2023-2024学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市薛城区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知5<7，则下列结论正确的( )
①5a<7a；
②5+a<7+a；
③5−a<7−a
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
2.下列条件中，a、b、c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( )
A. a2+b2=c2B. ∠A+∠B=∠C
C. a：b：c=1：2：3D. a=3，b=4，c=5
3.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图形“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.如图，△ABC中，AD为中线，AD⊥AC，∠BAD=30°，AB=3，则AC长( )
A. 2.5B. 2C. 1.8D. 1.5
5.小王花整数元网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小王让同学们猜价格.甲说：“至少20元”，乙说“至多18元”，丙说：“至多15元”.小王说：“你们都猜错了.”则这本书架的价格为( )
A. 15元B. 18元C. 19元D. 20元
6.如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E和点C为圆心、大于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D.若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAE的度数为( )
A. 15°
B. 25°
C. 30°
D. 35°
7.如图，在△ABC中，AC=BC，AB=12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当CD=2 3时，AC的长为( )
A. 4 3
B. 10
C. 2 21
D. 21
8.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交点为A(−3,0)，与y轴交点为B，且与正比例函数y=43x的图象交于点C(m,4).观察函数图象，关于x的不等式43xA. x<4
B. x>4
C. x<3
D. x>3
9.如图，△ABC两个外角的平分线BD与CE相交于点P，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，且BD/​/AC，小明同学得出了下列结论：①PM=PN；②点P在∠CAB的平分线上；③∠CPB=90°−∠A；④AB=CB.其中错误的个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
10.现定义一种新的运算：a*b=a2−2b，例如：3*4=32−2×4=1，则不等式(−2)*x≥0的解集为______．
11.用反证法证明：“在△ABC中，若AB=AC，则∠C<90°”，则应先假设______．
12.如图，三角形ABC的周长为8cm，D为边AC上一点，将三角形ABC沿着射线BD的方向平移3cm到三角形EFG的位置，则五边形ABCGE的周长为______．
13.某大型超市从生产基地购进一批水果，运输及销售中估计有10%的苹果正常损耗，苹果的进价是每千克2.7元，商家要避免亏本，需把售价至少定为______元/千克．
14.如图，已知∠BAC=60°，AD是角平分线且AD=10，作AD的垂直平分线交AC于点F，作DE⊥AC，则△DEF周长为______．
15.如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，现将一含30°角的三角板(∠DAE=90°,∠E=30°)的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当DE/​/BC时，∠BAE的度数为______．
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.如图，已知△ABC和△AEF中，∠B=∠E，AB=AE，BC=EF，∠EAB=25°，∠F=57°；
(1)请说明∠EAB=∠FAC的理由；
(2)△ABC可以经过图形的变换得到△AEF，请你描述这个变换；
(3)求∠AMB的度数．
四、解答题：本题共7小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
解不等式组1−2x−12>3x−14①2−3x≤4−x②．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
4−2(2x−1)>3x−1…第1步
4−4x+2>3x−1…第2步
−4x−3x>−1−4−2
−7x>−7…第3步
x>1…第4步
任务一：该同学的解答过程第______步出现了错误，错误原因是______；
不等式①的正确解集是______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
18.(本小题7分)
阅读下面材料，并解决相应的问题：
在数学课上，老师给出如下问题，已知线段AB，求作线段AB的垂直平分线.小明的作法如下：
(1)分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点C；
(2)再分别以A，B为圆心，大于12AB长为半径作弧，两弧交于点D；
(3)作直线CD，直线CD即为所求的垂直平分线．
同学们对小明的作法提出质疑，小明给出了这个作法的证明如下：
连接AC，BC，AD，BD．
由作图可知：AC=BC，AD=BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上(依据1：______).
∴直线就是线段的垂直平分线(依据2：______).
(1)请你将小明证明的依据写在横线上；
(2)将小明所作图形放在如图的正方形网格中，点A，B，C，D恰好均在格点上，依次连接A，C，B，D，A各点，得到如图所示的“箭头状”的基本图形，请在网格中添加若干个此基本图形，使其各顶点也均在格点上，且与原图形组成的新图形是中心对称图形．
19.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AB=AC，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E、F．
(1)求证：DE=DF；
(2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数．
20.(本小题8分)
先阅读理解下列例题，再按要求解答下列问题．
例题：解一元二次不等式(3x−6)(2x+4)>0.这类不等式我们可以进行下面的解题思路分析：
解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”有①3x−6>02x+4>0或②3x−6<02x+4<0．
从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式组的解集，即：
解不等式组①得x>2，解不等式组②得x<−2．
所以一元二次不等式(3x−6)(2x+4)>0的解集是x>2或x<−2．
请利用上述解题思路解决下面的问题：
(1)求不等式(2x+4)(3−x)<0的解集；
(2)类比以上思路利用有理数除法法则求不等式3x+94−2x>0的解集．
21.(本小题11分)
如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，△ABC与△DEF的顶点均在格点上，请按要求完成下列各题．
(1)在图中画出对称中心O的位置，并以O为坐标原点，单位长度为1，建立平面直角坐标系．
(2)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1．
(3)在网格中画出格点M，使A1M平分∠B1A1C1，并结合建立的平面直角坐标系，写出M点的坐标．
22.(本小题11分)
污水治理，保护环境，枣庄市污水治理厂决定购买A，B两种型号污水处理设备共12台，已知A，B两种型号的设备，每台的价格，月处理污水量如表：
经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多3万元，购买1台A型设备比购买3台B型设备少3万元．
(1)求a，b的值；
(2)经预算：市污水治理厂购买污水处理设备的资金不超过50万元，若两种设备都要购买，你认为该厂有哪几种购买方案，请写出解答过程；
(3)在(2)问的条件下，若每月要求处理的污水量不低于2260吨，为了节约资金，请你为污水治理厂设计一种最省钱的购买方案．
23.(本小题11分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，DE与BC交于点O，点B的对应点为E，点A的对应点D落在线段AB上，连接BE．
(1)求证：DC平分∠ADE；
(2)试判断BE与AB的位置关系，并说明理由；
(3)若∠BCE=45°，BC= 2，求△BDE的面积．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：①∵5<7，
当a<0时，5a>7a，故该选项不符合题意；
②∵5<7，
∴5+a<7+a，故该选项符合题意；
③∵5<7，
∴5−a<7−a，故该选项符合题意；
故选：C．
根据①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，解答本题的关键是掌握不等式的性质定理，注意不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
B、∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
C、∵a：b：c=1：2：3，12+22≠32，
∴△ABC不是直角三角形，
故符合题意；
D、∵a=3，b=4，c=5，32+42=25=52，
∴△ABC是直角三角形，
故不符合题意；
故选：C．
根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
此题考查了勾股定理逆定理，熟记勾股定理逆定理是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
4.【答案】D
【解析】解：如图，过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，
∵AD⊥BC，
∴∠E=∠CAD=90°，
∵△ABC中，AD为中线，
∴BD=DC，
又∵∠BDE=∠CDA，
∴△BDE≌△CDA(AAS)，
∴BE=AC，
又∵在Rt△BAE中，AB=3，∠BAE=30°，
∴BE=12AB=1.5，
∴AC=1.5，
故选：D．
过点B作BE⊥AD，交AD的延长线于点E，证明△BDE≌△CDA(AAS)，得出BE=AC，然后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，证明△BDE≌△CDA(AAS)是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可得，甲、乙、丙的说法都是错误的，
甲的说法错误，说明这本书的价格少于20元，
乙、丙的说法错误，说明这本书的价格高于18元，
又因为都猜错了，
所以这本书的价格是19元，
故选：C．
根据题目中的说法，可以利用排除法，求得这本书的价格，从而可以解答本题．
本题考查推理与论证，解答本题的关键是明确题意，利用排除法得到书的价格．
6.【答案】A
【解析】解：由题意可知，AP是EC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，DE=CD，
∴△ADE≌△ADC(SAS)，
∴∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED，
∴∠EAC=2∠CAD，
∵∠C=2∠CAD，
∴∠C=∠EAC=∠AED，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠C=∠EAC=∠AED=60°，
在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°−45°−60°=75°，
∴∠BAE=75°−60°=15°．
故选：A．
由题意可知，AP是EC的垂直平分线，证明△ADE≌△ADC(SAS)，进而证明△AEC是等边三角形，求出∠C=∠EAC=∠AED=60°，利用三角形内角和定理即可求解．
本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB=60°，AD=AB=12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA=DB，
∵AC=BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AF=12AB=6，
在Rt△ADF中，DF= AD2−AF2=6 3，
而CD=2 3，
∴CF=DF−CD=4 3，
在Rt△ACF中，AC= AF2+CF2=2 21．
故选：C．
如图，连接DB，延长DC交AB于F，首先利用旋转的性质证明△DAB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质求出DF，接着利用已知条件求出CF，最后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了等边三角形的性质和勾股定理，解题的关键是熟练利用旋转的性质和等边三角形的性质．
8.【答案】C
【解析】解：将y=4代入y=43x得，
43x=4，
解得x=3，
所以点C的坐标为(3,4)．
由函数图象可知，
当x<3时，函数y=43x的图象在函数y=kx+b图象的下方，即43x所以关于x的不等式43x故选：C．
利用数形结合的数学思想即可解决问题．
本题考查一次函数与一元一次不等式，熟知一次函数的图象和性质及数形结合思想的巧妙运用是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：过点P作PG⊥BC于点G，
∵BD平分∠MBD，CE平分∠BCN，PN⊥AC于点N，PM⊥AB于点M，
∴PM=PG，PN=PG，
∴PM=PN，故①正确；
连接AP，
∵PM=PN，
∴点P在∠CAB的平分线上，故②正确；
∵BD/​/AC，
∴∠A=∠MBP，
∵PM⊥AB，
∴∠MBP+∠BPM=90°，
∴∠MPB=90°−∠A，
在Rt△BPM与Rt△BPG中，
MP=GPBP=BP，
∴Rt△BPM≌Rt△BPG(HL)，
∴∠GPB=∠MPB，
∴∠GPB=90°−∠A，由图可知∠BPC≠∠BPG，故③错误；
∵BD是∠MBC的平分线，
∴∠MBP=∠PBC，
∵BD/​/AC，
∴∠A=∠MBP，∠ACB=∠PBC，
∴∠A=∠ACB，
∴AB=CB，故④正确．
故选：A．
过点P作PG⊥BC于点G，由角平分线的性质可得出PM=PG=PN，故①正确；连接AP，由PM=PN可知点P在∠CAB的平分线上，故②正确；由平行线的性质可知∠A=∠MBP，再由∠MBP+∠BPM=90°可知∠MPB=90°−∠A，由HL定理可知Rt△BPM≌Rt△BPG，故∠GPB=∠MPB，所以∠GPB=90°−∠A，由图可知∠BPC≠∠BPG，故③错误；根据BD是∠MBC的平分线可知∠MBP=∠PBC，再由BD/​/AC可知∠A=∠MBP，∠ACB=∠PBC，故可得出∠A=∠ACB，据此得出结论．
本题考查的是角平分线的性质及平行线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
10.【答案】x≤2
【解析】解：∵a*b=a2−2b，例如：3*4=32−2×4=1，
∴不等式(−2)*x≥0可变形为：4−2x≥0，
解得：x≤2．
故答案为：x≤2．
直接根据题意得出不等式，进而计算得出答案．
此题主要考查了解一元一次不等式，正确将原式变形是解题关键．
11.【答案】∠C≥90°
【解析】解：由反证法的定义可知，假设需要否定结论，
所以先假设∠C≥90°
故答案为：∠C≥90°．
根据反证法证明命题的步骤求解即可．
本题考查了反证法的概念，牢记反证法先假设否定结论是解题的关键．
12.【答案】14cm
【解析】解：根据题意得：AE=BF=CG=3cm，EG=AC，
∵三角形ABC的周长为8cm，
∴AB+BC+AC=8cm，
∴AB+BC+EG=8cm，
∴五边形ABCGE的周长=AB+BC+EG+AE+CG=8+3+3=14(cm)．
故答案为：14cm．
根据平移的性质得到AE=BF=CG=3cm，EG=AC，再将五边形ABCGE的五条边相加即可得到周长．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
13.【答案】3
【解析】解：设售价应定为x元/千克，该超市共购进a千克苹果，
根据题意得：90%ax−2.7a≥0，
即90x−2.7≥0，
解得：x≥3，
∴x的最小值为3，
∴商家要避免亏本，需把售价至少定为3元/千克．
故答案为：3．
设售价应定为x元/千克，该超市共购进a千克苹果，利用总利润=销售单价×销售数量−进货单价×进货数量，结合不亏本(即总利润非负)，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
14.【答案】5+5 3
【解析】解：∵AD的垂直平分线交AC于点F，
∴FA=FD，
∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，
∴∠DAE=30°，
∴DE=12AD=5，
∴AE= AD2−DE2= 102−52=5 3，
∴△DEF周长=DE+DF+EF=DE+FA+EF=DE+AE=5+5 3，
故答案为：5+5 3．
根据线段垂直平分线的性质得到FA=FD，根据直角三角形的性质求出DE，根据勾股定理求出AE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
15.【答案】40°或140°
【解析】解：∵AB=AC，∠BAC=40°，
∴∠B=∠C=180°−∠BAC2=70°，
分两种情况：
当DE在点A下方时，设DE交AB于点F，如图：
∵DE/​/BC，
∴∠AFD=∠B=70°，
∵∠AFD是△AEF的一个外角，
∴∠BAE=∠AFD−∠E=70°−30°=40°；
当DE在点A上方时，延长CA交DE于点F，如图：
∵DE/​/BC，
∴∠EFC=∠C=70°，
∵∠EAC是△AEF的一个外角，
∴∠EAC=∠E+∠EFC=70°+30°=100°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=100°+40°=140°；
综上所述，∠BAE的度数为40°或140°，
故答案为：40°或140°．
先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B=∠C=70°，然后分两种情况：当DE在点A下方时；当DE在点A上方时；最后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
16.【答案】解：(1)在△ABC和△AEF中，
AB=AE∠B=∠EBC=EF,
∴△ABC≌△AEF(SAS)，
∴∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，
∴∠BAC−∠PAF=∠EAF−∠PAF，
∴∠EAB=∠FAC；
(2)通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知∠C=∠F=57°，∠EAB=∠FAC=25°，
∴∠AMB=∠C+∠FAC=57°+25°=82°．
【解析】(1)先利用已知条件AB=AE，∠B=∠E，BC=EF，利用SAS可证△ABC≌△AEF，那么就有∠C=∠F，∠BAC=∠EAF，那么∠BAC−∠PAF=∠EAF−∠PAF，即有∠EAB=∠FAC；
(2)通过观察可知△ABC绕点A顺时针旋转25°，可以得到△AEF；
(3)由(1)知∠C=∠F=57°，∠EAB=∠FAC=25°，而∠AMB是△ACM的外角，根据三角形外角的性质可求∠AMB．
本题考查了全等三角形的判定、性质，三角形外角的性质，等式的性质等．
17.【答案】4 不等式的基本性质3应用错误 x<1
【解析】解：任务一：4，不等式的基本性质3应用错误，x<1；
任务二：−3x+x≤4−2，
−2x≤2，
x≥−1，
∴该不等式组的解集为−1≤x<1．
任务一：根据解不等式的基本步骤解答即可；
任务二：先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
本题考查的是解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．
18.【答案】线段的垂直平分线的性质 线段的垂直平分线的判定
【解析】解：(1)连接AC，CB，AD，DB．
由作图可知：AC=BC，AD=BD．
∴点C，点D在线段的垂直平分线上(线段的垂直平分线的性质)．
∴直线就是线段的垂直平分线(线段的垂直平分线的判定)．
故答案为：线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线的判定．
(2)如图所示：
(1)根据线段的垂直平分线的判定和性质判断即可．
(2)作点C，D关于AB的对称点C′，D′，连接AC′，BC′，AD′，BD′即可．
本题考查利用旋转设计图案，线段的垂直平分线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】(1)证明：连接AD，
∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD平分∠BAC，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF；
(2)解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∵∠BDE=55°，
∴∠B=35°，
∴∠C=35°，
∴∠BAC=110°．
【解析】(1)根据∠B=∠C，D是BC的中点，根据角平分线的性质即可得出结论．
(2)根据直角三角形的性质求出∠B=50°，根据等腰三角形的性质即可求解．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质直角三角形的性质等知识点的理解和掌握．
20.【答案】解：(1)(2x+4)(3−x)<0，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得①2x+4>03−x<0或②2x+4<03−x>0，
解不等式①得：x>3，
解不等式②得：x<−2，
∴不等式(2x+4)(3−x)<0的解集x>3或x<−2；
(2)3x+94−2x>0，
由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得①3x+9>04−2x>0或②3x+9<04−2x<0，
解不等式①得：−3解不等式②无解．
∴不等式3x+94−2x>0的解集为−3【解析】(1)由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可；
(2)由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次不等式组的应用，能根据题意得出两个不等式组是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图，连接BF，AD，交于点O，
则点O即为所求．
建立平面直角坐标系如图所示．
(2)如图，△A1B1C1即为所求．
(3)由图可知，A1B1=A1C1，且∠C1A1B1=90°，
∴△A1B1C1为等腰直角三角形，
如图，点M即为所求．
M点的坐标为(3,−2)．
【解析】(1)连接BF，AD，交点即为对称中心O，再建立平面直角坐标系即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
(3)由图可得，△A1B1C1为等腰直角三角形，取格点M，使A1M⊥B1C1即可，进而可得点M的坐标．
本题考查作图−平移变换、中心对称、等腰直角三角形的性质，熟练掌握平移和中心对称的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)根据题意得：a−b=33b−a=3，
解得：a=6b=3．
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(12−x)台，根据题意得，
6x+3(12−x)≤50，
∴x≤143，
∵x取正整数，
∴x=1、2、3、4，
∴12−x=11、10、9、8，
∴有四种购买方案：
①A型设备1台，B型设备11台；
②A型设备2台，B型设备10台；
③A型设备3台，B型设备9台；
④A型设备4台，B型设备8台．
(3)由题意：220x+180(12−x)≥2260，
∴x≥2.5，
又∵x≤143，
∴2.5≤x≤143，
∵x取正整数，
∴x为3，4．
当x=3时，购买资金为3×6+9×3=45(万元)，
当x=4时，购买资金为4×6+8×3=48(万元)，
45<48，
∴为了节约资金，应选购A型设备3台，B型设备9台．
【解析】(1)根据等量关系列出方程组求解即可求解．
(2)设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备(12−x)台，根据不等关系列出不等式，并不等式，根据x取正整数，进而可求解；
(3)根据不等关系列出不等式，根据x取正整数，进而可求解．
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，根据等量关系列出方程组及根据不等关系列出不等式是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，
∴∠A=∠CDE，CA=CD，
∴∠A=∠ADC，
∴∠CDE=∠CDA，
∴DC平分∠ADE；
(2)解：BE⊥AB，理由如下：
∵∠ACD+∠DCO=∠BCE+∠DCO=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
∵CA=CD，CB=CE，
∴∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，
∵∠ABC+∠A=90°，
∴∠ABC+∠CBE=90°，
∴BE⊥AB；
(3)解：作BH⊥CE于H，
∵∠DBO=∠CEO，∠DOB=∠COE，
∴∠BDO=∠OCE=45°，
∵BE⊥AB，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∵△BCH是等腰直角三角形，
∴CH=BH= 22BC= 22× 2=1，
∴HE=CE−CH= 2−1，
∴BE2=BH2+EH2=4−2 2，
∴△BDE的面积=12BD⋅BE12BE2=2− 2．
【解析】(1)由旋转的性质得到∠A=∠CDE，CA=CD，因此∠A=∠ADC，得到∠CDE=∠CDA，即可证明DC平分∠ADE；
(2)由余角的性质推出∠ACD=∠BCE，由等腰三角形的性质得到∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB，由直角三角形的性质，即可证明BE⊥AB；
(3)作BH⊥CE于H，由三角形内角和定理，得到∴∠BDO=∠OCE=45°，得到BCH，BDE是等腰直角三角形，由勾股定理即可求解．
本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质．A型
B型
价格(万元/台)
a
b
处理污水量(吨/月)
220
180