题的关键．
（1）先算开方和绝对值，再算加减；
（2）先把两边都除以 4，再利用平方根的意义求解．
【
（

详解】解：（1）原式  3 3  23 2  3
2） 4x 12

9
9
  2
x 1

4
第 10页/共 22页

3


x 1 
2
1
5
2
x 
x  
或
．
2
1
8. 解方程组：

x 5y  3
（
1） 
；
4x  y  3


3
（
【
（
2）  
5 y 1  3 x 5
．




18
x 

答案】（1） 

1
9
y
 15


19

x  5
2） 
y  7

【
解析】
分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
x  5y 3，
【
（
1）法一 ：将 ①4  ② ，可得

19y  15
，解出 后，代入①即可解得 ；法二：①变形可得
y
x
y
代入②，解出 后，代入①即可解得 ；
x
（2）先对①式、②式，通过去括号，移项进行整理，把未知数放在等号的左边，常数项放在等号的右边，
4
y  28
y
，解出 后，代入③即可解得 ．
x
然后再用加减消元法，得到
【小问 1 详解】

x 5y  3①

4x  y  3②

法一：解： ①4得：
4
x 20y  12③
②
+③ 得： 19y  15
1
1
5
9
y 
解得：
y 
1
5
9
15
x 5  3
将
代入①中得：
1
19
1
1
8
9
x 
解得：
x  5y 3③
法二：解：①变形得：
第 11页/共 22页

4

5y 3
   
y
3
将③代入②中得：
1
1
5
9
y 
解得：
（后同法一）

18
x 


1
9
原方程组的解为：

y
 15


19
【小问 2 详解】

3
解：  
5 y 1  3 x  5 ②





3x  y  8③
方程组可整理为： 
3x 5y  20④

4
y  28
③
④得：
y  7
解得：
y  7 代入③中得：3x 7  8
将
解得： x  5

x  5
原方程组的解为：

y  7

1
9. 若 A  a2b3 a  3b 是 a 3b 的算术平方根，B  2ab11a2 为1 a2 的立方根，试求 A B 的平方根．
【
【
【
答案】 A B 的平方根是 1．
解析】
分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，解二元一次方程组．掌握平方根和立方根的定义
a
b
是解题关键．先根据算术平方根和立方根的定义列出方程组，解出 、 ，再代入 A 、B 求出结果，进而得
到 A+B 的平方根．

a  2b  3  2
【
详解】解：由题意得： 
2a b 1 3


a  3


b  2



A  9  3， B  8  2
3
，
A B  23 1
第 12页/共 22页


A B 的平方根是 1．
2
0. 直线 AB 与CD相交于点O，OE 平分 BOD，AOC  70，OF  CD 于O．

EOF
（
（
【
（
【
1）图中与
互余的角是________．
EOF
的度数．

2）求
答案】（1）∠DOE 和∠BOE；
2）55
解析】
【分析】（1）根据余角定义：如果两个角的和等于90
（直角），就说这两个角互为余角可得答案；
（
【
∵
∴
∵
2）首先计算出∠BOE 的度数，再计算出∠BOF 的度数，再求和即可．
小问 1 详解】
OE 平分∠BOD，
∠BOE=∠DOE，
OF⊥CD，
∴∠DOF=9
0
，
∴∠EOF+∠DOE=90
，∠EOF+
∠BOE=90
，
∴
图中与 EOF 互余的角是∠DOE 和∠BOE；
故答案为：∠DOE 和∠BOE；
【
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
【
小问 2 详解】
直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC=70，
∠BOD= 70，
OE 平分∠BOD，
∠BOE=35 ，
OF⊥CD，
∠BOF=180  70  90  20，
∠EOF=∠BOE+∠BOF=55．
点睛】此题主要考查了角的计算，以及余角，关键是掌握余角定义，理清图形中角的关系．
第 13页/共 22页

2
1. 如图，CE  AB 于 E ，DF  AB 于 F ，AC∥ED ，CE 是 ACB 的平分线．求证：DF 平分 EDB ．
【
【
【
答案】证明见解析．
解析】
分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义，先证明 EC ∥DF ，可得 CED  EDF ，

【



ECB  FDB
ACE  DEC
再证明 ，再结合角平分线的定义可得结论．
，
详解】证明：CE  AB， DF  AB ，
CEB  DFB  90，
EC∥DF
，
CED  EDF ， ECB  FDB ，
又AC∥ED
，

ACE  DEC
，
又CE 是 ACB
的平分线，





ACE  ECB
，
，
DEC  ECB
CED  EDF ， ECB  FDB
，
EDF  FDB，
EDB
DF
平分
；

      


A 3,5 B 5,1 C 1,4
ABC
的边 BC  5 ，
P m,n
ABC
2
2. 在平面直角坐标系中有三个点
、
、
，
是
△
A B C
P m5,n2
，点 P 的对应点为
的边 AB 上一点， ABC
经平移后得到
．
1
1
1
1
第 14页/共 22页

（
1）画出平移后的△
；
A B C
1
1
1
A
B
1
、C1 的坐标；
（
（
【
2）写出点
、
1
3）求点 A 到
BC
的距离．
（2）


  


A 2,3 ,B 0, 1 ,C 4,2
答案】（1）见详解
1
1
1
BC
2
（
【
【
3）点 A 到
的距离为
解析】
分析】本题主要考查了坐标与图形、平移作图、勾股定理以及勾股定理的逆定理，熟练掌握平移的性质
是解题关键．


   
P m,n
P m 5,n 2
ABC 经向下平移 2 个单位长度，向右平移 5 个单
（1）由点
的对应点为
，易知
1
位长度得到△A B C
，进而确定点
、
、C1 的位置，然后顺次连接即可；
A
1
B
1
1
1
1
（
2）结合图像可确定答案；
3）过点 A 作 AH  BC 于点 H ，结合勾股定理和勾股定理的逆定理，证明
ABC
（
为直角三角形，
BAC  90，然后利用面积法求解即可．
小问 1 详解】
解：如下图，△A B C
【
即为所求；
1
1
1
【小问 2 详解】
第 15页/共 22页



  


A 2,3 ,B 0, 1 ,C 4,2
由图像可知，
；
1
1
1
【小问 3 详解】
如图，过点 A 作 AH  BC 于点 H ，
结合图像，可得 AC  22 12  5 ， AB  22  42  2 5 ，
又∵ BC  5 ，
AC2  AB2  25  BC2 ，
∴
∴
∴
ABC
为直角三角形，
BAC  90，
1
2
1
S
△

AB AC  BC  AH
，
ABC
2
1
1

2 5  5  5AH
即有
，解得 AH  2 ，
2
2
BC
∴点 A 到
的距离为 2．

x  2y  2k 1
x 3y  2k
有相同的解，求 的值．
x
y

k
2
3. （1）已知关于 ， 的二元一次方程组
与方程
2x  y  k  2


5x 3y  23
x
y

a
的解为正整数，求整数 的值．
（
2）关于 ， 的二元一次方程组
x  y  a

【
【
【
答案】（1）
k  1；（2） a  5
或
7
解析】
分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键．
x 3y  k 3
，从而得出 k 的方程求解；
（
1） ①  ② 得
2）由5x  3y  23得 y 
2
35x
x
y
，结合 ， 取正整数求出 ， 的值，进而可求出整数 的值．
x
y
a
（
3

x  2y  2k 1①
【
详解】解：（1） 
2x  y  k  2②

第 16页/共 22页


x  3y  k  3
①


 ② 得：
x 3y  k 3
x 3y  2k


k 3  2k
k  1
（2）
5x  3y  23
2
35x
3

y 

x
y
，
取正整数


x  4， y 1或 x 1， y  6
a  x  y  5
或 7
2
4. 如图 1，已知 a∥b，点 A、B 在直线 a 上，点 C、D 在直线 b 上，且 AD⊥BC 于 E．
（
（
（
1）求证：∠ABC+∠ADC=90°；
2）如图 2，BF 平分∠ABC 交 AD 于点 F，DG 平分∠ADC 交 BC 于点 G，求∠AFB+∠CGD 的度数；
3）如图 3，P 为线段 AB 上一点，I 为线段 BC 上一点，连接 PI，N 为∠IPB 的角平分线上一点，且
1
∠
NCD= ∠BCN，则∠CIP、∠IPN、∠CNP 之间的数量关系是______．
2
【
【
【
答案】（1）见解析；（2）225°；（3）3∠CNP=∠CIP+∠IPN 或 3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
解析】
分析】(1)如图 1 中，过 E 作 EF∥a，利用平行线的性质即可解决问题；
(2)如图 2 中，作 FM∥a，GN∥b，设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，可得 x+y=45°，证明∠AFB=180°-
2y+x），∠CGD=180°-（2x+y），推出∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y）即可解决问题；
(3)分两种情形：①当点 N 在∠DCB 内部时，②当点 N′在直线 CD 的下方时，分别画出图形求解即可．
详解】(1)证明：如图 1 中，过 E 作 EF∥a．
（
【
第 17页/共 22页

∵
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
a∥b，
a∥b∥EF，
AD⊥BC，
∠BED=90°，
EF∥a，
∠ABE=∠BEF，
EF∥b，
∠ADC=∠DEF，
∠ABC+∠ADC=∠BED=90°．
(2)解：如图 2 中，作 FM∥a，GN∥b，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ADG=∠CDG=y，
由（1）知：2x+2y=90°，x+y=45°，
∵
∴
∴
FM∥a∥b，
∠BFD=2y+x，
∠AFB=180°-（2y+x），
同理：∠CGD=180°-（2x+y），
∠AFB+∠CGD=360°-（3x+3y），
360°-3×45°=225°．
(3)解：如图，设 PN 交 CD 于 E．
∴
=
第 18页/共 22页

当点 N 在∠DCB 内部时，∵∠CIP=∠PBC+∠IPB，
∴
∵
∴
∵
∴
∠CIP+∠IPN=∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
PN 平分∠EPB，
∠EPB=∠EPI，
AB∥CD，
∠NPE=∠CEN，∠ABC=∠BCE，
1
∵
∠NCE= ∠BCN，
2
∴∠CIP+∠IPN=3∠PEC+3∠NCE=3（∠NCE+∠NEC）=3∠CNP．
当点 N′在直线 CD 的下方时，同理可知：∠CIP+∠CNP=3∠IPN，
综上所述：3∠CNP=∠CIP+∠IPN 或 3∠IPN=∠CIP+∠CNP．
【点睛】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题
型．






b
a  2  b  4  c 52  0
A a,0 B 2,b C c,0
a
c
， ， ， 满足
2
5. 如图，在平面直角坐标系中，点
，
，
．
a 
c 
______．
______，b ______，

（1）
y
x
（
2）如图 1，若点 D 为 轴负半轴上的一个动点，连接 BD交 轴于点 E ，是否存在点 D ，使得V ADE 的
面积等于BCE
的面积？若存在，请求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；
（
3）如图 2，若将线段 AB 向上平移 2 个单位长度，点G 为 轴上一点，点
F 5,n为第一象限内的一动
x
BF ，CF ，CA AG ，若ABG
，
AB BF ，CF AC
四条线段围成的图形的
点，连接
的面积等于由
，
，
n
面积，求点G 的横坐标的值（用含 的式子表示）．
第 19页/共 22页

【
答案】（1） 2， 4，5
D 0,5
（
2） 

3
3
x  5 n x  13 n
或
（3）
4
4
【解析】
【分析】（1）利用绝对值的非负性、平方的非负性及二次根式的非负性即可求解．
（
2）连接 AB 交 y 轴于点 M，作 BH  AC 于点 H，求出
S
14，由V ADE 的面积等于BCE
的面

ABC
S
 SABC
14
S
 8
M 0, 2
S
 SAMD  SBMD
即可求出点 D 的坐标；
积得
，由
求出
，设点
，再根据

ABD
ABH
ABD
N(k,0)
，用割补法求出
S
18，根据
ABC
BC
（
3）延长 BA 交 x 轴于点 N，连接

SBNC  SANC  SABC
求出 k

4，分别表示出ABG
ABFC
的面积和四边形 的面积，然后根据二者面积相
等列式求解即可．
【小问 1 详解】

2

b  4  c 5


2

0 ，
∵
a
a  2  0,b  4  0,c 5  0
∴
∴
，
a  2,b  4,c  5
故答案为： 2， 4， ；
小问 2 详解】
连接 AB 交 y 轴于点 M，作 BH  AC 于点 H，
5
【
a  2,b  4,c  5 ，
∵
∴
AC  7, BH  4
，
1
2
S

AC  BH 14
∴
．

ABC
∵V ADE 的面积等于BCE
的面积，
S
 SABC 14
ABD
∴
∵
∴
∴
设
．



B 2,4
，


H 2,0
，
1
S

AH  BH  8

ABH
2


，
M 0,m
第 20页/共 22页

1
2
1

2m  m  4 2  8


∴
∴
∴
，
2
m  2 ，


M 0,2
．
S
ABD
 SAMD  SBMD
∵
，

1
2
1
DM 2  DM 2 14
∴
∴
∴
，
2
DM  7
，
D(0, 5)
；
【小问 3 详解】
N(k,0)
延长 BA 交 x 轴于点 N，连接
BC
，设点
，
A(2, 2)
B2, 6
由平移的性质得点
，点
，


C 5,0
∵
∴
∵
点
1
1
1
S
 76  72  44  63 18
，

ABC
2
2
2
S
BNC
 SANC  SABC
，

6
5 k 2 5 k
 
  

 18 ，
∴
2
2
解得 k  4，
N(4, 0)
∴点
，
1
2
3


S

y  x  x  n
∵
，

BFC
F
F
B
2
3
 SABC  SBFC 18 n
ABFC
∴四边形
的面积
，
2
NG  t
设
，
SABG  SBNG  SANG  2t
，
第 21页/共 22页

3
2
t 18 n
∴
，
2
3
t  9 
解得
，
4
3
设点 G 的横坐标为 x，则|| x  4 | 9  n
，
4
3
3
4
x  5 n x  13 n
解得
或
．
4
【点睛】本题考查了绝对值的非负性、平方的非负性、算术平方根的非负性、坐标与图形，坐标与图形变
化－平移，以及一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
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