山东省枣庄市薛城区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份山东省枣庄市薛城区2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】、∵，∴，故该选项不符合题意；
、∵，∴，故该选项不符合题意；
、∵，∴，故该选项符合题意；
、∵，∴，故该选项不符合题意；
故选：C．
2. 未来将是一个可以预见的时代．一般指人工智能，它是一门研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的新的技术科学．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
3. 如图，某居民小区在三栋住宅楼A，B，C之间修建了供居民散步的三条绿道，并在绿道内部修建了一个凉亭P．若点P到点A，B，C的距离相等，则点P是的（ ）
A. 三条角平分线的交点B. 三条高的交点
C. 三边垂直平分线的交点D. 三条中线的交点
【答案】C
【解析】利用线段垂直平分线的性质得：点P是的三边垂直平分线的交点．
故选：C．
4. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ）
A. 2B. C. 3D. 5
【答案】A
【解析】∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
5. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 有一个角是的三角形是等边三角形
B. 若，则
C. 在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D. 用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
【答案】C
【解析】A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
D、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
6. 若，则a的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据绝对值的性质：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
已知，即，
所以，
解得：，
在数轴上表示时，应在数轴上1这个点处用实心圆点（表示包含1这个值），然后向右画一条线，
所以选项B表示是正确的．
故选：B．
7. 如图，将绕点旋转到的位置，点在边上，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，∴，
故选：D．
8. 某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则
故选：B．
9. 定义新运算“⊕”如下：当时，⊕；当时，⊕，若
3⊕，则的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】当，即时，
⊕，
，
，
，
；
当，即时，
⊕，
，
，
，
；
综上所述，或，
故选：C．
10. 如图，在中，，将绕点B顺时针旋转得到，延长AC分别交BD，DE于点F，G，连接BG．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①②③D. ①②③④
【答案】C
【解析】∵绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴②正确；
∴，
∵，
∴，
∴；
∴①正确；
连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，∴③正确；
连接，
由旋转可得：，，
∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴④错误；
正确的为：①②③；
故选：C．
二、填空题
11. 不等式的最小整数解为_________．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
∴，
∴，
∴最小整数解为3．
故答案为：3．
12. 如图，将沿所在直线向右平移得到，点C为延长线上一点，交于点E，平分，则_________．
【答案】
【解析】是沿射线平移所得，
，，
平分，
，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，是的平分线，于E，，，则的长是_________．
【答案】
【解析】过点D作于点F，
∵是的平分线，，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
14. 如图，已知与关于点成中心对称，且，，，则的长为__________．
【答案】
【解析】∵与关于点成中心对称，
∴，
∴，，，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点则关于x的不等式组的解集为_________．
【答案】
【解析】由，得，
∵直线与直线交于点，
∴，
解得，
∴直线与直线交于点，
又∵，
∴根据图像得：，
故答案：．
16. 定义：在平面直角坐标系中，将点变换为，我们把这种变换称为“变换”．已知点，，经过“变换”的对应点分别是D，E，F．若，则________．
【答案】或
【解析】，经过“变换”的对应点分别是E，F，
，
轴，
，
，
，
解得或，
故答案为：或．
三、解答题
17. 计算
（1）解不等式并把解集在数轴上表示出来：；
（2）解不等式组：，并求该不等式组的非负整数解．
解：（1），
去括号得：，
移项得：，
合并同类项，系数化1得：；
在数轴上表示其解集为：
（2）解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为，
不等式组的非负整数解为0，1．
18. 如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．
（1）若，求的度数；
（2）若的周长为，，求的长．
解：（1）垂直平分，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）的周长为，，
，
，
，，
，
，
，
．
19. 阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数m、n满足，证明：．
证明：因为且m，n均为正，
所以___________，___________．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
（1）请将上面的证明过程填写完整；
（2）尝试证明：若，则．
证明：（1）∵且m，n均为正，
∴，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
∴．（不等式的传递性）
故答案为：，；
（2）∵，
∴，（不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变），
∴，
∴，（不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变），
20. 如图，在中，，将沿射线方向平移得到，点A、B、C的对应点分别是点D、E、F．
（1）若，求的度数．
（2）若，在平移过程中，当时，求的长．
解：（1）∵沿射线方向平移，得到，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴．
（2）∵沿射线方向平移，得到，
∴，
设，则．
∵．
∴．
∵，当点E在点C左侧时，
∴，解得，即的长为6．
当点E在点C右侧时，同理可得，，解得，
综上所述，或12．
21. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，，，的三个顶点的坐标分别为，，，解答下列问题．
（1）已知是由旋转得到的，则旋转中心的坐标是______________，旋转角是___________度；
（2）将向上平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到，请画出；
（3）在轴下方添加一个点，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，则点的坐标为________________（直接写出）．
解：（1）如图，分别连接，并作出的垂直平分线，其交点即为旋转中心，
旋转中心的坐标是，旋转角是，
故答案为：，；
（2）如图，即为所作；
（3）如图，使，，，四个点为顶点的四边形成为一个中心对称图形，
点的坐标为，
故答案为：．
22. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ；
（3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围．
解：（1）若，则名学生的总费用为元，
∵，
∴，
依题意得，，
解得，
答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人；
（2）根据题意可得，（元）
故答案为：；
（3）当时，；
解得；
当时，，
解得；
∴每批组织人数的合理范围为．
23. 如图，已知函数的图象与x轴交于点A，一次函数的图象分别与x轴y轴交于点B，C，且与的图象交于点．
（1）求m，b的值；
（2）若，直接写出x的取值范围；
（3）求的面积．
解：（1）由题意得，点在的图象上，
，
，
，
，在直线上，
，
；
（2），
由图象可知，若，则x的取值范围是；
（3），当时，，
，
，当时，，
，
．
24. 【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形．
（1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数；
【方法应用】
（2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值．
解：（1）①三角形是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
②由①得：，
，
；
（2）如图，延长到点，使．
是等边三角形，
，．
，
，
．
，
，
∴，
，
∵，
，
是等边三角形．
要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，
即当为等边的高线时才会最短，
由题意可知等边的高线最短为，
∴，
的面积最小值是．