西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)

这是一份西宁市第十四中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知向量,,则,则( )
A.8B.-8C.-2D.2
2．设,为非零向量,则“存在负数,使得”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3．如果是平面内所有向量的一个基底,那么下列说法正确的是( )
A.若存在实数,使成立,则
B.平面内任意向量都可以表示为,其中,
C.不一定在平面内
D.对于平面内任意向量,使的实数,有无数对
4．密位制是度量角的一种方法,把一周角等分为6000份,每一份叫作1密位的角.在角的密位制中,单位可省去不写,采用四个数码表示角的大小,在百位数与十位数之间画一条短线,如1周角等于6000密位,写成“”,578密位写成“”.若在中,a,b,c分别是角A,B,C所对的边,且有.则角C用密位制表示正确的是( )
A.B.C.D.
5．在所在平面内,D是BC延长线上一点且,E是AB的中点,设,,则( )
A.B.C.D.
6．已知,,为不共线的平面向量,,若,则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
7．若O为所在平面内一点,且满足,则的形状为( )
A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形
8．在中,,,,D为BC的中点,点P在斜边BC的中线AD上,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列说法错误的是( )
A.两个有共同起点且相等的向量,其终点可能不同
B.若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线
C.若非零向量与共线,则
D.若,则
10．已知单位向量,的夹角为,则下列结论正确的有( )
A.B.在方向上的投影向量为
C.若,则D.若,则
11．对于,下列说法正确的有( )
A.若,,,则符合条件的有两个
B.若,则
C.若,则是钝角三角形
D.若,则为等腰三角形
12．如图，中，，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，，则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,,外接圆的半径为3,则_____________.
14．已知平面向量与的夹角为，若，，则在上的投影向量的坐标为__________.
15．如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得,,,并在点C测得塔顶A的仰角为,则塔高___________.
16．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,,且,则周长的取值范围为________________.
四、解答题
17．已知向量,,;
（1）若与共线,求m;
（2）若,求||.
18．已知中,点D在线段上,且,延长到C,使,设,．
(1)用,表示向量,;
(2)若向量与共线,求k的值．
19．已知向量、满足,,与的夹角为.
（1）若,求k的值;
（2）若,求k的取值范围.
20．已知①,②,③,从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中,并解答问题.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,并且满足__________.
(1)求角B;
(2)若,为角B的平分线,点D在上,且,求的面积.
21．在中,已知,;
（1）证明：为等腰三角形;
（2）若的面积为,点D在线段上,且,求的长.
22．如图，AB为半圆O的直径，，C为上一点（不含端点）.
（1）用向量的方法证明；
（2）若C是上更靠近点B的三等分点，Q为上的任意一点（不含端点），求的最大值.
参考答案
1．答案：C
解析： ,,.
故选：C.
2．答案：A
解析：若,为非零向量,且存在负数,使得,则,共线且方向相反,
,充分性成立;
当时,,的夹角可能为钝角,此时不存在负数,使得,必要性不成立;
“存在负数,使得”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．答案：B
解析：对于A,因为是平面内所有向量的一个基底,所以,不共线.
根据向量共线的充要条件可得：若存在实数使成立,则,故A错误;
对于B,根据平面向量基本定理可判断B正确;
对于C,根据平面向量基本定理可得：一定在平面内,故C错误;
对于D,根据平面向量基本定理可得：对于平面内任意向量,使的实数有且只有一对,故D错误;
故选：B.
4．答案：C
解析：因为,
所以,
又,所以,
由题知,密位,所以密位,
依题意,1000密位表示为.
故选：C.
5．答案：C
解析：在所在平面内,D在BC延长线上,且,则,
又E是AB的中点,
所以.
6．答案：D
解析：由可得,
又,如图所示,由平行四边形法则可得四边形为菱形,
故,互相垂直平分,所以在方向上的投影向量为,
故选：D.
7．答案：A
解析：依题意,
,
,
所以,
所以三角形ABC是等腰三角形.
故选：A.
8．答案：A
解析：以A为坐标原点,,为x,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
所以,,因为D为BC的中点,所以,
,设,所以,
所以,可得,,
所以,
因为,所以.
故选：A.
9．答案：ABC
解析：对于A,两个有共同起点且相等的向量,其终点相同,A错误;
对于B,如平行四边形ABCD中,与共线,但A,B,C,D四点不共线,B错误;
对于C,两个非零向量共线,说明这两个向量方向相同或相反,而两个向量相等是说这两个向量大小相等,
方向相同,因而共线向量不一定相等向量,但相等向量却一定是共线向量,C错误;
对于D,向量相等,即大小相等,方向相同,D正确.
故选:ABC
10．答案：ABC
解析：对于A,因为,是单位向量,所以,
所以,故A正确;
对于,因为,是单位向量,
所以在方向上的投影向量为,故B正确;
对于C,因为,所以,
又因为,所以,故C正确;
对于D,因为,所以,
所以,所以,故D错误,
故选：ABC
11．答案：BC
解析：对于选项A：由余弦定理可得：,
即,只有一解,故A错误;
对于选项B：若,则,由正弦定理可得成立.故B正确;
对于选项C：若,由正弦定理得,
由余弦定理,且
所以C为钝角,即是钝角三角形,故C正确;
对于选项D：因为在三角形中,A,B,,
故若,则或,可得或,
所以为等腰三角形或直角三角形,故D不正确,
故选：BC.
12．答案：ACD
解析：对于A：根据，
故，故A正确；
对于B：设，则，，
，又，
，F，D三点共线，，
且，，，故，故B错误；
对于D：由于，故，
，故D正确；
对于C，
，
，
，故C正确.
故选：ACD.
13．答案：3
解析：由题意,得,根据余弦定理,
得,,所以,
又因为外接圆的半径为3,所以根据正弦定理得,所以.
故答案为：3.
14．答案：
解析：向量在向量上的投影向量是
故答案为：.
15．答案：
解析：在中,.
由正弦定理,得,解得.
在中,
故答案为：.
16．答案：
解析:因为,,
由余弦定理得,
当且仅当时等号成立.
,,
又因为,所以,
即周长取值范围为.
故答案为:.
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）,,
与共线,
,解得;
（2）
,解得,
,
,
.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
为的中点,
,
可得,
而．
（2）由(1),得,与共线,
设,
即,
根据平面向量基本定理,得,
解得．
19．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）,故可得,
,
整理得：,故.
（2）将两边平方可得：
,
整理得：,
解得：.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）选①：由,
得,
因为,
可得,
所以.
选②：由正弦定理得,即,
由余弦定理得,,,
选③：由得
则,
即,
且,可知,则,
解得,即,,
,故.
（2）由,得,
即.
由余弦定理得,所以.
解得（舍去）或,所以.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为,由正弦定理可得,即,
又,,即, ,
为等腰三角形
（2）,,所以,
又,（负值舍去）.
,,
又点D在线段上,且,
,
,
则
,
的长为.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：建立平面直角坐标系如图所示.
由题意可知，，，
设，则，得.
由于，，
所以，
故，即.
（2）由题意知，则，连接OQ，
设，则，.
因为，，
所以，
又，所以，
故当，即时，取得最大值.