广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版）

这是一份广东省茂名市电白区2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1. 已知集合，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为是上的单调递增函数，故时，，
故，
是R上的减函数，故时，，
即，
故.
故选：A.
2. “函数满足”是“函数在区间上有零点”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】若函数满足，根据零点存在定理，如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有，那么函数在区间内有零点.
但是这里并没有说明函数在区间上的图象是连续不断的，
比如函数，当，时，，
但在上没有零点.
所以“函数满足”不能推出“函数在区间上有零点”，充分性不成立.
若函数在区间上有零点，比如函数在区间上有零点，
此时.
这说明“函数在区间上有零点”不能推出“函数满足”，必要性不成立.
“函数满足”是“函数在区间上有零点”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 已知角的终边在直线上，则的值为（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】由题知，
设角的终边上一点，则.
当时，，，，
所以；
当时，，，，
所以.
故选：C.
4. 当取得最小值时，（ ）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】将变形为.
设（），那么式子就变为.
根据均值不等式则，当且仅当时等号成立.
由（），即，解得（舍去，因为）.
当时，也就是，那么，所以.
当取得最小值时，.
故选：A.
5. 若与（且，，）互为相反数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因与互为相反数，则，即得.
故选：C.
6. 如图，①②③④中不属于函数的一个是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】B
【解析】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意.
根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应.
由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①.
则②不属于函数的一个.
故选：B.
7. 函数，的图象与直线的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】作出函数，的图象与直线的图象如下图所示：
由图可知，函数，的图象与直线有个交点.
故选：D.
8. 设，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】比较和，采用作差法，将和转化为同底数形式来比较.
利用换底公式，则，.
计算.
根据基本不等式，对于和，有.
而，即.
所以，也就是，即.
比较与的大小，同样利用换底公式，，.
计算.
由基本不等式，对于和，.
且，即.
所以，也就是，即.
综上可得.
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 给定函数用表示中的最大者，记为，则（ ）
A. 函数的单调递增区间是B. 函数无最大值
C. 函数的最小值为1D.
【答案】BC
【解析】令，即.
解这个不等式，可得.
所以当时，.
令，即.
解这个不等式，可得或.
所以当或时，.
综上，.
分析选项A，对于，其对称轴为，在上单调递减，在上单调递增.
对于，在上单调递增.
所以的单调递增区间是，A选项错误.
分析选项B，当时，（时）或（时），的值会无限增大，所以无最大值，B选项正确.
分析选项C，当时，；当时，.
且在的整个定义域内，在处取得最小值，C选项正确.
分析选项D，当时，因为，所以，D选项错误.
故选：BC.
10. 已知函数是定义在上且周期为的偶函数，当时，，则下列结论正确的有（ ）
A.
B.
C. 当时，
D. 当时，
【答案】AC
【解析】已知函数是偶函数，则，所以.
又因为函数周期为，当时，，
那么，所以，选项正确.
由于函数周期为，则.
因为函数是偶函数，所以.
当时，，那么，所以选项错误.
当时，.
因为函数是偶函数，所以，已知当时，，
那么，选项正确.
当时，.
因函数周期为，所以.
由前面选项可知当时，，
那么，所以选项错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若在上单调递增，则的取值范围是
B. 若在上恰有3个零点，则的取值范围是
C. 若在上的值域为，则的取值范围是
D. 若在上有最大值，没有最小值，则的取值范围是
【答案】ACD
【解析】对于A，当时，，
又在上单调递增，所以，可得，故A正确；
对于B，当时，，若在上恰有3个零点，
则，所以，故B错误；
对于C，由题意得，即，故C正确；
对于D，由题意得，解得，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，为第四象限角，则__________．
【答案】
【解析】，又因为为第四象限角，
所以，则．
13. 已知，则的最小值为__________．
【答案】20
【解析】，而，则，
当且仅当时取等号，所以所求最小值为20.
14. 若函数在内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．
【答案】
【解析】当时，，解得，符合题意，则；
当时，二次函数的判别式为：，
若，即时，函数的零点为，符合题意，则；
当，即时，由，解得且，
则且；
当时，，方程另一根，当时，
，方程中一根，则或，
所以实数a的取值范围为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式
.
（2）原式
.
16. 如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若，求的坐标．
（3）分别计算和的值，根据计算结果，请你提出一个猜想，并证明你的猜想．
解：（1）因为点在单位圆上且，所以且，
解得，即，
故，
故原式．
（2）由题意，故，
，故．
（3）由（1）知，
所以．
根据计算结果猜想：.
证明：，故猜想成立．
17. 对于函数，
（1）若函数是增函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数使函数为奇函数？
解：（1）函数的定义域为，在上任取且，
若函数是增函数，则，即，
故，
∵，∴．
所以，的取值范围是．
（2）假设存在实数使函数为奇函数，
则，都有．
所以，即，
所以.
所以时函数为奇函数．
18. 2023年金年中国新能源汽车产销量分别达到958.7万辆和949.5万辆，比分别增长和；我国新能源汽车产销量占全球比重超过，连续9年位居世界第一位．新能源汽车出口120.3万辆、同比增长，均创历史新高．2024年中国数家车企推出多款电动新能源汽车，引起市场轰动，电动新能源汽车还逐步成为人们购车的热门选择．有关部门在高速公路上对某型号电动汽车进行测试，得到了该电动汽车每小时耗电量P（单位：）与速度v（单位：）的数据如下表所示：
为描述该电动汽车在高速公路上行驶时每小时耗电量P与速度v的关系，现行以下两种函数模型供选择：①，②．
（1）请选择你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需要说明理由），并求出相应的函数解析式；
（2）李华驾驶一辆同型号电动汽车从银川出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为甘肃省天水市秦安县．出发前汽车电池存量为，汽车到达秦安县后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）．已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量=充电功率×充电时间），若不充电，该电动汽车能否到达秦安县？并说明理由；若需要充电，求该电动汽车从银川到达秦安县所用时间（即行驶时间与充电时间之和）的最小值（结果保留一位小数）
解：（1）由表格中所列数据，与的函数关系，在定义域内单调递增，
由增长速度可知，选择函数模型②，
由题意有：解得：
所以.
（2）设耗电量为，则，
任取，
，
由，，，，
则有，即，
所以函数在区间单调递增， ，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车不在服务区充电不能到达秦安县；
又设行驶时间与充电时间分别为，总和为，若能到达秦安县，
则初始电量+充电电量-消耗电量保障电量，
即，解得，
所以总时间
，
当且仅当，即时取等，所以该汽车到达秦安县的最少用时约为小时.
19. 函数.
（1）若的定义域为，求实数a的取值范围；
（2）当时，为定义域为的奇函数，且时，，
①求的解析式；
②若关于x的方程恒有两个不同的实数根，求t的取值范围.
解：（1）因的定义域为，故恒成立，即恒成立，
设，则，在上单调递增，
则，即，故，即.
（2）①因，则当时，；
若，则，，
又因为为定义域为的奇函数，所以当时，，
故；
②方程等价于，
根据解析式可知，当时，，
当时，，
当时，，
即，，故方程即，
由于在上是单调递增函数，
故方程等价于，
即：，
当时，函数在单调递减，在上单调递增，
而，故要使得有两个不同的实数解，须使，
即；
当时，同理可得.
综上可得，.