2024-2025学年青海省西宁市第十四中学高二下学期期中测试数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年青海省西宁市第十四中学高二下学期期中测试数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.18×17×⋯×4可表示为( )
A. A1815B. A1814C. C1815D. C1814
2.口袋中装有5个白球4个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出2个球，只有一个红球的取法种数是( )
A. 20B. 26C. 32D. 36
3.从0,1,2,3这4个数字中选3个数字组成没有重复数字的三位数，则该三位数能被3整除的概率为
A. 29B. 13C. 512D. 59
4.如图，已知函数f(x)的图象在点P2,f(2)处的切线为l，则f(2)+f′(2)=( )
A. −3B. −2C. 1D. 2
5.DeepSeek软件是我国一款深度求索人工智能软件．现将DeepSeek单词中的字母重新排列，则字母e互不相邻的不同排法种数为( )
A. 24B. 120C. 576D. 2880
6.已知(1−2x)5的展开式中，x2项的系数是( )
A. 10B. −10C. 40D. −40
7.随机变量X的分布列如下：
若E(X)=1，则D(X)=( )
A. 0B. 2C. 3D. 4
8.“肝胆两相照，然诺安能忘．”(《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明⋅朱察卿)若A,B两点关于点P(1,1)成中心对称，则称(A,B)为一对“然诺点”，同时把(A,B)和(B,A)视为同一对“然诺点”.已知a∈Z,f(x)=(x−2)e−x,x1的图象上有两对“然诺点”，则a等于( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如果曲线y=f(x)在点(1,3)处的切线过点(0,2)，则下列结论不正确的是( )
A. f(1)=3B. f′(1)=1C. f(0)=2D. f′(1)=0
10.一个袋子中有5个大小相同的球，其中红球3个，白球2个，现从中不放回地随机摸出3个球作为样本，用随机变量X表示样本中红球的个数，用随机变量Yi(i=1,2,3)表示第i次抽到红球的个数，则下列结论中正确地是( )
A. X的分布列为P(X=k)=C3k35k253−k,k=1,2,3
B. X的期望E(X)=95
C. PY2=1=45
D. PY1=1|Y2=1=12
11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中正确的有( )
A. 由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：Cn+1r=Cnr−1+Cnr
B. C32+C42+C52+⋯+C102=165
C. 第34行中从左到右第14与第15个数的比为2:3
D. 由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0+Cn1+Cn2+⋯+Cnn=2n
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机事件A,B满足P(A)=23,P(AB)=38，则P(B∣A)= ．
13.曲线f(x)=xlnx在x=1处的切线方程为 ．
14.已知(1+x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
二项式2x+2 xn展开式前三项的二项式系数和为22．
(1)求n的值；
(2)求展开式中各项的二项式系数和；
(3)求展开式中的常数项及二项式系数最大的项．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x3+x−16．
(1)直线l为曲线y=f(x)在点(2,−6)处的切线，求直线l的方程；
(2)求过原点且与曲线y=f(x)相切的切线方程及切点坐标．
17.(本小题15分)
10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次之，丙最后.求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
(3)甲、乙两人有人抽到难签的概率．
18.(本小题17分)
2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件B为小明取到棕色内饰的模型，求P(B)和PBA ，并判断事件A和事件B是否独立．
(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内饰同色.拿到的两个模型仅外观或仅内饰同色，可以获得奖金150元，外观和内饰均为同色可以获得奖金300元，外观和内饰都异色可以获得奖金600元，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aln(x+1)+x−1．
(1)若f(x)在(1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若f(x)在−12,7上有2个零点，求a的取值范围．
参考答案
1.A
2.A
3.D
4.C
5.B
6.C
7.B
8.C
9.CD
10.BD
11.ACD
12.716
13.x−y−1=0
14.64
15.(1)∵展开式前三项的二项式系数和为22，
∴Cn0+Cn1+Cn2=22,
∴n2+n−42=0,
∴n=6或n=−7(舍)，
故n的值为6．
(2)展开式中各项的二项式系数和为26=64．
(3)设展开式中常数项为第r+1项，
即Tr+1=C6r(2x)6−r2 xr=C6r⋅26x6−3r2,0≤r≤6,r∈N，
令6−3r2=0，得r=4，
∴T4+1=26C64=960，
由题可得，展开式中最大的二项式系数为C63=20，
∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，
即T4=C63(2x)32 x3=1280x32，
综上所述：常数项为960，二项式系数最大的项为1280x32．
16.(1)由f(2)=23+2−16=−6，得点(2,−6)在曲线上，
求导得f′(x)=3x2+1，则f′(2)=3×22+1=13，
所以所求切线的方程为y+6=13(x−2)，即y=13x−32．
(2)设切点为x0,y0，则切线l的斜率为f′x0=3x02+1，
切线l的方程为：y=3x02+1x−x0+x03+x0−16，
由切线l过点(0,0)，得0=3x02+1−x0+x03+x0−16，整理得x03=−8，
解得x0=−2，y0=(−2)3+(−2)−16=−26，切线l的斜率k=3×(−2)2+1=13，
所以切线l的方程为y=13x，切点坐标为(−2,−26)．
17.(1)依题意，10个考签中有4个难签，所以甲抽到难签的概率是410=25．
(2)甲抽到难签后，还剩9个考签中有3个难签，乙抽到难签的概率为39=13．
(3)“甲、乙两人有人抽到难签”的对立事件为“甲、乙都没抽到难签”，
甲、乙都没抽到难签的概率为610×59=618=13，
所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为1−13=23．
18.(1)若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率P(A)=12+225=1425，
若小明取到棕色内饰，分红色外观12个，蓝色外观8个，则对应的概率P(B)=12+825=2025=45．
取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即P(AB)=1225，
则P(B|A)=P(AB)P(A)=12251425=1214=67，
∵P(A)P(B)=1425×45=56125≠1225，∴P(A)P(B)≠P(AB)，
所以事件A和事件B不独立．
(2)由题意X的可能取值为600，300，150，
则外观和内饰均为同色的概率P1=C122+C82+C32+C22C252=66+28+3+1300=98300=49150，
外观和内饰都异色的概率P2=C121C31+C21C81C252=52300=1375，
仅外观或仅内饰同色的概率P3=1−49150−52300=12，
∴P(X=150)=12，P(X=300)=98300=49150，P(X=600)=1375，
则X的分布列为：
则E(X)=150×12+300×49150+600×1375=277(元)．
19.(1)依题意得f′(x)=ax+1+1≥0对x∈(1,+∞)恒成立，
即a≥−x−1对x∈(1,+∞)恒成立，
所以a≥−2，即a的取值范围是[−2,+∞)．
(2)由题知，f(x)的定义域为(−1,+∞)，
又f′(x)=x+a+1x+1，
当a≥0时，f′(x)>0,f(x)在(−1,+∞)上单调递增．
当a