青海省西宁市第十四中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析）

这是一份青海省西宁市第十四中学2024−2025学年高二下学期4月月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．曲线在点处切线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值是（ ）
A．2B．4C．6D．2或6
3．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．五种不同商品在货架上排成一排，其中两种必须连排，而两种不能连排，则不同的排法共有（ ）种.
A．24种B．36种C．72种D．120种
5．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A．1B．C．D．
6．已知是函数的导函数，若，则 ）
A．B．C．2D．3
7．勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.现提供5种颜色给如图所示的勒洛三角形中的4个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，且相邻区域颜色不同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120B．240C．300D．320
8．若都有成立，则的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（ ）
A．是函数的极值点
B．是函数的最小值点
C．在区间上单调递增
D．在处切线的斜率小于零
10．2023宿迁马拉松赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目，每个项目均设置4000个参赛名额．在宿大学生踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑（5.5公里）三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是 ）
A．若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有20种不同的分配方案
B．若每个比赛项目至少安排1人，且每人均被安排，则有150种不同的分配方案
C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法
D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法
11．已知函数在上是单调函数，则实数a的值可以是（ ）
A．B．
C．D．2
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数的图象在点处的切线方程是，则 ．
13．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有 种.
14．已知函数，则不等式的解集为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求在区间上的最值．
16．高二（3）班的3个男生，2个女生（含学生甲、乙）在寒假期间参加社会实践活动.（用数字作答下列问题）
(1)社会实践活动有5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，求不同的分配方案的种数；
(2)活动后5人排成一排拍照，求甲不在中间，乙不在排头的排法种数.
17．已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值．
(2)若对恒成立，求实数的取值范围．
18．已知安排3名男生和2名女生参加A，B，C三项不同的公益活动，每人只能参加1项公益活动，每项公益活动至少有1人参加．
(1)求不同安排方案的种数（用数字作答）；
(2)若每项活动都必须安排1名男生，求不同安排方案的种数（用数字作答）；
(3)若公益活动A需要1人，公益活动B和C都需要2人，求不同安排方案的种数（用数字作答）．
19．有一种速度叫“中国速度”，“中国速度”正在刷新世界对中国高铁的认知．由于地形等原因，在修建高铁、公路、桥隧等基建时，我们常用曲线的曲率（Curvature）来刻画路线弯曲度．曲线的曲率定义如下：记为的导函数，为的导函数，则曲线在点处的曲率为．
(1)已知函数，求曲线在点处的曲率；
(2)求反比例函数曲率的平方的最大值.
(3)已知函数，求曲线的曲率的范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】，故在点处切线的斜率，
因为，故，
故选C.
2．【答案】D
【详解】因为已知，由组合数的性质得到或，
解得或.
故选：D.
3．【答案】B
【详解】由y=f（x）的图象知，y=f（x）的图象为增函数，
且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，
而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．
故选B.
4．【答案】A
【详解】由题意，设五种商品编号分别为，
其中两种必须连排，两种不能连排，
将两种看作一种商品与进行排列，共有（种），
共形成3个空，选择2个空，将插入，共有（种），
则不同的排法共有：（种），
故选A.
5．【答案】D
【详解】设，函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线平行于直线时，，
则，而，解得，于是，
平行于的直线与曲线相切的切点坐标为，
所以点到直线的最小距离即点到直线的距离．
故选D.
6．【答案】B
【详解】因为，所以.
令，得，所以，
所以，则.
故选B．
7．【答案】D
【详解】先涂中间，有5种选色，再逐个涂旁边部分，都有4种选色.由分步乘法计数原理得不同的涂色方案种数为.
故选D.
8．【答案】B
【详解】根据题意，若，则.
设.
所以可得在，函数为增函数.
对于，其导数.
若，解得，即函数的递增区间为；
若都有成立，即在，函数为增函数，则的最大值为1.
故选B.
9．【答案】AC
【详解】根据导函数图象可知，当时，，在时，，
∴函数在上单调递减，在上单调递增，故C正确；
所以是函数的极小值点，故A正确；
∵在上单调递增，
∴不是函数的最小值点，故B错误；
∵函数在处的导数大于0，
∴切线的斜率大于零，故D错误．
故选AC.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，先从5人中选3人安排到全程马拉松项目，有种方法，
然后剩下2人安排到其余两个项目，每个项目安排1人，有（种），
则由分步乘法计数原理可知共有种分配方案，所以A正确．
对于B，将5个人分成3组，且每组至少1人，有两种分法，
分别为1，1，3和1，2，2，若为1，1，3，则不同的分配方案有（种）；
若为1，2，2，则不同的分配方案有（种），
所以由分类加法计数原理可知，共有种不同的分配方案，所以B正确．
对于C，先将甲、乙捆绑在一起看成一个整体，再与剩下的3人进行全排列，
所以不同的站法有（种），所以C错误．
对于D，先选2人站前排有（种），
然后剩下3人中身高最高的站后排的中间，剩下2人站后排两边有（种），
所以由分步乘法计数原理可知共有种不同的站法，所以D正确．
故选ABD．
11．【答案】ABC
【详解】因为为二次函数，开口向下，总会存在负值，
由题意得在上恒成立，
则，解得．
故选ABC.
12．【答案】2
【详解】由已知得，，
.
13．【答案】
【详解】根据题意，将香菌、新笋、豆腐干三种原料进行捆绑，且这三种原料无顺序，
茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，
所以，不同的下锅顺序种数为种.
14．【答案】
【详解】因为，的定义域为全体实数，
所以，即为偶函数，
当时，，令，
，即在上单调递增，
所以，故在上单调递增，
因为，所以，所以，
解得，
所以不等式的解集为.
15．【答案】(1)
(2)最大值，最小值
【详解】（1）因为，则，
，则，
所以，曲线在处的切线方程为，即.
（2）由可得，列表如下：
所以，函数在、上递增，在上递减，
当时，函数的极大值为，极小值为，
又因为，，
故当时，，.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）5个人做5项不同的工作，要求每个人只能做一项工作，每项工作都有人去做，不同的分配方案总数为种.
（2）方法一：甲不在中间，乙不在排头的排法可以分两类：
①甲在排头，其他4人随机排，则有种排法；
②甲不在排头也不在中间，甲有3个位置可以选择，乙不在排头，有3个位置可以选择，其他3人随机排，则有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
方法二：5人随机排有种排法，其中甲在中间，其他4人随机排，有种排法，乙在排头，其他4人随机排，有种排法，甲在中间，乙在排头，其他3人随机排，有种排法.
综上所述，甲不在中间，乙不在排头的排法种数共有种.
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
【详解】（1）因为，则，
令，可得或，列表如下：
所以，函数的增区间为、，减区间为，
函数的极大值为，极小值为.
（2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
且，
故当时，，
因为对恒成立，则，解得，
因此，实数的取值范围是.
18．【答案】(1)150
(2)54
(3)30
【详解】（1）先将5人分为3组，有种分组方法，
将分好的三组安排到三个项目，有种情况，
则不同安排方案的种数为．
（2）先将3名男生分到三项公益活动，有种方案，
2名女生有种方案，
所以不同安排方案的种数为．
（3）不同安排方案的种数为．
19．【答案】(1)8；
(2)1；
(3).
【详解】（1）因为，所以，，
故，，由曲率公式得;
（2）由，，则，，
当且仅当即时，等号成立.
故反比例函数曲率的平方的最大值为
（3）因为，所以，，
由曲率公式得，
故，
则，
令，令，
函数化为，令，
则，函数化为，对进行变形，
得到，
令，函数化为，此时，我们研究的范围即可，
而，
当时，恒成立，故在上单调递增，
而，
，故，即，故.增
极大值
减
极小值
增
增
极大值
减
极小值
增