江苏省南菁高级中学2023-2024学年高二创优班下学期5月月考数学试题

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1． 若z＝－1＋eq \r(3)i，则eq \f(z,z\x\t(z)－1)等于( )
A．－1＋eq \r(3)i B．－1－eq \r(3)I C．－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i D．－eq \f(1,3)－eq \f(\r(3),3)i
答案 C
解析 eq \f(z,z\x\t(z)－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,－1＋\r(3)i－1－\r(3)i－1)＝eq \f(－1＋\r(3)i,3)＝－eq \f(1,3)＋eq \f(\r(3),3)i，故选C.
2． 请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2，满足aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＝2，求证：a1＋a2≤2.
证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋2，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，
所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－16≤0，所以a1＋a2≤2.
根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an，满足aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n)＝2n，你能得到的结论是( )
A．a1＋a2＋…＋an≤eq \r(n) B．a1＋a2＋…＋an≤eq \f(\r(2)n,2)
C．a1＋a2＋…＋an≤n D．a1＋a2＋…＋an≤eq \r(2)n
答案 D
解析 设函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋2n，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋an)2－8n2≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤eq \r(2)n.
3． 已知函数f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx(ω>0)的零点构成一个公差为eq \f(π,2)的等差数列，把函数f(x)的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象．关于函数g(x)，下列说法正确的是( )
A．在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递增 B．其图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称
C．函数g(x)是偶函数 D．在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))上的值域为[－eq \r(3)，2]
答案 D
解析 f(x)＝sin ωx＋eq \r(3)cs ωx＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))，
由函数f(x)的零点构成一个公差为eq \f(π,2)的等差数列，得周期T＝π，即ω＝2，即f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
把函数f(x)的图象沿x轴向右平移eq \f(π,6)个单位长度，得到函数g(x)的图象，
则g(x)＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋\f(π,3)))＝2sin 2x，
当2kπ＋eq \f(π,2)≤2x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，即kπ＋eq \f(π,4)≤x≤kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)时，y＝g(x)单调递减，
故y＝g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，
当2x＝kπ＋eq \f(π,2)，即x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)时，y＝g(x)的图象关于直线x＝eq \f(kπ,2)＋eq \f(π,4)(k∈Z)对称，且为奇函数，
故选项A，B，C错误，
当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(2π,3)))时，2x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))，函数g(x)的值域为[－eq \r(3)，2]，
故选项D正确．
4． 在△ABC中，|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))等于( )
A．eq \f(8,9) B．eq \f(10,9) C．eq \f(25,9) D．eq \f(26,9)
答案 B
解析 坐标法 由|eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→))|，化简得eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以△ABC为直角三角形．以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)．不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)×eq \f(4,3)＝eq \f(10,9)．
极化恒等式法 取EF中点M，连接AM，则eq \(AE,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝|AM|2－|EM|2＝eq \f(5,4)－eq \f(5,36)＝eq \f(10,9)．
5. 已知方程的所有解都为自然数,其组成的解集为，则的值不可能为( )
A．B．C．D．
答案 A
当分别取时，，，排除，
当分别取时，，，排除，
当分别取时，，，排除，故选A.
6． 已知，均为锐角，且，则( )
A． B． C． D．
答案 C
详解 因为，则，
且，可得，
构建，可得
因为在内单调递增，可知在内单调递增，则，
且在内单调递增，在内单调递减，
可得，，故C正确，D错误；
由于无法确定的大小，故AB错误；故选：C.
7. 已知 QUOTE ，则 QUOTE 的大小关系是( )
A． QUOTE B． QUOTE C． QUOTE D． QUOTE
答案 B
详解 令 QUOTE ，可得 QUOTE ，
当 QUOTE 时， QUOTE 恒成立，所以 QUOTE 在 QUOTE 上单调递减，
所以 QUOTE ，
即 QUOTE ，可得 QUOTE ， QUOTE ，
所以 QUOTE ， QUOTE ，所以 QUOTE ， QUOTE ，
即 QUOTE ， QUOTE .所以 QUOTE .故选：B.
8. 已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论：①的一个周期是； ②是非奇非偶函数；③在单调递减；④的最大值大于．其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④B．②④C．①③D．①②
答案 A
详解 因为，
所以的一个周期是，①正确；
又，④正确；
又，
，
所以，，所以是非奇非偶函数，所以②正确；
当时，，，所以，所以，所以③错误；
综上所以正确的结论的序号是①②④，故选：A．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9． 若满足，则( )
A．B．C．D．
答案 ABD
详解 令，即，代入可得：
.所以, 解得 , 所以 A 正确. B 正确；
由 可变形为 ,
因为 , 将代入上式可得：
,解得 , 所以不正确, D正确.
故选：.
10. 已知 QUOTE 是复数 QUOTE 的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A． QUOTE B．若 QUOTE ，则 QUOTE
C． QUOTE D．若 QUOTE ，则 QUOTE 的最小值为1
答案 CD
详解 对于A，设 QUOTE ，则 QUOTE ，
但 QUOTE ，故A错误；
对于B，令 QUOTE ，满足 QUOTE ，故B错误；
对于C，设 QUOTE ，则 QUOTE 所以 QUOTE ，
则 QUOTE QUOTE ，所以 QUOTE ，
故C正确；
对于D，设 QUOTE ，则 QUOTE ，
即 QUOTE ，表示以 QUOTE 为圆心，半径为1的圆，
QUOTE 表示圆上的点到 QUOTE 的距离，故 QUOTE 的最小值为 QUOTE ，故D正确.
故选：CD
11. 已知函数的定义域均为，，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是( )
A．和均为奇函数B．
C．D．
答案 BCD
详解 对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，，
因为，则，所以是周期函数，且周期为，
则，故C正确；
对于D，由，得，又，
由，得，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共 15分.
12．对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a，b，c，d∈R，a≠0)有如下定义：设f′(x)是函数f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解m，则称点(m，f(m))为函数y＝f(x)的“拐点”．若点(1，－3)是函数g(x)＝x3－ax2＋bx－5(a，b∈R)的“拐点”，也是函数g(x)图象上的点，则函数
h(x)＝eq \f(1,3)asin x＋bcs2x的最大值是______．
答案 eq \f(65,16)
解析 g′(x)＝3x2－2ax＋b，g″(x)＝6x－2a，由题意知g″(1)＝0，则a＝3，
又g(1)＝－3，得b＝4，所以h(x)＝sin x＋4cs2x＝sin x－4sin2x＋4，
令sin x＝t，则t∈[－1,1]，即求y＝－4t2＋t＋4，t∈[－1,1]时的最大值，
当t＝eq \f(1,8)时，y有最大值eq \f(65,16).
13. 设P是 QUOTE 所在平面内一点，满足 QUOTE ，若 QUOTE 的面积为1，
则 QUOTE 的面积为 .
答案 QUOTE
详解 因为 QUOTE ，所以 QUOTE ，即 QUOTE ，
记 QUOTE 的中点为M，于是 QUOTE ，因此 QUOTE .故答案为： QUOTE .
14. 设 QUOTE 为 QUOTE 的三边， QUOTE 为 QUOTE 的面积，若 QUOTE ，则 QUOTE 的最大值为 ．
答案 QUOTE
详解 解法一：
解法二：消元： QUOTE
基本不等式放缩： QUOTE ，移项配凑目标： QUOTE ，
万能代换：令 QUOTE ，则 QUOTE ，
当且仅当 QUOTE ，即 QUOTE ， QUOTE 时， QUOTE 取最大值 QUOTE
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．(13分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝3，c＝2，D为BC边上一点，CD＝eq \f(1,5)DB，求sin∠BDA的值．
解 (1)因为eq \r(3)a－csin B＝eq \r(3)bcs C，
由正弦定理可得eq \r(3)sin A－sin Bsin C＝eq \r(3)sin Bcs C，所以eq \r(3)sin(B＋C)－sin Bsin C＝eq \r(3)sin Bcs C，
即得eq \r(3)cs Bsin C＋eq \r(3)sin Bcs C－sin Bsin C＝eq \r(3)sin Bcs C，可得eq \r(3)cs Bsin C＝sin Bsin C，
因为C∈(0，π)，则sin C>0，则有tan B＝eq \r(3)，
又B∈(0，π)，所以B＝eq \f(π,3).
(2)因为a＝3，由CD＝eq \f(1,5)DB可得，DB＝eq \f(5,2).
在△ABD中，AD2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))2＋22－2×eq \f(5,2)×2cs eq \f(π,3)＝eq \f(21,4)，所以AD＝eq \f(\r(21),2).
在△ABD中，由正弦定理得，eq \f(AB,sin∠BDA)＝eq \f(AD,sin B)，即eq \f(2,sin∠BDA)＝eq \f(\r(21),2sin \f(π,3)).
所以sin∠BDA＝eq \f(2\r(7),7).
16．(15分)已知函数f(x)＝x＋2xln x.
(1)若直线l过点(0，－2)，且与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程；
(2)若∀x>1时，f(x)－kx＋k>0成立，求整数k的最大值．
解 (1)设直线l的方程为y＝klx－2，切点坐标为(x0，y0)，则y0＝x0＋2x0ln x0.
因为f′(x)＝1＋2ln x＋2＝3＋2ln x.
所以kl＝f′(x0)＝3＋2ln x0＝eq \f(y0＋2,x0)＝eq \f(x0＋2＋2x0ln x0,x0)，解得x0＝1.
所以kl＝3，所以直线l的方程为y＝3x－2.
(2)由题意知，∀x>1，eq \f(x＋2xln x,x－1)>k恒成立，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋2xln x,x－1)))min>k，令g(x)＝eq \f(x＋2xln x,x－1)，
所以g′(x)＝eq \f(3＋2ln xx－1－x＋2xln x,x－12)＝eq \f(2x－2ln x－3,x－12).
设h(x)＝2x－2ln x－3，所以h′(x)＝eq \f(2x－1,x)>0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增．
又h(2)＝1－2ln 20，
所以存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(5,2)))，当x∈(2，x0)时，h(x)0，
所以g(x)在(2，x0)上单调递减，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，\f(5,2)))上单调递增．
所以g(x)min＝g(x0)＝eq \f(x0＋2x0ln x0,x0－1)，
而h(x0)＝2x0－2ln x0－3＝0，
所以g(x)min＝eq \f(2x\\al(2,0)－2x0,x0－1)＝2x0.
所以k