陕西省西安市高新第二高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市高新第二高级中学2024−2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A．与B．与C．与D．与
2．设，则（ ）
A．B．
C．D．P与Q的大小与a有关
3．已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
4．在中，角所对边分别为，且，（ ）
A．B．或C．D．或
5．如图，已知中，为的中点，，若，则
A．B．C．D．
6．已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．对于任意向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则与中至少有一个为B．向量与向量夹角的范围是
C．若，则D．
10．已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．的最小值为2
C．若，则D．若，则
11．在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A．设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B．若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C．已知平面向量满足则为等腰三角形
D．已知平面向量满足，且，则是等边三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．计算： .
13．已知平面向量满足与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为 .
14．在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设全集为，已知集合，
(1)当时，求
(2)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
16．记的内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的面积为，求．
17．设两个向量满足，
(1)求方向的单位向量；
(2)若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
18．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.

(1)当米时，求分隔栏的长；
(2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.
19．已知向量，，函数，
(1)若，，求的值；
(2)在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值.
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选C.
2．【答案】C
【详解】因为
所以.
故选C.
3．【答案】C
【详解】因为函数的定义域是，即，则；
对于函数，可知，解得，
所以函数的定义域为.
故选C.
4．【答案】A
【详解】由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以.
故选A.
5．【答案】C
【详解】利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.
【详解】因为，
所以，.故.
故选C.
6．【答案】D
【详解】设向量与向量的夹角为，
由题意，得，，，
所以，
因为，，
所以，
即向量与向量的夹角为.
故选D.
7．【答案】C
【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.
所以，.
8．【答案】D
【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，

因为正三角形边长为2，
根据三角形面积公式得到，
所以内切圆半径为，则设，，
则，
因为，
即，
所以，解得，
则，
因为，则，
则，所以.
故选D
9．【答案】CD
【详解】A，当为非零向量，且时，，所以A选项错误.
B，向量与向量夹角的范围是，所以B选项错误.
C，若，则，C选项正确.
D，，D选项正确.
故选CD
10．【答案】AC
【详解】A．由，得，
因为，
所以，
两边都除以，得，
整理得，故A项正确；
B．若的最小值为2，则此时，可得，
结合，得，
此时，可得，与为斜三角形矛盾，故B项不正确；
C．若，由正弦定理，得，
结合，可得，
所以，可得，
由余弦定理得，
因此，，整理得，故C项正确；
C．，
若，则，
可得，即，
结合为三角形的内角，可知或，
所以或，故D项不正确．
故选AC．
11．【答案】ACD
【详解】对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上，从而可判断C；对于D，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；
【详解】对于A，，
∴，∴，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，命题A正确；
对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件不共线，故B错误；
对于C，由于，即，，
得，即OA为BC的垂线，
又由于，可得OA在的角平分线上，
综合得为等腰三角形，故C正确；
对于D，平面向量、、满足，且，
∴，∴，
即，∴，
∴、的夹角为，同理、的夹角也为，
∴是等边三角形，故D正确；
故选ACD.
12．【答案】
【详解】易知原式
.
13．【答案】或
【详解】因为，所以，
又向量与的夹角为，且，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
设，由与得，解得或，
所以或，
所以向量在向量上的投影向量为或.
14．【答案】或
【详解】因为，
所以．
由正弦定理得，
因为，，所以，则，
而，解得或，
因为点是边的中点，且，
所以，得到，
即，
当时，，解得(负根舍去)，即，
此时的面积为，
当时，，解得(负根舍去)，即，
此时的面积为．
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）当时，，
或，
又因为，
则或
（2）因为“”是“”成立的充分条件，则，
集合，，
当，即，即，符合题意；
当时，，解得：
综上所述，实数m的取值范围是
16．【答案】(1);
(2)5
【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得即可求解；
（2）由三角形面积公式求得，根据及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．
【详解】（1）由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
又，所以;
（2）因为的面积为，所以，即，
由，则，即，
所以，即．
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知，
所以，
所以，
即方向的单位向量为；
（2）由已知，，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，
解得.
18．【答案】(1)米
(2)平方米
【详解】（1）因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以的长为米；
（2）因为，，
设，，则，
在中，由正弦定理得，
所有，
则
，
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.
19．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意得向量，，
而函数，故，
，
因为，所以，，
因为，所以，
得到，由同角三角函数的基本关系得，
解得，而，
.
（2）在中，角对边分别是，
且满足，由余弦定理得，
则，得到，
即，得到，
由余弦定理得，故，
而，解得，而当时，，
此时面积为，且，
故，解得，由余弦定理得，
故，解得，
则由正弦定理得.