河南省焦作市普通高中2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析）

这是一份河南省焦作市普通高中2024−2025学年高二下学期期中考试 数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．的展开式中常数项为（ ）
A．B．C．D．
4．记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A．2B．1C．D．0
5．已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是数列的前n项和，，则（ ）
A．2575B．3435C．4345D．5135
7．若函数在时取得极大值0，则（ ）
A．B．或C．D．
8．已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．是的周期
B．在区间上单调递减
C．是奇函数
D．在区间上恰有2个零点
10．已知数列的通项公式是，前项和为，则（ ）
A．数列是等差数列
B．存在，使得成立
C．当时，最大
D．数列的最大值为
11．已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（ ）
A．B．C．eD．2e
三、填空题（本大题共3小题）
12．函数的图象在点处的切线方程为 .
13．已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角 .
14．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知等差数列的前n项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)已知，求数列的前n项和.
16．记为数列的前n项和，，.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
17．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：.
18．如图，在三棱锥中，P，Q分别是，的中点，，.

(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求三棱锥的外接球的表面积.
19．已知函数的定义域为，数列满足，若存在数列满足，，且，则称为关于的对称数列.
(1)若，，求数列关于的一个对称数列；
(2)已知函数，数列为数列关于的对称数列，且，，证明：；
(3)已知函数，数列为数列关于的对称数列，证明：.
参考答案
1．【答案】D
【详解】 由题可知，∴.
故选D.
2．【答案】A
【详解】因为，
所以，
所以.
故选A.
3．【答案】B
【详解】的展开式的通项为，
令，得，所以常数项为．
故选B．
4．【答案】B
【详解】设数列的公差为d，因为，所以，
所以.
故选B.
5．【答案】D
【详解】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，
所以，则该圆锥的侧面积.
故选D.
6．【答案】B
【详解】由题知
.
故选B.
7．【答案】C
【详解】由题知，，
由在时取得极大值，∴，解得或，
经检验，当时，，
由，，所以在上单调递减；
由，，所以在上单调递增；
此时在时取得极大值，满足题意，故，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去；
∴，将代入，解得，
所以.
故选C.
8．【答案】C
【详解】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形，
∴，由椭圆定义知，，
∴，.
在中，，
∴.
在中，.

故选C.
9．【答案】ACD
【详解】由题知，，所以最小正周期，故A正确；
当时，，令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增，故在区间上先减后增，故B错误；
为奇函数.故C正确；
令，得，，∴，，当时，，当时，，均是在区间上的零点，故D正确.
故选ACD.
10．【答案】ABD
【详解】∵，∴，
，
则为等差数列，故A正确；
∵，，∴，故B正确；
∵当时，，当时，，∴当时，最大，故C错误；
∵，
，，
∴当时，，当或时，，
的最大值为，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BCD
【详解】解析 由题知，不等式对任意恒成立，
设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，，当时，，
当时，，，∴当时.直线恒过点，
设直线与的图像相切时，切点为，∴，解得或，
∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，，
在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则，
故选BCD.

12．【答案】
【详解】由题知，，，切线的斜率，
∴切线方程为，即.
13．【答案】
【详解】因为在上的投影向量为，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，因为，所以.
14．【答案】2或
【详解】
设C的半焦距为，D为线段的中点，连接.
∵，∴，
∴是线段的垂直平分线，∴，，
由双曲线的定义知，，
∵，∴，
∴.
∵，，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，解得或.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设的公差为d，依题意，，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以
.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵，，①
∴当时，，
当时，，②
①-②，得，
∴，
又，∴是首项为1，公比为3的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，③
∴，④
③-④，得
，
∴.
17．【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由的定义域为，
，
若，则，在内单调递增，
若，当时，在内单调递减，
当时，，在内单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由，得，
设，则，
设，则，则即在内单调递增，
∵，，
∴存在，使得，即，即，，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
∴，
∵当，即时，，上式取不到等号，
∴时，.
18．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1）

设O为的中点，如图，连接，，
∵，
则，∴，
∵P是的中点，∴，.
又，
则是边长为2的正三角形，∴，，
∴，∴.
∵，平面，平面，
平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为P，Q分别是，的中点，，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，
即，
解得，，，所以，
则，
∴，
∴三棱锥的外接球的表面积为.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）由题知，数列是关于函数的一个对称数列.
理由如下：
由题知，，定义域为，
∵对任意，，，，
，，
∴，
∴数列是关于函数的一个对称数列.
（2）由题知，，
∴，
∴，即，
∵，∴，
∴.
（3）由题知，，
当时，，当时，，
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增.
由题知，，，，
不妨令，则一定有，
要证，即证，即，
又在区间内单调递减，
∴只需证，即证，
即证，即证.
设，即证，
∵在区间内单调递增，∴只需证，
两边取对数得，
设，则当时，，
∴在区间内单调递增，∴，
∴，
∴.