陕西省西安市高新第二高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析）

这是一份陕西省西安市高新第二高级中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，在四边形ABCD中，若，则图中相等的向量是（ ）

A. 与B. 与C. 与D. 与
【答案】C
【解析】
【分析】由条件可得四边形ABCD是平行四边形，然后逐一判断即可.
【详解】因为，所以四边形ABCD是平行四边形，
所以，，，，故ABD错误，C正确.
故选：C.
2. 设，则（ ）
A. B.
C. D. P与Q的大小与a有关
【答案】C
【解析】
【分析】根据作差法比较大小即可.
【详解】因为
所以.
故选：C.
3. 已知函数的定义域是，则的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数的定义域可得，对于可得，运算求解即可.
【详解】因为函数定义域是，即，则；
对于函数，可知，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
4. 在中，角所对边分别为，且，（ ）
A. B. 或C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理求得，结合边的大小关系即可得解.
详解】由正弦定理有，即，解得，
注意到，由大边对大角有，所以.
故选：A.
5. 如图，已知中，为的中点，，若，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.
【详解】因为，
所以，.故.
故选：C.
【点睛】本题考查向量线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.
6. 已知向量，，，则向量与向量的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用平面向量的夹角公式求出夹角余弦值，再利用诱导公式结合角的范围进行求解..
【详解】设向量与向量的夹角为，
由题意，得，，，
所以，
因为，，
所以，
即向量与向量的夹角为.
故选：D.
7. 窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算得出，求出取值范围，由此可求得的取值范围.
【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，
当点位于正六边形的顶点时，取最大值，
当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，
所以，.
所以，.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：
（1）利用定义：
（2）利用向量的坐标运算；
（3）利用数量积的几何意义．
具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
8. 边长为2的正三角形的内切圆上有一点P，已知，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，然后利用三角函数和三角恒等变换等知识求得到范围.
【详解】如图，以正三角形的高为轴，以内切圆圆心为原点，建立直角坐标系，

因为正三角形边长为2，
根据三角形面积公式得到，
所以内切圆半径为，则设，，
则，
因为，
即，
所以，解得，
则，
因为，则，
则，所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：求出内切圆半径，设，由，可解出，利用三角函数和三角恒等变换求范围.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 对于任意向量，，，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则与中至少有一个为B. 向量与向量夹角的范围是
C. 若，则D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据向量的数量积、夹角、垂直、运算律等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A，当为非零向量，且时，，所以A选项错误.
B，向量与向量夹角的范围是，所以B选项错误.
C，若，则，C选项正确.
D，，D选项正确.
故选：CD
10. 已知为斜三角形，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A. B. 的最小值为2
C. 若，则D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】根据正弦定理化简，结合推导出，然后化成正切的式子，得到，判断出A项正确；根据基本不等式取等号的条件，得到当的最小值时，，此时为等腰直角三角形，与题设矛盾，可知B项不正确；利用正弦定理证出，结合余弦定理，证出，判断出C项正确；若，利用余弦定理与三角恒等变换公式，化简得到，求得或，可知D项不正确．
【详解】A．由，得，
因为，
所以，
两边都除以，得，
整理得，故A项正确；
B．若的最小值为2，则此时，可得，
结合，得，
此时，可得，与为斜三角形矛盾，故B项不正确；
C．若，由正弦定理，得，
结合，可得，
所以，可得，
由余弦定理得，
因此，，整理得，故C项正确；
C．，
若，则，
可得，即，
结合为三角形的内角，可知或，
所以或，故D项不正确．
故选：AC．
11. 在给出的下列命题中，正确的是（ ）
A. 设是同一平面上的四个点，若，则点必共线
B. 若向量是平面上的两个向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的
C. 已知平面向量满足则为等腰三角形
D. 已知平面向量满足，且，则是等边三角形
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A，根据共线定理判断A、B、C三点共线即可；对于B，根据平面向量的基本定理，判断命题错误；对于C，根据向量的运算性质可得OA为BC的垂线且OA在的角平分线上，从而可判断C；对于D，根据平面向量的线性表示与数量积运算得出命题正确；
【详解】对于A，，
∴，∴，且有公共点C，
∴则点A、B、C共线，命题A正确；
对于B，根据平面向量的基本定理缺少条件不共线，故B错误；
对于C，由于，即，，
得，即OA为BC的垂线，
又由于，可得OA在的角平分线上，
综合得为等腰三角形，故C正确；
对于D，平面向量、、满足，且，
∴，∴，
即，∴，
∴、的夹角为，同理、的夹角也为，
∴是等边三角形，故D正确；
故选ACD.
【点睛】本题主要考查利用命题真假的判断考查了平面向量的综合应用问题，属于中档题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 计算：__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式指数幂运算法则及换底公式计算即可得出结果.
【详解】易知原式
故答案为：
13. 已知平面向量满足与的夹角为，则向量在向量上的投影向量为______.
【答案】或
【解析】
【分析】根据数量积的定义求出，再根据在方向上的投影向量为计算可得.
【详解】因为，所以，
又向量与的夹角为，且，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
设，由与得，解得或，
所以或，
所以向量在向量上的投影向量为或.
故答案为：或
14. 在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是边的中点，且，则的面积为________.
【答案】或
【解析】
【分析】利用正弦定理进行边化角求出角A，结合向量中线定理求解，最后利用三角形面积公式求面积即可.
【详解】因为，
所以．
由正弦定理得，
因为，，所以，则，
而，解得或，
因为点是边的中点，且，
所以，得到，
即，
当时，，解得(负根舍去)，即，
此时的面积为，
当时，，解得(负根舍去)，即，
此时面积为．
故答案为：或
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，已知集合，
（1）当时，求
（2）若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）运用指数函数单调性求出B，再根据集合的补运算和并集运算，求解即可；
（2）根据题意得到集合之间的关系，分类讨论，列出不等关系，求解即可.
【小问1详解】
当时，，
或，
又因为，
则或
【小问2详解】
因为“”是“”成立的充分条件，则，
集合，，
当，即，即，符合题意；
当时，，解得：
综上所述，实数m的取值范围是
16. 记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若的面积为，求．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角互化，再根据余弦定理求得即可求解；
（2）由三角形面积公式求得，根据及余弦定理得出，再由完全平方公式即可求解．
【小问1详解】
由正弦定理得，，即，
由余弦定理得，，
又，所以．
【小问2详解】
因为的面积为，所以，即，
由，则，即，
所以，即．
17. 设两个向量满足，
（1）求方向的单位向量；
（2）若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，求得的坐标和模后求解；
（2）根据向量与向量的夹角为钝角，由，且向量不与向量反向共线求解.
【小问1详解】
由已知，
所以，
所以，
即方向的单位向量为；
【小问2详解】
由已知，，
所以，
因为向量与向量的夹角为钝角，
所以，且向量不与向量反向共线，
设，则，解得，
从而，
解得.
18. 上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.

（1）当米时，求分隔栏的长；
（2）综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值.
【答案】（1）米
（2）平方米
【解析】
【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出；
（2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为，所以，
在中，，，
由余弦定理得，
即，解得或（舍去），
所以的长为米；
【小问2详解】
因为，，
设，，则，
在中，由正弦定理得，
所有，
则
，
当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米.
19. 已知向量，，函数，
（1）若，，求的值；
（2）在中，角，，对边分别是，，，且满足，当取最大值时，，面积为，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）首先利用向量数量积的坐标运算结合二倍角公式与辅助角公式变形成正弦型函数，再进一步利用同角三角函数的基本关系和两角差的余弦公式求出结果即可．
（2）利用余弦定理对关系式进行变换求出的范围，再利用三角形的面积公式和正弦定理求出结果即可．
【小问1详解】
由题意得向量，，
而函数，故，
，
因为，所以，，
因为，所以，
得到，由同角三角函数的基本关系得，
解得，而，
.
【小问2详解】
在中，角对边分别是，
且满足，由余弦定理得，
则，得到，
即，得到，
由余弦定理得，故，
而，解得，而当时，，
此时面积为，且，
故，解得，由余弦定理得，
故，解得，
则由正弦定理得.