2022-2023学年陕西省洛南中学高二下学期3月月考数学（理）试题含答案

2022-2023学年陕西省洛南中学高二下学期3月月考数学（理）试题

一、单选题

1．在复平面内,复数对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】A

【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解.

【详解】由题意，复数，

所以该复数在复平面内对应的点为，在第一象限.

故选：A.

2．一质点运动的位移方程为，当秒时，该质点的瞬时速度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求导后根据导数的物理意义可求.

【详解】由求导得

所以秒时，该质点的瞬时速度为.

故选：C

3．由曲线与直线所围成的封闭图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】封闭图形的面积为，利用莱布尼茨公式计算即可.

【详解】

如图，封闭图形的面积为.

故选：B.

【点睛】本题考查利用定积分计在平面几何中的应用，在利用定积分求平面图形的面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数，本题是一道基础题.

4．函数的极大值点为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】D

【分析】求得，令，根据的正负来判断的单调性，即可求得极大值点.

【详解】因为，

令，解得，，

所以当或时，；当时，，

所以在，上单调递增，在上单调递减，

故的极大值点为，

故选：D

5．在中，三条边的长分别为a，b，c，面积为S，则的内切圆半径．类比这个结论，在四面体PABC中，六条棱的长分别为a，b，c，d，e，f，四个面的面积分别为，，，，体积为V，则四面体PABC的内切球半径为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据类比思想，“边”变为“面”，“内切圆半径”变为“内切球半径”，根据四面体的几何性质，即可得到答案.

【详解】设四面体的内切球球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，

所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，

即四面体的体积，所以，

故选：D

6．用数学归纳法证明不等式“”时，由时不等式成立，推证时，左边增加的项数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将和分别代入不等式的左边，二者作差，即可求解.

【详解】当时，左边，

而当时，左边，

增加了，共项，

故选：C

7．已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为，单价p与产量q的函数关系式为，则当利润最大时，（    ）

A．8 B．12 C．16 D．20

【答案】B

【分析】设利润为y，则，将条件代入，可得为关于的函数，利用导函数判断函数的单调性，进而得到取得最大值时的值.

【详解】设利润为y，则，

所以．

则当时，；当时，，

故当利润最大时，，

故选：B

8．观察下列各式：，，，，…，则的末尾数字为（    ）

A．1 B．3 C．7 D．9

【答案】C

【分析】根据前几个数找到末位数循环的周期为，即可得答案.

【详解】因为，

所以末位数循环的周期为，且，

所以与的末位数字相同，所以末位数字为.

故选：C.

9．已知函数的一个极值点为1，则（    ）

A．6 B． C．3 D．

【答案】D

【分析】根据可导函数在极值点的导数为0求得，而，，再利用导数的定义即可求解.

【详解】求导得

因为的一个极值点为1，

所以，解得

当时，，则1是函数的一个极值点.

所以，此时.

因为

而

所以

故选：D

10．定义在区间上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（    ）

A．函数在区间单调递增 B．函数在区间单调递减

C．函数在处取得极小值 D．函数在处取得极小值

【答案】D

【分析】根据导函数图象可知，的单调性，进而可得的极值，即可得出答案．

【详解】解：根据导函数图象可知，

在区间，上，，单调递减，

在上，，单调递增，

所以在处取得极小值，没有极大值，

故正确，错误，

故选：．

11．甲、乙、丙三位教师分别在商洛市的商南、山阳、洛南的三所中学里教授语文、数学、英语，则依据下列说法可以判断乙工作的地方和教的学科分别是（    ）

①甲不在商南工作，乙不在山阳工作；②在商南工作的教师不教英语学科；

③在山阳工作的教师教语文学科；④乙不教数学学科.

A．商南，语文 B．洛南，英语 C．山阳，数学 D．洛南，数学

【答案】B

【分析】根据已知进行排除，最终得出结果即可．

【详解】由乙不在山阳工作，而在山阳工作的教师教语文学科，则乙不教语文学科；

又乙不教数学学科，所以乙教英语学科，而在商南工作的教师不教英语学科，

故乙在洛南教英语学科，

故选：B．

12．已知，且满足，为自然对数的底数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数的性质得到，再构造函数，利用导函数研究函数的单调性判断即可.

【详解】因为在上单调递增，，所以，

构造函数，则，令，解得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

因为，，即，又，

所以，，，，

所以，

所以，，，即，

所以，故A正确.

故选：A.

二、填空题

13．已知复数，则复数的实部与虚部之和为        .

【答案】4

【分析】由复数的乘法运算公式求，再算实部与虚部之和.

【详解】=

实部与虚部之和为

故答案为：4

14．已知函数，则        ．

【答案】

【分析】求导后计算即可.

【详解】因为，所以.

故答案为：

15．      .

【答案】//

【分析】利用微积分定理及相关性质和积分的几何意义来求解.

【详解】

其中，

令，则，

两边平方得：，

所以表示圆心为，半径为1的圆，位于轴上方部分，

故表示半径为1的圆，位于轴上方部分与轴围成的面积，

所以，

故

故答案为：

16．若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是                ．

【答案】

【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围.

【详解】∵，∴，

设切点为,则,切线斜率,

切线方程为：,

∵切线过原点，∴,

整理得：,

∵切线有两条，∴,解得或,

∴的取值范围是,

故答案为：

三、解答题

17．已知复数（，是虚数单位）.

（1）若是纯虚数，求的值；

（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第三象限，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先由复数的除法运算求得，再结合复数的类型列方程组求解即可；

（2）先求出，再结合复数在复平面上对应的点位于的象限列方程组求解即可.

【详解】解：（1），

∵是纯虚数，

∴，

得.

（2）∵，

∴，

由复数在复平面上对应的点位于第三象限，

则，解得，

故的取值范围为.

【点睛】本题考查了复数的除法运算及共轭复数，重点考查了复数在复平面上对应的点位于的象限，属基础题.

18．已知函数,

（1）计算函数的导数的表达式;

（2）求函数的值域.

【答案】（1）;（2）.

【解析】（1）根据导数的运算法则求导即可;

（2）根据,可得,函数在上是单调增函数,求出极大、极小值即可得出值域.

【详解】解: （1）因为,

所以.

故函数的导数;

（2）,

,

函数在上是单调增函数,

所以,

所以;

故函数的值域为.

【点睛】本题考查函数的导数的求法,以及利用导数求函数的值域,是基础题.

19．（Ⅰ）已知，，用分析法证明：；

（Ⅱ）已知，且，用综合法证明：.

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析

【分析】（1）只需按照欲证—只需证—已知的格式进行书写；

（2）由，可得，，，相加即可.

【详解】（Ⅰ）∵，，要证，

只要证，只要证，

即证，

上式显然成立，且以上每一步均可逆，

故原不等式成立.

（Ⅱ）∵，∴，

同理可得，，

∴，

∴.

【点睛】本题考查利用分析法、综合法证明不等式，考查学生逻辑推理能力，是一道容易题.

20．在数列中，，．

(1)求，，的值，并猜想的通项公式；

(2)请用数学归纳法证明（1）中的猜想．

【答案】(1)，，．猜想．

(2)证明见解析

【分析】（1）分别令，由已知递推式可求出，，的值，从而可猜想的通项公式；

（2）根据数学归纳法的步骤结合已知递推式证明即可

【详解】（1）解：∵，，

∴，，

．

猜想．

（2）证明：①当时，，猜想显然成立；

②假设当时，猜想成立，即，

则当时，，

即当时，猜想也成立．

由①②可知，猜想成立，即．

21．已知曲线在处的切线方程为.

（Ⅰ）求值.

（Ⅱ）若函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)

【分析】（Ⅰ）利切点为曲线和直线的公共点，得出，并结合列方程组求出实数、的值；

（Ⅱ）解法1：由，得出，将问题转化为直线与曲线的图象有两个交点时，求出实数的取值范围，然后利用导数研究函数

的单调性与极值，借助数形结合思想得出实数的取值范围；

解法2：利用导数得出函数的极小值为，并利用极限思想得出当时，，结合题意得出，从而得出实数的取值范围．

【详解】（Ⅰ），，

；

（Ⅱ）解法1：，

函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点.，

当时，在单调递减，

当时，在单调递增，

时，取得极小值，

又时，；时，，；

解法2：，

，

当时，在上单调递减，

当时，在上单调递增，

时，取得极小值，

又时，，.

【点睛】本题考查导数的几何意义，以及函数的零点个数问题，对于直线与函数曲线相切的问题，一般要抓住以下两点：

（1）切点为切线和函数曲线的公共点，于此可列等式；

（2）导数在切点处的导数值等于切线的斜率．

22．已知函数，其中．

(1)讨论的单调性；

(2)若，，求的最大值．

【答案】(1)当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

(2)

【分析】（1），讨论或判断的单调性；（2）由题意可得：对任意恒成立，即，通过导数求的最小值．

【详解】（1），

当时，当恒成立，在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

在上单调递增，在上单调递减，

综上所述：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（2）依题意得对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，则，

令，则在上单调递增，

，

当时，，即；当时，，即，

在上单调递减，在上单调递增，

，

，故的最大值为．