陕西省洛南中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省洛南中学2024−2025学年高二下学期第一次月考 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等比数列中，，，则的值为（ ）
A．8B．16C．32D．64
2．直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．等差数列中是其前项和，，则（ ）
A．27B．36C．54D．81
4．某班小张等4位同学报名参加，，三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报小组，则不同的报名方法有（ ）种
A．B．C．54D．
5．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知正方体的棱长为3，E为CD的中点，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．1
7．已知函数存在最大值0，则a的值为（ ）
A．1B．2C．eD．
8．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（ ）
A．1B．C．2D．3
二、多选题
9．下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．它的极大值为，极小值为
B．当时，它的最大值为，最小值为
C．它的单调递减区间为
D．它在点处的切线方程为
11．(多选题)过点P(2，－6)作曲线f(x)＝x3－3x的切线，则切线方程为（ ）
A．3x＋y＝0B．24x－y－54＝0
C．3x－y＝0D．24x－y＋54＝0
三、填空题
12．与y轴相切，且圆心坐标为的圆的标准方程为 ．
13．函数在时有极小值0，则 ．
14．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种(以数字作答)．
四、解答题
15．已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
16．已知椭圆经过点且离心率为，设直线与椭圆相交于两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的斜率为1，求线段中点的轨迹方程；
17．设数列满足：，且对任意的，都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．如图1，在平面四边形中，，，，.将沿折叠至处，使平面平面（如图2），为的中点，为的中点，是靠近点的四等分点.
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知函数．
（1）若，求在区间上的最值；
（2）若，求的取值范围．
参考答案
1．【答案】B
【详解】设等比数列的公比为q，
则，因为，
所以，解得，
所以.
故选B
2．【答案】B
【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点，
所以直线的方程为，即.
故选B
3．【答案】A
【详解】由题知：，所以.
.
故选A.
4．【答案】C
【详解】根据题意，分析可得：除小张外，每位同学都可以报，，三个课外活动小组中任意一个，都有3种选择，小张不能报小组，只有2种选择，
所以不同的报名方法有(种)，
故选C.
5．【答案】D
【详解】求出导函数，利用导数与函数单调性之间的关系求出单调区间即可求解.
【详解】由，则，
令，解得，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
故时，，
而，，
所以.
故选D
6．【答案】A
【详解】如图：

因为.
在中，,.
所以边上的高为：，
所以.
设点到平面的距离为，由.
故选A
7．【答案】D
【详解】，
当时，恒成立，故函数单调递增，不存在最大值；
当时，令， 得出，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
，解得：.
故选D
8．【答案】C
【分析】根据双曲线的渐近线方程与抛物线的准线方程可得A，B两点的纵坐标，由双曲线的离心率可得，再根据面积即可求解.
【详解】∵双曲线，
∴双曲线的渐近线方程是.
又抛物线的准线方程是，
故A，B两点的纵坐标分别是.
∵双曲线的离心率为2，∴.
∴，则.
A，B两点的纵坐标分别是，
又△AOB的面积为，∴，得p=2.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】对于选项A：，，因此，所以A选项正确.
对于选项B，根据组合数性质知道，所以B选项错误.
对于选项C， ，
因此，所以C选项正确.
对于选项D，根据组合数性质知道，所以D选项正确.
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】函数，．
由，得或，此时函数单调递增；
由，得，此时函数单调递减，C正确；
当时，函数取得极大值，
当时，函数取得极小值，A正确；
当时，单调递增，它的最大值为，
最小值为，B错误；
，，它在点处的切线方程为，D正确．
故选ACD.
11．【答案】AB
【详解】设切点为(m，m3－3m)，
f(x)＝x3－3x的导数为f′(x)＝3x2－3，
则切线斜率k＝3m2－3，
由点斜式方程可得切线方程为
y－m3＋3m＝(3m2－3)(x－m)，
将点P(2，－6)代入可得－6－m3＋3m＝(3m2－3)(2－m)，
解得m＝0或m＝3.
当m＝0时，切线方程为3x＋y＝0；
当m＝3时，切线方程为24x－y－54＝0.
故选AB.
12．【答案】
【详解】与y轴相切，且圆心坐标为，则半径为5，
故圆的标准方程为.
13．【答案】11
【详解】因为，
所以，
因为函数在时有极小值0，
所以，①
，②
联立①②解得或，
当时，，
则函数在上单调递增，无极值，不满足题意；
当时，，
由解得或，由解得，
函数在单调递增，单调递减，单调递增，
满足函数在时有极小值，
所以.
14．【答案】72
【详解】若使用了四种颜色，则同色或同色，共有种，
若使用了三种颜色，则同色且同色，共有种，所以一共有种.
15．【答案】（1）
（2）函数的递增区间为，递减区间为.
【详解】（1），
∴，
，
∴切线方程为：，即
（2）由（1）知，
令，则或，
当时，，函数递增，
当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
所以函数的递增区间为，递减区间为.
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由题可得：，解得：，
所以椭圆的标准方程为：；
（2）因为直线的斜率为1，所以可设直线的方程为，，
联立 ，化简得，
则，
解得：，
所以，设弦中点，
则，
消去，得，而，
所以点的轨迹方程为.
17．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）由题意可得，又，则，其中
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，.
（2）令，由（1）可知，则，
则，
，
两式相减可得
所以.
18．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）因为，点为的中点，所以，
因为平面平面ABD，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以.
因为，，所以是等边三角形，所以，
所以，所以，即，
又平面，平面，，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）取的中点，连接，则，
又因为平面，则平面，
因为，以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、，、、、，
所以，，.
设平面的一个法向量为，则，
令，得，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19．【答案】（1）最大值为，最小值为；
（2）.
【详解】（1）函数的定义域为.
当时，导函数，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，
所以的最大值为，最小值为；
（2）导函数，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又因为，所以，
令，
则，显然单调递减，且，，
必然存在唯一，使得.
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由于时，，符合题意.
当时，单调递减，且，因此.
综上，成立的范围为