湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版）

这是一份湖南省沅澧共同体2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷（解析版），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意可得，则．
故选：A.
2. 已知向量，，则“”的一个充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为向量，且，则，
即，
解得或，
所以，“”的一个充分条件“”.
故选：A.
3. 已知一个圆台的上下底面半径分别为3和4，母线长为，则该圆台的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】圆台的侧面积为.故选：B．
4. 已知，，则（ ）
A.B. C. D.
【答案】B
【解析】因为；
又.
所以，.
所以.
故选：B
5. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】由，得，即，
因此，
所以在复平面内所对应的点位于第二象限.
故选：B
6. 在的展开式中，的系数是（ ）
A. B. C. 20D. 40
【答案】D
【解析】，
的通项为，
所以的系数是.
故选：D．
7. 在等差数列中，前项和为，若，则（ ）
A. 18B. 33
C. 36D. 40
【答案】B
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
因为，
可得，
所以，解得.
故选：B.
8. 如图1，这是一只古代的青花牡丹纹碗.已知该碗高10cm，口径26cm，底径10cm，该碗的轴截面（不含碗底部分）是抛物线的一部分，如图2，则该抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】以该碗轴截面的对称轴为轴，抛物线的顶点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，
设该抛物线的方程为（的单位均为cm），点纵坐标为（单位：cm），
则，，
于是，解得，
故该抛物线的焦点到准线的距离为．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 随机事件满足，下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与事件相互独立
C. D.
【答案】AB
【解析】对于A，因为，所以，A正确；
对于B，因为，故事件与事件相互独立，B正确；
对于C，因为C错误；
对于D，因为D错误.
故选：AB.
10. 设函数，则（ ）
A. 是的极小值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 当时，
【答案】ACD
【解析】对A，因为函数的定义域为R，
而，
易知当时，，当或时，
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的极小值点，正确；
对B，当时，，所以，
而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误；
对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减，
所以，即，正确；
对D，当时，
，
所以，正确；
故选：ACD.
11. 如图，在四面体中，，，，,， 分别为棱上的动点，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最小值为B. 平面
C. 直线与面所成角为D. 四面体的体积为
【答案】BCD
【解析】对于B，由，得，
由，平面，得平面，
因为平面，所以，
又因为平面，所以平面，B正确；
对于C，由选项B知，平面，故为直线与面所成角，为，C正确；
对于D，由得，
由得，
因为，
所以，
所以四面体的体积为，D正确；
对于A，如图，将侧面与侧面展开在同一平面内，
由题意得，，
过作于点，交于点，
则的最小值为，A错误.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知随机变量服从正态分布,且，则______.
【答案】0.04
【解析】因为，所以，
所以.
故答案：.
13. 已知函数，若，则的取值范围是__________.
【答案】
【解析】根据题意画出图象，得到，
，则，
即，则，则，则.
故答案为：.
14. 已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为______．
【答案】2
【解析】如图，设为与渐近线的交点，
由题意：，，
所以Q是线段的中点，
所以.
又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，
所以，所以，
所以，所以离心率.
故答案为：2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，分别是角的对边，且.
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的值.
解：（1）由和正弦定理，
可得
∴
∵，∴，∴，
又∵，∴.
（2）由余弦定理，，
∴，解得，
由可得，代入上式可得，
解得：或（此时，不合题意，舍去）
所以，.
16. 已知函数在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求函数在的最大值和最小值；
（3）若方程恰有两个不等的实根，求的取值范围．
解：（1）,因为在点处的切线方程为
所以有所以解得
（2）由(1)可得
当或
所以在和上单调递增，上单调递减，
又因为计算可得，
所以在的最大值为，最小值为
（3）由（2）可知，的极大值为，极小值为
当
所以当时，.
所以当且仅当时，方程恰有两个不等实根.
17. 在数列中，，.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和公式.
解：（1），
又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，.
（3）由（2）得：
.
18. 在平面四边形中,，，，，
将沿AC翻折至，且满足.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的正弦值.
解：（1），.
又平面，平面，
平面.
（2）以点A为坐标原点，垂直于AB的直线为x轴，AB所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
由，，.
，
则，
故，
设平面的一个法向量为，
则，取.
设平面的一个法向量为，
则，故可取，
设二面角的平面角为，
则，故，
所以二面角的正弦值为.
19. 已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，若为直角三角形，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作斜率互为相反数的两条直线与分别交椭圆于两点，
①求证：通过点的直线的斜率为定值，并求出该定值；
②求的最大值.
解：（1）由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而.
又椭圆过点则有解得.
椭圆的方程：.
（2）①由（1）知椭圆方程为，设直线的方程：，
则的方程是.
令，
由可得
则有
，
同理得，
.
即直线的斜率为定值，且定值为1.
②由①知，
则
又，当且仅当即当时等号成立，
所以，即的最大值为4.

单调递增
单调递减
单调递增